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计算专题3 凸透镜的二阶像散

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Physics

2024-07-09

前言

这一篇专题旨在计算我在竞赛阶段算过三遍却没有一次算对的问题，之前 CPhO-S 某张试卷中的“凸透镜的像散”. 这是对之前的自我的一次挑战，也是为了 14 号开始去某物理竞赛机构打工而进行的一次计算能力的复健. 同时，毕竟 8 月中下旬就要开学，在此之前我还是希望自己的能力，至少是计算能力，要能够维持一定的水准.

希望这次的计算专题能够达到我想要的效果.

问题描述

如图所示，一个凸透镜，两面球面半径分别为r1r_1和r2r_2，光线平行主光轴入射，距离主光轴rr. 凸透镜的像散是指边缘光汇聚点与傍轴光汇聚点（即焦点）之间的一段距离Δ\Delta，本题所求即为在二阶近似下的Δ\Delta值（保留O(r2)O(r^2)阶项，r≪fr\ll f，ff为焦距）.

计算

角度设定和初步运算

如图所示，设定所用到的各个角度.

设第一次入射角为ii，折射角为jj，第二球面的法线在光线入射处与主光轴夹角为α\alpha，则第二次的入射角为i−j+αi-j+\alpha，折射角为β\beta. 设最终出射光线与主光轴的交点距离光心xx，又因为可做薄透镜近似，xx实际上是交点与第二球面顶点之间的距离.

由几何关系，易知：

sin⁡i=rr1 ,sin⁡α=rr2 ,x=rtan⁡(β−α)\begin{aligned} \sin i=\frac{r}{r_1}\,,\quad\sin\alpha=\frac{r}{r_2}\,,\quad x=\frac{r}{\tan(\beta-\alpha)}\\\\ \end{aligned}

又有折射定律

nsin⁡j=sin⁡i ,nsin⁡(i−j+α)=sin⁡β\begin{aligned} n\sin j=\sin i\,,\quad n\sin(i-j+\alpha)=\sin\beta\\\\ \end{aligned}

所以

x=r⋅cos⁡(β−α)sin⁡(β−α)=r⋅cos⁡βcos⁡α+sin⁡βsin⁡αsin⁡βcos⁡α−cos⁡βsin⁡α=r⋅cos⁡β⋅1−r2r22+nsin⁡(i−j+α)⋅rr2nsin⁡(i−j+α)⋅1−r2r22−cos⁡β⋅rr2⟹Δ=f−x=f−r⋅cos⁡β⋅1−r2r22+nsin⁡(i−j+α)⋅rr2nsin⁡(i−j+α)⋅1−r2r22−cos⁡β⋅rr2=1(n−1)(1r1+1r2)−r⋅cos⁡β⋅1−r2r22+nsin⁡(i−j+α)⋅rr2nsin⁡(i−j+α)⋅1−r2r22−cos⁡β⋅rr2\begin{aligned} x&=r\cdot\frac{\cos(\beta-\alpha)}{\sin(\beta-\alpha)}=r\cdot\frac{\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha}{\sin\beta\cos\alpha-\cos\beta\sin\alpha}\\\\ &=r\cdot\frac{\cos\beta\cdot\sqrt{1-\frac{r^2}{r_2^2}}+n\sin(i-j+\alpha)\cdot\frac{r}{r_2}}{n\sin(i-j+\alpha)\cdot\sqrt{1-\frac{r^2}{r_2^2}}-\cos\beta\cdot\frac{r}{r_2}}\\\\ \Longrightarrow&\quad\Delta=f-x\\\\&=f-r\cdot\frac{\cos\beta\cdot\sqrt{1-\frac{r^2}{r_2^2}}+n\sin(i-j+\alpha)\cdot\frac{r}{r_2}}{n\sin(i-j+\alpha)\cdot\sqrt{1-\frac{r^2}{r_2^2}}-\cos\beta\cdot\frac{r}{r_2}}\\\\&=\frac{1}{(n-1)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})}-r\cdot\frac{\cos\beta\cdot\sqrt{1-\frac{r^2}{r_2^2}}+n\sin(i-j+\alpha)\cdot\frac{r}{r_2}}{n\sin(i-j+\alpha)\cdot\sqrt{1-\frac{r^2}{r_2^2}}-\cos\beta\cdot\frac{r}{r_2}}\\\\ \end{aligned}

至此，我们得到了像散的初步表达式，之后进行较为细致的小量处理.

