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我考虑了一下要不要将这些笔记放到 blog 上面来，一方面是觉得好像让这里的内容变得有点太学术化，另一方面是觉得这些笔记并不成熟，羞于展示. 但是转念一想，这里就是我的地盘，想怎么样都行，还不如留在这里，方便大家挑出错误之处；同时督促我好好听课，认真做笔记.

这一次更新的部分为我在期中考试之前写的笔记，当时是以“札记”的形式来写，所以疏漏不全，之后的几次笔记就显得成熟很多.

同时，要说明的一点是，这门课程不同于数学课，其数学论证的内容较少，更多的是物理直觉的启发，老师的板书反而没有他随口提到的一些经验或者概念重要，这导致我记下来的东西很多是个人的思考感悟，而且明显偏向定性与半定量，还望专业学者多多包涵，不吝赐教.

我想这些记录的意义就像之前那位在 UCSD 的学长经验分享中所言：留下一份自己的讲义，万一以后自己真的获得了教职呢？

Feynman 物理学讲义 - Vol.III 札记

理论上来说，这里应该记一些讲义上没有的东西——否则要写的就太多；而如果一些想法不写下来的话，这课就白听了，不是吗？

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2024-09-30

量子场论

把电磁场放在一个小盒子里，那么波数只能是特定值：$k_n=2n\pi/L$.

对于某一个波数，有量子化的能级（谐振子）：

$$E_{n,N_n}=\frac{2n\pi\hbar c}{L}(N_n+\frac{1}{2})$$

$n$标记波数，$N_n$是能级的标记（也就是这个能级上的光子数）.

遇到两个问题：

1. 紫外发散：来源于模型，$n$可以任意大？原则上来源于模型中假设能存在任意小的波长，但是时空可能是晶格，不一定能够存在太小的波长.

   同时，真空能（各波数基态能量求和）的绝对值不重要，相对值产生了Casimir效应.

2. 红外发散：来源于物理. 为什么$L\to\infty$不被允许？因为可观测宇宙有限，太大的波长没有意义.

考虑万有引力之后，真空能的绝对值变得重要了起来，这就扯到了暗能量的问题——可惜我们至今不会计算.

养成提问的意识！

Chapter 5 自旋-1

身为一个物理系的同学，当你看到一个漂亮的数学结构时，问自己：这是哪里来的？

Stern-Gerlach Experiment

Ag原子因为自旋而有非零磁矩，梯度磁场对其产生力，造成偏转……

现在我们可以把之前用来表示概率幅的bracket拆开：一个ket（$\ket{}$）表示一个“态”.

• 正交归一条件 ：$\braket{i|j}=\delta_{ij}$.

右边总是没有相位的（从线性代数上来说，这是trivial的，但是这里看起来像是一个规定）.

$$\sum_{j=-1}^{+1}\ket{j}\bra{j}=1$$

上面的东西长得很奇怪，可以想象成一个具有两个“插口”的“器件”，也就是一个矩阵（矩阵是有两个指标的）. 上面的“$1$”应该理解为单位矩阵. 这就是 完备性条件. 这个“器件”上面插任何两个左右矢，等式都是成立的.

我们写下这些式子时，考虑的都是物理，但是发现它们和线性代数中的一些内容相互对应，于是赋予它们线性代数的意义.

考虑两个挡板中间再插一个挡板，我们觉得有可能出现粒子反而可以穿过的情况（想想光的偏振），虽然我们不知道最后的概率如何，但是总的概率相加一定为一：（中间的新挡板叫做$T$）

$$1=P(+S\to+T)+P(+S\to0T)+P(+S\to-T)$$

即

$$1=\braket{+T|+S}\braket{+T|+S}^*+\braket{0T|+S}\braket{0T|+S}^*\\+\braket{-T|+S}\braket{-T|+S}^*$$

幺正性.

破坏幺正性（概率守恒）的一些情况：系统不封闭、粒子会在中途衰变……

态矢量的线性展开：

$$\ket{\phi}=\sum_j\ket{j}\braket{j|\phi}$$

就是说$\ket{\phi}$可以用$\ket{j}$线性展开.

坐标变换：两套坐标基$\ket{iS}$，$\ket{jT}$，$\ket{\phi}$的坐标为$\braket{iS|\phi}$，$\braket{jT|\phi}$，之间的变换矩阵为$\braket{jT|iS}$.

$$\braket{jT|\phi}=\sum_i\braket{jT|iS}\braket{iS|\phi}$$

2024-10-09

跳出所谓“数学的严格性”的舒适圈. 把物理转化为数学模型这件事才是非平庸的.

当我们说“群”，实际上在说一个集合，里面有乘法，而且这个乘法是可逆的（有单位元）.

当我们说“Lie群”，实际上在说一个具有连续性质的群（可以认为它既是一个流形也是一个群）.

