菲兹克斯喵

外观

札记 14

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2024-12-16

2024-12-16

快要到期末了，现在说说之后两周的计划：首先我们已经上到了第十八章，这甚至比去年的进度更快. 第二十章我们不一定会讲，但是非常重要，因为它是算符的有关内容，但是我们其实已经在之前的课程中镶嵌了这里的部分内容. 第二十一章将不讲 Feynman 的内容，因为他的那节课实际上和自己的课程并无联系——所以我们讲点《其 他 内 容》（当然这不会考）.

宇宙学对撞机物理

我们之前好像提过 Schwinger 效应，这指的是我们在极短的距离上加强场，有可能击穿真空，产生一对对正负电子对，它们会沿着电场分开，在极板上产生电势差.

用不确定性原理的简单解释是，当我们增加电场，实际上就是在增加空间中的能量密度，当这个能量密度与电子的能量密度匹配时，在空间中产生正负电子对的概率大幅增加.

“电子的能量密度”：显然我们认为电子是一个点粒子，因为至今我们没有发现电子的内部结构，这里的密度来源于我们不能将电子定域，所以这里的能量密度的含义实际上是能量密度达到这个值时，空间中会产生正负电子对.

估算电子能量密度，长度量可以用 Compton 波长描述（hmec\frac{h}{m_ec}），在自然单位制下就是∼eV−1\sim\text{eV}^{-1}，所以大致上ρe∼me4\rho_e\sim m_e^4.

我们要求∣E⃗∣2∼ρe|\vec{E}|^2\sim\rho_e，也就是∣E⃗∣∼me2|\vec{E}|\sim m_e^2，国际单位制下me∼0.5MeVm_e\sim0.5\text{MeV}，大约是1018V/m10^{18}\text{V/m}量级，这是人类目前无法构造的电场.

回到宇宙学.2.7K2.7\text{K}的微波背景辐射存在相对涨落ΔT/T∼10−5\Delta T/T\sim10^{-5}，这是来源于所谓的 cosmic inflation. Hubble 常量是H≲1014GeVH\lesssim10^{14}\text{GeV}，这是宇宙的曲率大小.

相信大家都听过所谓的“曲率引擎”，宇宙的大曲率和强大的电场等效，这是 General Relativity 决定的，14、15 年左右 Princeton 的两位物理学家提出了这样的观点，想要通过宇宙学尺度的强大效应，观测 CMB（微波背景辐射）的地图，反推暴涨时期重粒子的存在——也就是构建一个“宇宙学对撞机”，他们论文的题目就是“宇宙学对撞机物理”.

补一幅图

感谢韩学长的后脑勺友情出镜.

假设重粒子AA，自旋 -s∈Ns\in\mathbb{N}，这是我们想要求出的. 假设过程 1 是真空中产生了两个AA粒子，向zz轴正负方向飞行.

过程 2 是向zz轴正方向飞行的粒子衰变成一个φ\varphi粒子（inflaton），它的性质是已知的——自旋为00，就是ΔT\Delta T的来源；而过程 3 是向zz轴负方向飞行的AA粒子衰变成两个φ\varphi（不需要知道为什么这里是两个而前面是一个）.

我们可以根据上面的假设，在 CMB 地图上找到三点然后计算关联函数，这是技术上的过程，不细讲. 我们现在要做的是了解现在这里的问题.

如果三个φ\varphi的波数是k⃗1\vec{k}_1、k⃗2\vec{k}_2、k⃗3\vec{k}_3，其中前两个是过程 3 产生的，那么三者一定构成一个矢量三角形，这是因为动量守恒——如果做 Fourier 变换，就能反映在 CMB 地图上，这是简单的. 下面我们想想如何通过角动量的条件约束这个过程.

下面可能会用到一个近似：过程 2 产生的φ\varphi动量很小，另外两个粒子几乎共线.

