2024-12-11

角动量的合成

SO(3) 的表示：UIR，角动量$j$的表示是$(2j+1)$，$D^{(j)}[R]$：Wigner 矩阵.

如果将角动量的组合写成张量，就能方便地证明全对称的状态变换之后仍然是全对称的. 我们现在想要知道剩下的全反对称分量怎么变换，一个办法是恢复出矩阵的记号，在这个标记下我们更加熟悉：

$$R_{ab}R_{cd}\epsilon_{bd}\longrightarrow R\epsilon R^T\longrightarrow R\epsilon(R^*)^{-1}$$

下课之后的补充：我们在这里的第一步是因为将分量式还原成矩阵表达式的时候，要让它能够“接上”，所以我们换掉了顺序；第二步是因为$R$能够写成$e^{\text{i}\sigma_i\cdots}$，然后我们把转置直接移到$\sigma$的头上（这是合理的操作！），遂得到这一步.

之后一阶展开，一阶项是$\epsilon\sigma_i+\sigma_i\epsilon$，对$i=1,3$都是成立的，因为转置就是自身；但是对于$i=2$，转置造成了取共轭，所以这个东西开始长得像一个反对易子，然后它等于零——这是好的，因为我们希望旋转之后的$\epsilon$不变，一阶项至少是零，所以得到$R$正比于$\sigma_2$.

其中每一个$R$是$e^{\text{i}\sigma_i\theta_i/2}$，最后一步的原因是旋转是幺正的. 而且，

$$\epsilon=\begin{pmatrix} &-1\\1& \end{pmatrix}$$

是全反对称张量. 为了找到二维空间的旋转表示，考虑反对易子$\{\sigma_i,\epsilon\}$，用三个 Pauli 矩阵尝试就知道二维空间中的旋转表示一定是正比于$\sigma_2$的.

如果我们用$\epsilon_{a_1a_2}$和任意一个张量做缩并，$\Psi_{[a_1a_2](a_3\cdots a_{2j})}\epsilon^{a_1a_2}$，首先，$\epsilon^{a_1a_2}$在指标相同的时候就是$0$，所以这两项消失了；而剩下两项分别是$\epsilon^{+-}=1$和$\epsilon^{-+}=-1$. 所以

$$\Psi_{[a_1a_2](a_3\cdots a_{2j})}\epsilon^{a_1a_2}=2\Psi_{[+-](a_3\cdots a_{2j})}$$

相当于固定两个自旋，剩下的是自旋$j-1$的一组基础态.

问：为什么要把指标升上去？

指标上升是指标下降的张量的逆，$\epsilon_{ab}\epsilon^{bc}=\delta_a^{\,\,\,c}$.

问：意义？

一开始的张量$\Psi_{[a_1a_2](a_3\cdots a_{2j})}$，它的变化是乘上很多个$R_{a_1b_1}R_{a_2b_2}\cdots$，但是我们“不认识”这样一个高维的量，所以我们做一次缩并，得到一个具有我们熟悉行为的$j-1$基础态$\Psi_{[+-](a_3\cdots a_{2j})}$，可以这样做是因为$\epsilon$是一个全反对称张量.

好像大家还没有理解.

我们现在来看看 Feynman 书上的一个例子：

自旋 -$j_1$和自旋 -$j_2$的合成，这个新的空间维数应该是$(2j_1+1)\times(2j_2+1)$，其中的态应该是从$2(j_1+j_2)+1$、$2(j_1+j_2-1)+1$，一直到$2|j_1-j_2|+1$，这是所有可能的角动量.

SO(3) 美妙的地方在于，上面每一种情况都只出现一次，而且一定会出现一次，也就是$H^{(2j_1+1)\times(2j_2+1)}$能够被“块对角化”（就是 Jordan 标准型），每一块的大小从$2(j_1+j_2)+1$依次减小到$2|j_1-j_2|+1$，每次减小一个单位.

这个事实能够写成

$$(2j_1+1)\otimes(2j_2+1)=[2(j_1+j_2)+1]\oplus\cdots\oplus[2|j_1-j_2|+1]$$

（我们之前就说过，$2\otimes2=1\oplus3$）

下面我们来使用一种标准化的语言来进行研究. 当我们写大写的$J$时，我们说的是角动量的算符；而小写的$j$是一个 label.