深入计算与小量处理

目前还有cos⁡β\cos\beta和sin⁡(i−j+α)\sin(i-j+\alpha)两个量没有具体表达式，先对这两个量进行化简.

sin⁡(i−j+α)=sin⁡i(cos⁡αcos⁡j+sin⁡αsin⁡j)+cos⁡i(sin⁡αcos⁡j−cos⁡αsin⁡j)=rr1(1−r2r22⋅1−r2n2r12+rr2⋅rnr1)+ 1−r2r12⋅(rr2⋅1−r2n2r12−1−r2r22⋅rnr1)\begin{aligned} \sin(i-j+\alpha)&=\sin i(\cos \alpha\cos j+\sin\alpha\sin j)+\cos i(\sin\alpha\cos j-\cos\alpha\sin j)\\\\&=\frac{r}{r_1}(\sqrt{1-\frac{r^2}{r_2^2}}\cdot\sqrt{1-\frac{r^2}{n^2r^2_1}}+\frac{r}{r_2}\cdot\frac{r}{nr_1})+\\\\&\quad\,\sqrt{1-\frac{r^2}{r_1^2}}\cdot(\frac{r}{r_2}\cdot\sqrt{1-\frac{r^2}{n^2r^2_1}}-\sqrt{1-\frac{r^2}{r_2^2}}\cdot\frac{r}{nr_1})\\\\ \end{aligned}

注意到，sin⁡(i−j+α)\sin(i-j+\alpha)的最低阶项就是一阶项，所以xx表达式里分母中最低阶的项就是一阶项，再与前面的rr相乘后分母变为零阶. 又因为整个xx一定是正常量级，所以分子最低阶必须是零阶. 而问题要求最终结果保留到二阶量，所以分子、与rr相乘后的分母都需要保留到二阶项，这就要求sin⁡(i−j+α)\sin(i-j+\alpha)和cos⁡β\cos\beta在前期计算时必须保留三阶项.

继续：

sin⁡(i−j+α)≈rr1(1−r22r22−r22n2r12+r2nr1r2)+ (1−r22r12)(rr2−r32n2r12r2−rnr1+r32nr1r22)≈rr1−r32r1r22−r32n2r13+r3nr12r2+ rr2−r32n2r12r2−rnr1+r32nr1r22−r32r12r2+r32nr13=(1r1+1r2−1nr1)r+(−12r1r22−12n2r13+ 1nr12r2−12n2r12r2+12nr1r22−12r12r2+12nr13)r3=(1r1+1r2−1nr1)r+12nr1(n−1)(1nr1−1r2)(1r1+1r2)\begin{aligned} \sin(i-j+\alpha)&\approx\frac{r}{r_1}(1-\frac{r^2}{2r_2^2}-\frac{r^2}{2n^2r^2_1}+\frac{r^2}{nr_1r_2})+\\\\&\quad\,(1-\frac{r^2}{2r^2_1})(\frac{r}{r_2}-\frac{r^3}{2n^2r_1^2r_2}-\frac{r}{nr_1}+\frac{r^3}{2nr_1r_2^2})\\\\&\approx\frac{r}{r_1}-\frac{r^3}{2r_1r^2_2}-\frac{r^3}{2n^2r_1^3}+\frac{r^3}{nr^2_1r_2}+\\\\&\quad\,\frac{r}{r_2}-\frac{r^3}{2n^2r_1^2r_2}-\frac{r}{nr_1}+\frac{r^3}{2nr_1r_2^2}-\frac{r^3}{2r_1^2r_2}+\frac{r^3}{2nr_1^3}\\\\&=(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})r+(-\frac{1}{2r_1r_2^2}-\frac{1}{2n^2r_1^3}+\\\\&\quad\,\frac{1}{nr_1^2r_2}-\frac{1}{2n^2r_1^2r_2}+\frac{1}{2nr_1r_2^2}-\frac{1}{2r_1^2r_2}+\frac{1}{2nr_1^3})r^3\\\\&=(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})r+\frac{1}{2nr_1}(n-1)(\frac{1}{nr_1}-\frac{1}{r_2})(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})\\\\ \end{aligned}