现在假设过程 1 产生的粒子AA自旋为ss、螺旋度（自旋在动量方向上的投影）为mm，那么这个态一定是am∣s,m⟩+z∣s,m⟩−za_m\ket{s,m}_{+z}\ket{s,m}_{-z}.

解读：总角动量一定是零，因为最开始是真空；两个ss反向，动量方向也反向，所以螺旋度实际上是一样的.ama_m是产生螺旋度为mm的态的概率幅.

过程 2：沿zz角动量守恒，所以m=0m=0，幅b∝δ0mb\propto\delta_{0m}.

经典的数学是可以用的，实际上，角动量在传播方向上的投影∝p⃗⋅J⃗=(r⃗×p⃗)⋅p⃗=0\propto\vec{p}\cdot\vec{J}=(\vec{r}\times\vec{p})\cdot\vec{p}=0，所以传播方向上自旋为00.

嗯，想象一下用一个绳子绑着一个球，转起来之后剪短绳子，飞出去的小球还是有角动量，这就是空间角动量转化为自旋.

过程 3：在k⃗1,2≫k⃗3\vec{k}_{1,2}\gg\vec{k}_3时，φ(k⃗1)\varphi(\vec{k}_1)和φ(k⃗2)\varphi(\vec{k}_2)几乎共线，所以初态是沿−z-z方向的一个粒子，在−z-z方向螺旋度是00（±z\pm z方向上AA粒子螺旋度相等），初态∣s,0⟩−z\ket{s,0}_{-z}；末态则是角动量为ss、传播方向为±k⃗1\pm\vec{k}_1的二粒子态，也就是∣s,0⟩k⃗1\ket{s,0}_{\vec{k}_1}. 所以说，过程 3 的概率幅∝k⃗1⟨s,0∣s,0⟩−z\propto_{\vec{k}_1}\braket{s,0|s,0}_{-z}，这就是我们之前讲的 Wigner 矩阵的0000分量，∝d00s(θ)=Ps(cos⁡θ)\propto d^s_{00}(\theta)=P_s(\cos\theta).

所以我们只用测出这个f(θ)f(\theta)，就能确定 Legendre 多项式的阶数，然后得到自旋.

下面我们说说在宇宙学的尺度上看到宇称破缺. 当然我们知道大尺度下的主导力是引力和电磁相互作用，它们保宇称，所以要是看到了这种现象一定是来源于早期宇宙的一些奇怪的效应.

我们上面讲到的那个例子不可能用来看宇称破缺，因为要看宇称破缺我们至少要有一个观测量是赝标量. 对上面那个例子，最朴素的构造标量的想法是εijkk1ik2jk3k\varepsilon_{ijk}k^i_1k^j_2k^k_3，它形成不了赝标量.

为了构造赝标量，我们至少还要一个矢量，它们会构成一个空间四面体，所以我们把过程 2 改成过程 3. 现在左右两边的矢量（一个k⃗A\vec{k}_A和两个k⃗φ\vec{k}_\varphi）都有一个平面，它们关于某一个yy轴的夹角是φ1\varphi_1、φ2\varphi_2——当然最后有作用的应该是它们的差.

对过程 1 进行宇称变换，因为 boson 的统计性质，交换会产生螺旋度上的一个负号，

am∣s,m⟩+z∣s,m⟩−z⟶unitarya−m∣s,−m⟩−z∣s,−m⟩+z⟶bosona−m∣s,−m⟩+z∣s,−m⟩−z\begin{aligned} a_m\ket{s,m}_{+z}\ket{s,m}_{-z}&\overset{\text{unitary}}{\longrightarrow}a_{-m}\ket{s,-m}_{-z}\ket{s,-m}_{+z}\\ &\overset{\text{boson}}{\longrightarrow}a_{-m}\ket{s,-m}_{+z}\ket{s,-m}_{-z} \end{aligned}

如果宇称守恒，则am=a−ma_m=a_{-m}应该成立，否则两者不相等. 接下来的问题就是如何从四粒子末态中观测到这里的≠\neq号.