任意偶数维的SO(3)表示都是投影表示，也就是说，它的$2\pi$旋转会带上一个$-1$因子——这就解释了费米子在交换的时候产生的$-1$，因为维数$=2s+1$，所有偶数维对应着半整数的自旋；当然，奇数维的表示不会有这一类问题，在这种旋转中，$2\pi$旋转为恒等变换，所以玻色子的交换不会产生$-1$因子.

2024-10-16

上节课最美妙的地方在于并没有用到其他假设，只用到了三维空间中旋转的复合性质就得到了SO(3)的旋量表示.

双连通：在一个拓扑空间中，任何一条闭合曲线不能连续地收缩为一个点，但是沿着这个曲线转两次就能连续地收缩为一个点.

一个简单的例子，把一个球面的南北半球中的一一对应，视为等同，这时一个从南极连到北极的曲线实际上是一条闭合曲线，转两圈就相当于是转成一个经线圈，可以连续收缩为一点（但是转一圈不行）.

SO(3)群是一个双连通的空间，所以绕着一个轴转$4\pi$一定会回到原来的状态，但是$2\pi$不一定行.

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质壳条件（mass-shell）：$E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$.

为什么叫做shell？因为在$E-p$的空间中这个公式形成一个超曲面.

色散关系（dispersion relation）：$E=E(\bold{p})$.

从简单的角度出发，我们准备从确定能量动量的粒子开始入手进行研究（能量、动量没有不确定性关系）.

对称性有两个来源：

1. 物理的对称性：态$\to$态'，两个态等价.
2. 语言的冗余：比如能量零点的选取问题，这被称为“规范（gauge）对称性”，有些人不认为这是对称的，所以叫它“规范不变性”.

2024-10-21

时间序列的信息被能谱丢失了——分解和弦和和弦的频谱没有差异，但是每个频率的出现时间不同，时间顺序体现在相位里.

留数定理.

WKB 近似：这个近似成立的条件是，1. 动量要足够大（保证微元分割的每一个小区间的尺度不小于粒子波长；2. 势能变化不能太剧烈，而且必须连续（以便微元分割）.

显然这节课我很困，所以没记什么东西.

2024-10-23

WKB 近似可以推广至量子隧穿的问题中去，将$p$解析延拓至包含虚数动量，就可以得到一个指数衰减的解.

但是 WKB 近似是半经典的，因为它考虑在某一个区间中存在一个相当确定的动量$p$，这是经典的假设，没有清楚地考虑不确定性原理.

对比之前的驻点近似，那个也是半经典的，对应作用量趋于正无穷（$e^{-iEt/\hbar}\to0$）的情况.

有趣的例子：$\alpha$衰变，Gamov 模型.

半经典的意思：实际上，这些结果一般是路径积分的驻点解，而这对应着经典力学中的作用量极值情况下解出来的复数根，但是经典力学会把这种解舍去，只有量子力学发展出来之后，才能解释这种复根的含义.

Hamiltonian 是时间平移变换的生成元（就是 Taylor 展开的一阶项）.

2024-10-28

期中考试前的最后一次课……我不能摆烂了，我要好好记笔记！

Schrodinger 方程告诉我们，Hamiltonian 是时间演化的生成元.

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\ket{\psi(t)}=H(t)\ket{\psi(t)}$$

我们在这节课开始之前仍然要对这个方程做两点评论：

1. 幺正性和概率守恒. 在时间演化中，一定有概率守恒：

$$\braket{\psi(t_2)|\psi(t_2)}=\braket{\psi(t_1)|\psi(t_1)}$$

所以可以在等号左边的左右矢之间填上两个时间变换矩阵：

$$\bra{\psi(t_2)}U^\dagger(t_2,t_1)U(t_2,t_1)\ket{\psi(t_2)}=\braket{\psi(t_2)|\psi(t_2)}$$

所以$U(t_2,t_1)$是幺正算符（$U^\dagger=U^{-1}$）.

如果没有办法区分幺正性和厄密性（$H^\dagger=H$），可以这样想：厄密性是实数概念（与复数概念相对）向矩阵的推广；幺正性则代表纯粹的相因子.

2. 一点题外话：相对论协变的量子力学.

   我们目前所讲的量子力学，显然不是相对论协变的.

   用 Schrodinger 方程描述的量子力学，是量子力学的 Schrodinger picture （薛定谔绘景），这时时间演化被这样描述：$\braket{\chi(t)|O|\psi(t)}$；

   而在 Heisenberg 绘景中，时间演化的描述是$\braket{\chi(t_0)|U^\dagger(t_1,t_0)U(t_1,t_0)|\psi(t_0)}$，这时算符是可以被局域定义的，所以可以做相对论协变.

   在老旧的量子力学教材中会说量子力学和 相对论不兼容，需要使用 Dirac 方程或者 Klein-Gordon 方程，实际上这是一个错误的路数，Schrodinger 方程没有问题，只是描述它的语言出现了问题.

接下来开始讲 MASER （微波激射器），它是一个双态系统.

