Bessel 方程

方程形式为

$$\frac{\text{d}^2w}{\text{d}z^2}+\frac{1}{z}\frac{\text{d}w}{\text{d}z}+\left(1-\frac{\nu^2}{z^2}\right)w=0$$

默认 $\nu$ 是一个正实数. $z=0$ 是方程的正则奇点，$z=\infty$ 是非正则奇点.

考虑 $z=0$ 邻域的解为

$$w(z)=z^\rho\sum_{k=0}^\infty c_kz^k,\quad c_0\neq0$$

代入，得到

$$\begin{aligned} &\sum_{k=0}^\infty c_k(k+\rho)(k+\rho-1)z^{k+\rho-2}+\sum_{k=0}^\infty c_k(k+\rho)z^{k+\rho-2}\\ &+\sum_{k=0}^\infty c_kz^{k+\rho}-\nu^2\sum_{k=0}^\infty c_kz^{k+\rho-2}=0 \end{aligned}$$

约去 $z^{\rho-2}$，

$$\sum_{k=0}^\infty c_k[(k+\rho)^2-\nu^2]z^k+\sum_{k=0}^\infty c_kz^{k+2}=0$$

由最低次幂的系数，且 $c_0\neq0$，得到指标方程为

$$\rho^2-\nu^2=0$$

可以取 $\rho_{1,2}=\pm\nu$. 再看 $z^1$ 项系数，为

$$c_1[(\rho+1)^2-\nu^2]=c_1(2\rho+1)=0$$

如果 $\rho\neq-1/2$，那么 $c_1=0$；否则是任意的. 递推关系：

$$c_n=-\frac{1}{n(n+2\rho)}c_{n-2}$$

我们最后关注的肯定是偶数项，因为 $c_0$ 被要求了不为零，所以这一个序列更加重要；至于奇数项作用并不是特别大. 偶数项：

$$c_{2n}=\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{(\rho+1)_n}\frac{1}{2^{2n}}c_0=\boxed{\frac{(-1)^n\Gamma(\rho+1)c_0}{n!\Gamma(\rho+n+1)2^{2n}}}$$

奇数项为零 (可以要求). 取 $\rho_1=\nu$，$c_0=\displaystyle{\frac{1}{2^\nu\Gamma(\nu+1)}}$，得到 Bessel 函数

$$J_\nu(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k+\nu+1)}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k+\nu}$$

$\rho_2=-\nu$ 时，取 $c_0=\displaystyle{\frac{2^\nu}{\Gamma(-\nu+1)}}$，

$$J_{-\nu}(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k-\nu+1)}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k-\nu}$$

但是我们并没有解决 $\rho=-1/2$ 时，$c_1\neq0$ 的情形. 实际上经过计算可以证明：

$$z^{-1/2}\sum_{n=0}^\infty c_{2n+1}z^{2n+1}=c_1\sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot J_{1/2}(z)$$

也就是在 $w_2(z)$ 上叠加一个第一解.

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我们还是没有完成全部的求解：

• 当 $\nu\neq$ 整数，解已经完备；

• $\nu=$ 正整数，可能会出现 $\Gamma$ 函数的自变量为负整数或者 $0$，考虑

  $$J_{-n}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k-n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k-n}$$

  $\Gamma$ 在分母上且是无穷，$k=0,\cdots,n-1$ 的每一项全部是 $0$，如果 $k-n=l$，那么就变为

  $$J_{-n}(x)=(-1)^nJ_n(x)$$

  相当于同一个解.

  注意

  这是因为，我们在解第二解的时候提出的系数 $c_0=\displaystyle{\frac{2^n}{\Gamma(-n+1)}}$ 在这些情况下已经是零了，实际上并不是合理的，当然会出现两个解线性相关的问题.

• 如果更特殊，$\nu=0$，则

  $$J_0(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}$$

所以实际上 $\nu=n$ 时，第二解应该有对数项，

$$w_2(x)=gJ_n(x)\ln x+\sum_{k=0}^\infty d_kx^{k-n}$$

用 Wronski 行列式来做：

$$\Delta[J_\nu(z),J_{-\nu}(z)]=\begin{vmatrix} J_\nu(z)&J_{-\nu}(z)\\J'_\nu(z)&J'_{-\nu}(z) \end{vmatrix}=A\exp\left[-\int^z\frac{\text{d}\zeta}{\zeta}\right]=\frac{A}{z}$$

后面的形式实际上是由 Wronski 积分给出的. 所以在计算行列式的意义上，可以只计算 $z^{-1}$ 项系数给出的值，

$$\begin{aligned} A&=\frac{1}{\Gamma(1+\nu)}\frac{1}{2^\nu}\frac{1}{\Gamma(1-\nu)}\frac{-\nu}{2^{-\nu}}-\frac{1}{\Gamma(1-\nu)}\frac{1}{2^{-\nu}}\frac{1}{\Gamma(1+\nu)}\frac{\nu}{2^\nu}\\\\ &= -\frac{2\nu}{\Gamma(1+\nu)\Gamma(1-\nu)}\\\\ &= -\frac{2}{\Gamma(\nu)\Gamma(1-\nu)} = \boxed{-\frac{2}{\pi}\sin\pi\nu} \end{aligned}$$

最后用到 $\Gamma$ 函数的宗量互余定理. 如果我们取第二解为

$$\frac{cJ_\nu(z)-J_{-\nu(z)}}{\sin\pi\nu}$$

那么 $\Delta[J_\nu(z),w_2(z)]=2/(\pi z)$，也就是在 L'Hôpital 法则下得到了正常的第二解. 但是为了保证 $w_2(z)$ 始终有意义，注意 $J_{-n}(z)=(-1)^nJ_n(z)$，只需要取 $c=\cos\pi\nu$ 即可. 最终得到 $\nu$ 阶 Neumann 函数，

$$N_\nu(z) = \frac{\cos\pi\nu J_\nu(z)-J_{-\nu}(z)}{\sin\pi\nu}$$

在期末考试中，Bessel 函数是要求背下来的，其他不做要求.