过程 3 和改版的过程 2 当然是不变的，分别有k⃗1⟨s,0∣s,m⟩−z_{\vec{k}_1}\braket{s,0|s,m}_{-z}、k⃗3⟨s,0∣s,m⟩+z_{\vec{k}_3}\braket{s,0|s,m}_{+z}. 总概率幅是：

∑m=−s+sam×k⃗3⟨s,0∣s,m⟩+z×k⃗1⟨s,0∣s,m⟩−z∝∑m=−s+samPsm(cos⁡ϕ1)Psm(cos⁡ϕ2)\begin{aligned} &\sum_{m=-s}^{+s}a_m\times_{\vec{k}_3}\braket{s,0|s,m}_{+z}\times_{\vec{k}_1}\braket{s,0|s,m}_{-z}\\ &\propto\sum_{m=-s}^{+s}a_mP_s^{m}(\cos\phi_1)P_s^m(\cos\phi_2) \end{aligned}

我们略去这里《简 单》的计算，会得到如果宇称不守恒，最后的关联函数会多出一项奇函数项（sin⁡\sin），否则将全是cos⁡[m(ϕ1−ϕ2)]\cos[m(\phi_1-\phi_2)].

量子纠缠

事实上，量子力学其实就是线性代数，其中有意思的东西并不多，只有相位、纠缠这些小东西（?）

量子纠缠来源于张量积，比如说一对电子，它们能产生一组基础态∣++⟩\ket{++}、∣+−⟩\ket{+-}、∣−+⟩\ket{-+}、∣−−⟩\ket{--}. 但是一定有一些态不属于它们，而是它们的线性组合——这就是纠缠态.

一个很特殊的情况是反对称组合：

∣+−⟩−∣−+⟩2\frac{\ket{+-}-\ket{-+}}{\sqrt2}

（这应该被刻进 DNA 里！）

一种具体的情形是这两个电子是由一个 Higgs 粒子衰变而成（虽然这个概率超级小），两个电子在之后相距很远，但是我们看到一个的自旋就能立马知道另一个的自旋——这是很经典的，也很好理解.

不好理解的问题在于，根据量子力学的 Copenhagen 诠释，对电子做自旋测量，就是让波函数坍缩成自旋向上或者自旋向下，而另一个电子的态被立即确定. 这里发生了超光速的信息传递. 更加不可接受的事实是，如果我先测量我手中的电子的zz方向自旋，再测量xx方向自旋，我就能同时确定光年之外的电子的xx、zz方向自旋，但是这两方向的自旋算符甚至不对易，我不能同时精确测量它们. 所以只要我认可测量不改变类空距离外的态，就一定会产生矛盾.

这被称为 EPR 佯谬，Einstein 据此认为量子力学的“态”描写不完备，量子力学不完备. 所以后续有很多人提出新的理论将这个理论“完备化”，其中最重要的是隐变量理论，也就是像热力学的配分函数一样存在一个函数能够描述这种概率. 但是 Bell 发现了一个美妙的不等式，证明了在三粒子纠缠态中隐变量理论无法正确描述实验现象.

所以现在我们对这件事的理解是，量子力学的描述是系综平均，虽然我们能通过测量某一个电子的方式超光速地改变远处对应的电子的态，但是我们并不知道光年之外的观测者是不是测量了我们手中的电子对应的那个电子，所以信息仍然不是超光速传递的.

下课之后的问题：

  • 上节课讲到，为了得到一个“真正的张量”，我们要用全反对称张量进行缩并，得到一个旋转不变的量.

    那么，为什么一定要用全反对称张量(0−110)\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}，而不能使用其他的张量呢？实际上，如果用(0210)\begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}做缩并，得到的量还是旋转不变量.

    这是因为用全反对称张量得到的量在换基下也不变，这个性质不为其他张量所具有.

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