当我们讲到角动量的合成时，物理上一般写成$\vec{J}=\vec{J}_1+\vec{J}_2$，但是实际上的意思是

$$\vec{J}=\vec{J}_1\otimes1_{(2j_2+1)\times(2j_2+1)}+1_{(2j_1+1)\times(2j_1+1)}\otimes\vec{J}_2$$

我们知道的角动量算符的作用是

$$\left\{\begin{array}{lr} \vec{J}^2\ket{j,m}=j(j+1)\ket{j,m}\\\\ J_z\ket{j,m}=m\ket{j,m} \end{array}\right.$$

我们想要用这两个性质计算角动量的合成，也就是想要计算张量积.

$$\ket{\Psi}=\sum_{j_1,m_1;j_2,m_2}C_{j_1,m_1;j_2,m_2}\ket{j_1,m_1;j_2,m_2}$$

其中，$\ket{j_1,m_1;j_2,m_2}=\ket{j_1,m_1}\otimes\ket{j_2,m_2}$，这是任何一个态在这个张量积空间中的展开. 对于某一个特殊的态$\ket{j,m}$，可以展开成

$$\ket{j,m}=\sum_{j_1,m_1;j_2,m_2}C_{j_1,m_1;j_2,m_2}^{j,m}\ket{j_1,m_1;j_2,m_2}$$

这个系数$C_{j_1,m_1;j_2,m_2}^{j,m}$是一个有三个“插口”的“转换头”，它接受两个态的参数$j_1,m_1$和$j_2,m_2$，然后抛出一个大的态的参数$j,m$，这个系数叫做 Clebsch-Gordan coefficients，这个系数非常重要.

为了方便理解，想想我们之前讲过的超精细结构：这是一个$2\otimes2$的张量积空间中的态，两个自旋 -$\frac{1}{2}$的合成. 因为两个自旋 -$\frac{1}{2}$合成一个自旋 -$1$，这里的最高权态对应的 Clebsch-Gordan 系数是

$$C_{\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{1}{2},\frac{1}{2}}^{1,1}=1$$

一个新的例子是$3\otimes2$的张量积空间. 最高权态是$\ket{1,1;\frac{1}{2},\frac{1}{2}}=\ket{\frac{3}{2},\frac{3}{2}}$，还有对称的态$\ket{1,-1;\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}=\ket{\frac{3}{2},-\frac{3}{2}}$；下一组态是$\ket{1,0;\frac{1}{2},\frac{1}{2}}$、$\ket{1,1;\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}$，也就是$\ket{\frac{3}{2},\frac{1}{2}}$. 其中，$\ket{1,0;\frac{1}{2},\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{+-+}+\ket{-++})$，$\ket{1,1;\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}=\ket{++-}$，所以$\ket{\frac{3}{2},\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}(\ket{++-}+\ket{+-+}+\ket{-++})$（这里每个系数应该是一样的，因为全对称！）.

当然我们漏掉了一些讨论，比如$\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}$应该写成什么，但是反正我们知道它和$\ket{\frac{3}{2},\frac{1}{2}}$正交，所以也没必要特意去讲了.

注意，上面的$m$一定是确定的，可以变化的是$j$，$m=m_1+m_2$是永远成立的.

宇宙暴胀产生的重粒子

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下面是夹带私货的环节. ——四字

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我们从幼儿园看科普书就知道，宇宙一直在膨胀. ——四字

电磁波是不能在电离的东西中间传播的（想想为什么火是不透明的），所以当宇宙在大爆炸之后四十万年以前，光无法自由地传播，在某一时刻宇宙冷却到一定的温度，那时光开始自由地传播——我们能通过已知的量估算这个温度，大约对应着电离能（$\sim\text{eV}$），也就是$10^4\text{K}$左右.

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当然我们也可以算某一个时刻宇宙是宜居的，那时温度是$200\text{K}$…… ——四字

宇宙的微波背景辐射的测量能获得一个相当好的黑体谱，因为宇宙热平衡的程度非常好——但是我们还是在第五位小数的位置发现了一个$\Delta T(x)$.

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这里有一个时空的涨落，而这个涨落造就了我们所见的一切. ——四字

这是因为宇宙爆炸之后的一小段时间，宇宙发生了一次暴涨（inflation，和通货膨胀的单词是一样的），在短时间内指数膨胀，而且这个过程在某一个时候停止了（否则会产生撕裂）. 这需要一个巨大的真空能$E(x,t)$来驱动，这显然是一个势能，它可以量子涨落，对应的量子叫做 inflaton，为刻画这一个涨落，引入$\delta E=E(x,t)-\bar{E}$，这就是我们所见的一切的来源. 在这个时间点，$\bar{E}\sim10^{14}\text{GeV}$，如此高能的环境下，我们能研究极其微观的物理.

（想想我们现在拥有的对撞机，只能达到$10^4\text{GeV}$，就算我们努力工作 50 年到 70 年，我们也只能将这个数字提高大约一个量级，这就是为什么我们现在非常关心早期的宇宙学）

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这里补一个小问题：如何区分虚数单位$\text{i}$和指标$i$？好罢，在上一句话中我已经做了区分，实际上在$\LaTeX$中我们一般将虚数单位写成正体$\text{i}$，而指标写成普通的数学符号$i$.

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