最后一行的化简结果要鸣谢另一位攀登计划的同学，这种观察能力令我深表佩服.

cos⁡β\cos\beta要利用sin⁡(i−j+α)\sin(i-j+\alpha)的结果来计算，这时要保留到三阶项，意味着只要用到sin⁡(i−j+α)\sin(i-j+\alpha)的一阶成分.

cos⁡β=1−n2sin⁡2(i−j+α)≈1−n2(1r1+1r2−1nr1)2r2≈1−n22(1r1+1r2−1nr1)2r2\begin{aligned} \cos\beta&=\sqrt{1-n^2\sin^2(i-j+\alpha)}\\\\&\approx\sqrt{1-n^2(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})^2r^2}\\\\&\approx1-\frac{n^2}{2}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})^2r^2\\\\ \end{aligned}

这时我们可以开始计算xx的分子与分母.

分子保留二阶项：

A≈1−r2r22⋅[1−n22(1r1+1r2−1nr1)2r2]+ (1r1+1r2−1nr1)nr2r2+(−12r1r22−12n2r13+ 1nr12r2−12n2r12r2+12nr1r22−12r12r2+12nr13)nr4r2≈1−r22r22−n22(1r1+1r2−1nr1)2r2+(1r1+1r2−1nr1)nr2r2=1−(12r22+n22r12+n22r22+12r12+ n2r1r2−nr12−nr1r2−nr1r2−nr22+1r1r2)r2\begin{aligned} A&\approx\sqrt{1-\frac{r^2}{r_2^2}}\cdot[1-\frac{n^2}{2}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})^2r^2]+\\\\&\quad\,(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})\frac{nr^2}{r_2}+(-\frac{1}{2r_1r_2^2}-\frac{1}{2n^2r_1^3}+\\\\&\quad\,\frac{1}{nr_1^2r_2}-\frac{1}{2n^2r_1^2r_2}+\frac{1}{2nr_1r_2^2}-\frac{1}{2r_1^2r_2}+\frac{1}{2nr_1^3})\frac{nr^4}{r_2}\\\\&\approx1-\frac{r^2}{2r_2^2}-\frac{n^2}{2}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})^2r^2+(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})\frac{nr^2}{r_2}\\\\&=1-(\frac{1}{2r_2^2}+\frac{n^2}{2r_1^2}+\frac{n^2}{2r_2^2}+\frac{1}{2r_1^2}+\\\\&\quad\,\frac{n^2}{r_1r_2}-\frac{n}{r_1^2}-\frac{n}{r_1r_2}-\frac{n}{r_1r_2}-\frac{n}{r_2^2}+\frac{1}{r_1r_2})r^2\\\\ \end{aligned}

注意观察，r2r^2的系数是可以分组提取公因子，进行因式分解的：

12(1r12+1r22+2r1r2)−n(1r12+1r22+2r1r2)+n22(1r12+1r22+2r1r2)=12(n−1)2(1r1+1r2)2\begin{aligned} &\frac{1}{2}(\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{2}{r_1r_2})-n(\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{2}{r_1r_2})+\frac{n^2}{2}(\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{2}{r_1r_2})\\\\&=\frac{1}{2}(n-1)^2(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})^2\\\\ \end{aligned}

故而分子保留到二阶小量化为

A≈1−12(n−1)2(1r1+1r2)2r2\begin{aligned} A&\approx1-\frac{1}{2}(n-1)^2(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})^2r^2\\\\ \end{aligned}