对于单态系统，Schrodinger 方程是

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\ket{\psi(t)}=E\ket{\psi(t)}$$

那么$\ket{\psi(t)}\propto e^{-iEt}\ket{\psi(0)}$，再结合前面对相因子意义的解释，我们发现$E$具有能量的含义.（$\hbar=1$）

氨分子的能级：考虑固定三个H原子，N原子可以在这个平面的两侧，还可以偏离平衡位置一点点（当然不管怎样偏离都会抬高系统的能量）. 在这个问题中，我们只考虑两个方向的态，这两个态之间的势垒不算太高，那么量子隧穿的概率不是零. 这个时候我们已经指定好了一个态空间$\text{span}\{\ket{\uparrow},\ket{\downarrow}\}$.

怎样写 Hamiltonian ？首先，对角元相同，而且就是能量$E$；而剩下两个非对角元一定不为零，否则两个态之间就没有隧穿的概率；而且非对角元一定相等，因为有对称性. 所以

$$H=\begin{pmatrix} E&-A\\-A&E \end{pmatrix}$$

而$C_\uparrow=\braket{\uparrow|\psi}$，$C_\downarrow=\braket{\downarrow|\psi}$，方程为

$$i\hbar\begin{pmatrix} \dot{C}_\uparrow\\\dot{C}_\downarrow \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} E&-A\\-A&E \end{pmatrix}\begin{pmatrix} C_\uparrow\\C_\downarrow \end{pmatrix}$$

我们可以找到$H$的本征值$C_\pm=1/\sqrt2\cdot(C_\uparrow\pm C_\downarrow)$（$1/\sqrt2$保证归一化），在本征值下，$H$是对角化的，而且可以很容易地看出其本征值为$E_\pm=E\mp A$.

所以，

$$\begin{aligned} \ket{+(t)}&=e^{i(E-A)t}\ket{+(0)}\\ \ket{-(t)}&=e^{i(E+A)t}\ket{-(0)}\\\\ \Longrightarrow\ket{\uparrow(t)}=\frac{1}{\sqrt2}&(e^{i(E-A)t}\ket{+(0)}+e^{i(E+A)t}\ket{-(0)})\\ \ket{\downarrow(t)}=\frac{1}{\sqrt2}&(e^{i(E-A)t}\ket{+(0)}-e^{i(E+A)t}\ket{-(0)}) \end{aligned}$$

一个小问题：为什么我们不想想这个系统别的态？因为我们只想考虑这两个而已……

这个很像经典力学中的简正模，两个不同的态发生了耦合（coupling），这造成了能级分裂，比如耦合摆.

在经典力学中，耦合摆在振动幅度变大之后会出现重要的非线性项，整个方程变得非线性；但是量子力学中，Schrodinger 方程永远不会变成非线性的，线性代数永远都起作用，只是态的数目变多了（e.g. 三体系统的量子化）.

两个态各有很多能级，但是其间的耦合导致每一个能级都有劈裂，而越高的能级，两个态之间的势垒相对就变低了，所以隧穿概率变大，$A$也随之变大. 而能级劈裂的能级差只由$A$决定（$E+A-(E-A)=2A$）.

注意到我们没有考虑很多东西，比如转动能级之类. 这是因为我们做了尺度分隔，这是我们能研究物理的原因.

数量级估计的一些基本手法：自然单位制，$c=\hbar=k_B=1$.

1.$[L]=[T]=-1$，$[M]=[E]=1$，$[Temp]=1$，这些是自然单位制下的一些量纲.

2. 几个重要的式子：

$1\mu\text{m}\approx1\text{eV}^{-1}$，$1\text{s}\approx10^8\text{m}$，$1\text{g}\approx10^{23}\text{GeV}$，$1\text{K}\approx10^{-4}\text{eV}$，$e^2\approx\alpha=1/137$，$G_N\approx(10^{19}\text{GeV})^{-2}$.

这些式子都有物理含义，比如说最后一个式子可以读作：“当空间中的能量达到$10^{19}\text{GeV}$时，时空本身将被量子化”.

一个估算小问题：我们的教室里可见光和红外光哪个光子数多？

1. 可见光的光子数：认为只有灯给出可见光. 光能够传播的距离大概就是教室尺度$10\text{m}$，灯的功率视作$100\text{W}$，可见光波长大概是百$\text{nm}$量级. 所以：

$$100\text{W}\times\frac{100\text{m}}{c}\times\frac{1}{\text{eV}}\approx\frac{100\times10^{19}}{10^8}\times10=10^{14}$$

2. 红外光：

$$T^3\times(10\text{m})^3=(10^{-2}\text{eV}\times10^7\mu\text{m})^3(10\text{m})^3=10^{15}$$

甚至没有差多少.

甚至可以估算宇宙中总的光子数：

$$(2.7\text{K}\times\text{r})^3$$

$r=137$亿光年.

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这是一条分割线：象征我在期中考试的搁浅.

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2025/10/9 02:50

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