2024-12-04

对称性与守恒律

我们上一节课发现，时间平移带来的对称性和空间平移、空间旋转的对称性不同，所以时间反演操作是一种特殊的变换，我们必须要用反幺正算符. 仔细思考一下这件事的来源，它实际上是因为我们在研究量子力学的时候经常考虑态的时间演化.

现在回头看看经典力学里面我们在做什么. 在经典力学里面我们对对称性的刻画是“保持作用量$S$不变的变换”. 这种刻画和量子力学中“$[H,Q]=0$”的刻画本质不同，比如 Lorentz 变换满足经典力学里面的对称性刻画，但是在量子力学中不是. 这种经典的刻画实际上也和守恒律有关系，想想我们的 Nother 定理就能知道.

/Theorem/ （Nother 定理）

连续、整体（global） 的对称性$\Longrightarrow$守恒流.

一个很直观的图景是在空间中围一个闭合曲面，里面的电荷和外面的电荷总体守恒. 如果曲面里面的电荷减少，外面的电荷就会变多，但是 Nother 定理要求这个过程必须由一个穿过曲面的流来实现.

这个流守恒方程写作

$$\dot{\rho}+\nabla\cdot\vec{j}=0$$

这里体现出来，这个守恒是局域的（local）；

同时，这个守恒的动力学量必须要满足运动方程，否则上式不成立，所以我们还可以说这个守恒流是“在壳的（on-shell）”（我们已经讲过“质壳”！）

上面的流$\vec{j}$总是会比$\rho$多一个方向上的指标，所以如果我们刻画能量密度$\rho$，$\vec{j}$就会是矢量；如果是动量密度$\vec{\rho}$，所谓的$\vec{j}$就会变成二阶张量（动量流密度）.

现在想想，如果是 Lorentz 变换或者是 Galileo 变换呢？这里的守恒量含时. 如果硬要说它代表了什么守恒量，那就是质心在质心系里的位置守恒.

广义对称性（general relativity）：这是一个近几年兴起的概念，实际上它并未告诉我们任何新的物理，但是刷新了我们对对称性的认知.

广义对称性写成$\partial_\mu j^\mu=0$. 由 Gauss 定理，

$$\int_V\partial_\mu j^\mu\text{d}V=\int_S j^\mu\cdot n_\mu\text{d}S$$

这代表了一种拓扑性质，因为我能改变这个闭合曲面的形状. 那为什么我们要用一个曲面，而不是一个曲线呢？问题在于所谓的 co-dimension，也就是说在三维空间里面，我必须用一个二维的曲面来包裹粒子；四维空间则需要三维的曲面（等时面！），我们需要 co-dimension$=1$.

电 / 磁力线守恒$\Longleftarrow$带空间，这是指标的对称性，又称为 higher-form 对称性.

上面讲到的内容只是为了让大家理解，局域的对称性来自于拓扑性质.

螺旋度

这是这一章最后的内容，我们跳过了光子极化之类的内容，之前已经讲过.

螺旋度（helicity）：“自旋”为$s$的无质量粒子（$m=0$）有两个独立的极化状态；相对的，有质量粒子自旋为$s$时，有$2s+1$个极化状态.

简单来想就是对于有质量粒子，我们能到质心系中观察其状态，下一章我们会讲$2s+1$的来源；但是对于无质量粒子，永远以光速运动，所以上面的方法不适用了.

螺旋度的定义是角动量在动量方向的投影，$h=\frac{\vec{J}\cdot\vec{p}}{|\vec{p}|}$.

以上就是 17 章的全部内容.

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SO(3)

剩下的时间来研究 SO(3). 第 18 章可能是整本书最夸张的一章，因为这些内容一般在一本比较好的李群书上才能看到.

实际上这一整章都在计算 SO(3) 的所有不等价不可约的幺正表示. 用到的数学是高中范围的，但是计算难度极大. 对于三维空间的旋转变换$R$，表示矩阵写成$D[R]$. 我们想要找到幺正表示的原因是，Wigner 定理要求对称变换一定是幺正的（见 札记 9）.

对于某一个表示$D[R]$，它不一定可以对角化，但是能形成一些对角线上的块，它们不能再被对角化，所以是“不可约的”；这些块能够按大小（维数）分类，SO(3)（unitary irreducible representation）的维数写成$2j+1$，其中$j$是半整数，容易知道这里的$j$代表了自旋（角动量）.

对于任意的$j$，构造$D_{(2j+1)\times(2j+1)}[R(\alpha,\beta,\gamma)]$：

• 找好$2j+1$个基础态； *$R(\alpha,\beta,\gamma)=R_z(\gamma)R_y(\beta)R_z(\alpha)$，只用找到两种矩阵.

所以最开始，我们需要找到沿$\hat{z}$有确定角动量（$m$）的态$\ket{j,m}$. 这里满足

$$D[R_z(\theta)]\ket{j,m}=e^{im\theta}\ket{j,m}$$

这是我们之前讲过的——基础态的旋转产生一个纯相位，相位正比于旋转角，比例系数是角动量. 如果取$m=j$，那么

$$\ket{j,j}=\ket{+\cdots+}=\bigotimes_{2j}\ket{+}$$

这相当于将$2j$个$+1/2$自旋的“带插口器件”粘合在一起，它有一个名字叫做最高权态（highest weight state），当然还会有最低权态$\ket{j,-j}=\ket{-\cdots-}$，我们只剩下$2j-1$个态需要处理.

取全对称的组合：

$$\prod(\ket{+}^u\ket{-}^v)$$

其中，$u+v=2j$，$u-v=2m$，这就可以唯一地确定$u$、$v$，定义这个组合为

$$\prod(\ket{+}^u\ket{-}^v)=\frac{1}{C_{u+v}^u}(\text{different permutation})$$

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这节课就断在了一个莫名其妙的地方，四字说下节课讲讲为什么这样定义、这些做法的用处.

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我是真的一点没听懂啊……

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2025/10/9 02:50

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