分母要除去rr，有：

B≈nr1−r2r22[(1r1+1r2−1nr1)r+12nr1(n−1)(1nr1−1r2)(1r1+1r2)] −[1−12(n−1)2(1r1+1r2)2]⋅1r2≈n(1r1+1r2−1nr1)+n−12r1(1r1+1r2)(1nr1−1r2)r2 −n2r22(1r1+1r2−1nr1)r2‾−1r2+n22r2(1r1+1r2−1nr1)2r2‾=(n−1)(1r1+1r2)+n−12r1(1r1+1r2)(1nr1−1r2)r2 +nr22r2(1r1+1r2−1nr1)(n−1)(1r1+1r2)‾=(n−1)(1r1+1r2)+(n−1)(1r1+1r2)[12r1(1nr1−1r2)+ n2r2(1r1+1r2−1nr1)]r2\begin{aligned} B&\approx \frac{n}{r}\sqrt{1-\frac{r^2}{r_2^2}}[(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})r+\frac{1}{2nr_1}(n-1)(\frac{1}{nr_1}-\frac{1}{r_2})(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})]\\\\&\quad\,-[1-\frac{1}{2}(n-1)^2(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})^2]\cdot\frac{1}{r_2}\\\\&\approx n(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})+\frac{n-1}{2r_1}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})(\frac{1}{nr_1}-\frac{1}{r_2})r^2\\\\&\quad\,\underline{-\frac{n}{2r_2^2}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})r^2}-\frac{1}{r_2}\underline{+\frac{n^2}{2r_2}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})^2r^2}\\\\&=(n-1)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})+\frac{n-1}{2r_1}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})(\frac{1}{nr_1}-\frac{1}{r_2})r^2\\\\&\quad\,\underline{+\frac{nr^2}{2r_2}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})(n-1)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})}\\\\&=(n-1)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})+(n-1)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})[\frac{1}{2r_1}(\frac{1}{nr_1}-\frac{1}{r_2})+\\\\&\quad\,\frac{n}{2r_2}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})]r^2\\\\ \end{aligned}

进入下一个环节：

Δ≈1(n−1)(1r1+1r2)−1(n−1)(1r1+1r2){1−12(n−1)2(1r1+1r2)2r2 −[n2r2(1r1+1r2)+12nr12−1r1r2]r2}=12(n−1)2(1r1+1r2)2+n2r2(1r1+1r2)+12nr12−1r1r2(n−1)(1r1+1r2)r2\begin{aligned} \Delta&\approx\frac{1}{(n-1)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})}-\frac{1}{(n-1)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})}\{1-\frac{1}{2}(n-1)^2(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})^2r^2\\\\&\quad\,-[\frac{n}{2r_2}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})+\frac{1}{2nr_1^2}-\frac{1}{r_1r_2}]r^2\}\\\\&=\frac{\frac{1}{2}(n-1)^2(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})^2+\frac{n}{2r_2}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})+\frac{1}{2nr_1^2}-\frac{1}{r_1r_2}}{(n-1)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})}r^2\\\\ \end{aligned}

至此，最终答案就已经被算出来了.（虽然这已经是十几天之后的结果，在机构改试卷的工作确实非常忙碌，根本无法抽身）.

之前一直认为算不对的问题终于解决了，但是我其实并不惊讶. 毕竟这个答案形式本身非常丑陋，而且关于r1r_1和r2r_2也不是对称的，所以我有理由猜测之前的所谓“算不对”实际上是“算不出 CPhO-S 所给出的原答案”，而且没有这么多时间来仔细打磨自己的计算过程，也就没有办法将答案化简到能用 CASIO 数值验证的程度. CPhO-S 的原答案如下：

Δ=(1−1n3)nr13+n−1r23+n(n2−1)(1r1+1r2−1nr1)3+2(n−1)3(1r1+1r2)36(n−1)2(1r1+1r2)2r2\begin{aligned} \Delta=\frac{(1-\frac{1}{n^3})\frac{n}{r^3_1}+\frac{n-1}{r^3_2}+n(n^2-1)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}-\frac{1}{nr_1})^3+2(n-1)^3(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})^3}{6(n-1)^2(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})^2}r^2\\\\ \end{aligned}

这两个答案显然不太可能用肉眼证明是相等的. 所以说其实这一次只是打破了之前一直有的一个执念吧.

总结与反思

这一次的计算专题比我想象中的要容易许多. 这并不是说我的能力没有提升，只是说明我比我想象中的自己要强一些而已. 可惜的是，我并没有在打工前写完这一篇计算专题，而是搁到了快 8 月份才写完，之前定下的目标确实是没有达成，应该反思.

了结了之前在我的笔记本上备注为“计算高峰，延年益寿”的这道题目之后，我还有什么想要挑战的题目呢？我计划在开学前至少再写一篇计算专题，至于开学之后要做什么其实我自己也不太清楚. 这次在机构打工的最大收获其实就是认识了很多未来的同学，我对大学生活也有了更深入的了解. 希望接下来的路能够让我有更大的提升吧，至少我会继续挑战下去.

版权归属：physnya

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