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如果很多人都迟交作业，那么分数 decay 的因子会很强. 当然我们没有要求大家把所有的题目做出来做得很完美，比如打了 $\*\*$ 的题目有时候会需要查找文献或者调研.

我们要说一下，为什么远离平衡的稳态对生物体那么重要：如果某种蛋白质存在错误折叠和正确折叠两种状态，它们之间的转换平衡常数是 $K\_-$ 和 $K\_+$，有两个公式主导了这个过程：

* 平衡常数：这产生一条对数坐标上的正比例函数
* 物质守恒：这产生一条对数坐标上的负相关一次函数

这两条直线会在某个点相交，这就是系统唯一可以存在的平衡态. 不管这之间的转换到底是如何进行的，平衡态一定只能是这个解. 但是，如果我们让两个方向的转换有一个方向是不平衡的，比如引入一个驱动 (ATP $\to$ ADP 之类)，那么我们就不止一个解，原来的那个「正比例函数」的斜率可以变化，在物质守恒的那条直线上扫出一个线段那么多的解.

线段的一个端点是无驱动的平衡态，另一端是只有有驱动的那一个反应时，达到的极限状态. 这样我们就能够通过引入驱动的方式，使得生物体内的反应变得可以调控.

当反应物和生成物增多，我们可以画一个相空间，每一条轴都是参与反应物质的浓度，那么物质守恒对应一个 $n-1$ 维的超曲面，可以存在的状态区间是过原点的一条直线扫出来的一个 $n-1$ 维面，驱动越大，可能的状态区间就越来越大.

这是 2024 年才发表的结果，其实是很前沿的.

## 高分子

继续回来讲我们的高分子.

实际上一个一维链是一个 Ising model，势能为
$$
H=-h\sum\_i\sigma\_i+J\sum\_{(i,j)}\sigma\_i\sigma\_j
$$
Ising 模型存在一个关联函数：
$$
g(r)=\braket{\sigma\_i\sigma\_{i+1}}=\tanh^r(\beta J)=e^{-r/\xi}
$$
但是只有在小的原子量情况下 Ising 模型才能比较好地估计高分子的关联长度，更大的原子量这些模型就因为某些长程的关联而不适用了.

考虑更高的维度，两个链节之间的关联依赖于它们的夹角 (为简便，只考虑近邻的相互作用)：
$$
\braket{\vec{x}\_i\cdot\vec{x}\_j}=a^2(\cos\theta)^{|j-i|}=a^2e^{-|j-i|/s\_p}
$$
(比如 1 和 3 的关联：$a^2\braket{\vec{x}\_1\cdot\vec{x}\_3}=\braket{\vec{x}\_1\cdot\vec{x}\_2}\braket{\vec{x}\_2\cdot\vec{x}\_3}$) 如果连续化计算，得到首到尾的距离平均应该是
$$
\begin{aligned}
\braket{r^2} &= \braket{\int\_0^L\vec{t}(s\_1)\text{d}s\_1\int\_0^L\vec{t}(s\_2)\text{d}s\_2}\\\\
&=\int\_0^L\int\_0^L\braket{\vec{t}(s\_1)\cdot\vec{t}(s\_2)}\text{d}s\_1\text{d}s\_2\\\\
&=\int\_0^L\int\_0^Le^{-|s\_1-s\_2|/\xi\_p}\text{d}s\_1\text{d}s\_2
\end{aligned}
$$
这样的关联可能来源于单元的带电性，或者一个比较好的模型 —— 弹性. 弯曲角度圆心角为 $\theta$ 时，总的弹性势能是
$$
E=\frac{B}{2}\int\_0^S\frac{1}{R^2}\text{d}s=\frac{B}{2}\frac{S}{R^2}=\frac{B}{2S}\theta^2
$$
计算上面弹性势能的平均值，为 $k\_BT$ 量级，所以
$$
\braket{\theta^2}=\frac{2k\_BT}{B}
$$
(能均分，有 $\theta$ 和 $\phi$ 两个弯曲自由度)

这样的量代表着一个高分子整体的弯曲程度，可以实测得到一个高分子「直」的部分的长度：对于 RNA，实测数据为 $\sim1\text{ nm}$，DNA 为 $\sim50\text{ nm}$，actin (肌动蛋白) 为 $\sim18,,\mu\text{m}$，MT (微管) 为 $\sim6\text{ mm}$.

这是很神奇的，因为在细胞内部，微管的直线长度实际上只有 $\sim30,,\mu\text{m}$ 的量级，和溶液中的差距 200 倍. 所以我们的假设一定有哪里出了问题：

**问题在于：我们假设高分子与周围的介质处于平衡态.** 实际上在细胞内部，分子马达会对微管等等高分子产生很多撞击，导致高分子变得弯曲.

拉直 DNA：WLC Model.

> 就像小时候卷曲的电话线，在简单拉直的时候，我们并不需要费很多力，因为这是一种「熵弹性」(当然宏观物体的熵效应并不明显，我们只是比喻)；但是要拉开微观的那些小螺旋，就需要花更大的力气，就像 DNA 的单元之间的小结构在拉得很直时有显著的作用.

下面说几个例子.

Force Sensing (力感知)：比如诱导干细胞的发育，只需要改变它所处的力环境. 什么样的结构能够将力学信号改成化学信号？

> 一种叫做 talin 的蛋白，有一端扎在细胞膜上，另一端固定在细胞骨架上，一旦受到力的作用，上面的一个结构会被弹开，露出里面的一个结合位点.
>
> talin 上一共有 13 个能被弹开的结构.
>
> 下游的信号分子能够结合这个位点，进行下一步的反应.
>
> 这个蛋白把力学信号转换为了「结合能力」，实测得到几个 $\text{pN}$ 大小的力能够造成 1000 倍以上的亲和力变化.

当然我们做了平衡态的假设，也就是细胞骨架一直以力平衡方式拉着 talin. 但是这个调控过程不一定是平衡的，有可能是以一个固定的速度在拉着 talin (固定速度是可以实现的，比如分子马达的速度一般就是恒定的)，这时候就不再是平衡态的过程了.

DNA 成环：可以计算 DNA 成环的自由能变化，对于长度为 $L$ 的一个环，
$$
\Delta E\_{\text{bend}}\sim1/L,,\quad\Delta S\sim-\ln L,,\quad\Delta G=\Delta E-T\Delta S
$$

> 其中熵的变化是因为：另一头本来能够在一个半径为 $L$ 的球面上运动，但是现在被固定在这一头的位置，丧失了一个球面的自由度.

蛋白质的折叠也和上面两个例子类似.