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下面我们讨论一下正常解第二解应该怎么做 (也就是不提出那一个系数). 此时方程为 ($0$ 解 Bessel 方程)

$$\frac{\text{d}^2w}{\text{d}z^2}+\frac{1}{z}\frac{\text{d}w}{\text{d}z}+w=0$$

第二解形式：

$$w_2(z)=g\ln z\cdot J_0(z)+\sum_{k=0}^\infty d_kz^k$$

代入，因为 $J_0(z)$ 已经是方程的解，所以如果只对 $J_0(z)$ 求导的话 (也就是 $\ln z$ 项的系数)，方程一定成立；因此想要得到另外的解，一定要对 $\ln z$ 求导，也就是最后的式子不会出现 $\ln z$ 这样的东西.

最后得到

$$\frac{2g}{z}J_0'(z)+\frac{d_1}{z}+\sum_{k=0}^\infty[d_{k+2}(k+2)^2+d_k]z^k=0$$

$d_0$ 任意，$d_1=0$. 得到递推关系

$$d_{2k+2}(2k+2)^2=\frac{(-1)^kg}{k!(k+1)!\cdot2^{2k}}-d_{2k}$$

这个关系没办法求通项.

方程正则解的根源

在正则奇点附近，将系数 $p(z)$ 和 $q(z)$ 全部 Laurent 展开，以最重要的第一项作为近似，得到：

$$\frac{\text{d}^2w}{\text{d}z^2}+\frac{p_0}{z-z_0}\frac{\text{d}w}{\text{d}z}+\frac{q_0}{(z-z_0)^2}w=0$$

正是 Euler 方程！这说明在正则奇点附近，方程的行为和 Euler 方程一致.

Frobenius 方法

前面我们了解到方程的第二解很难得到，所以 Frobenius 发展了一种从第一解直接得到第二解的方法. 假设 $z=0$ 是方程

$$w''+pw'+qw=0$$

的正则奇点. 令算符

$$L[w] = z^2w'' +z(zp)w'+(z^2q)w$$

把第一解

$$w(z)=\sum_{n=0}^\infty c_nz^{n+\rho}$$

代入，得到

$$L[w]=z^\rho\left\{\sum_{n=1}^\infty\left[c_nf_0(\rho+n)+\sum_{k=1}^nc_{n-k}f_k(\rho+n)\right]z^n+c_0f_0(\rho)\right\}$$

其中，

$$f_0(x)=x(x-1)+p_0x+q_0,\quad f_k(x)=p_k(x-k)+q_k,\quad k =1,2,\cdots$$

递推关系为

$$c_nf_0(\rho+n)+\sum_{k=1}^nc_{n-k}f_k(\rho+n)=0,\quad n=1,2,\cdots$$

最终，

$$L[w]=c_0z^\rho f_0(\rho) =$$

非正则奇点邻域内求解的思路

非正则邻域的解一般有无穷个负幂次项. 假设 $z=0$ 是非正则奇点，可以令 $w(z)=e^{S(z)}$ 得到 $S(z)$ 的方程，只保留方程中最重要的项，得到近似解 $S(z)=S_0(z)$.

进一步，令 $S(z)=S_0(z)+S_1(z)$，求出 $S_1(z)$.

不断重复，最终每个近似解都形如 $S_i(z)=a_iz^{\nu_i}$，并且 $\Re(\nu_0)<\Re(\nu_1)<\cdots<0$.

这个过程并不会一直重复，到某一个解会得到 $\rho\ln z$. 后面的解已经不再有奇性. 因此解的形式为

$$w(z) = Ae^{S(z)}z^\rho\sum_{k=0}^\infty c_kz^k,\quad c_0=1$$

$Ae^{S(z)}z^\rho$ 称为方程主项，这个方法称为主项平衡法.

举例：一维谐振子 Schrödinger 方程

$$\psi''(x)+(\lambda-x^2)\psi(x)=0$$

常微分方程的积分解法

引入算符

$$L[u] = \left[p_0\frac{\text{d}^2}{\text{d}z^2}+p_1(z)\frac{\text{d}}{\text{d}z}+p_2(z)\right]u$$

积分解法的基本原理是引入积分变换

$$u(z) = \int_C K(z,t)v(t)\text{d}t$$

于是

$$L[u]=\int_CL_z[K(z,t)]v(t)\text{d}t$$

如果找到一个适合的积分变换核和另一个对应 $t$ 的线性微分算子 $M_t$，满足

$$L_z[K(z,t)]=M_t[K(z,t)]$$

则利用分部积分得到

$$L[u]=\int_CK(z,t)\bar{M}_t[v(t)]\text{d}t+\{Q[K,v]\}_C$$

找到合适的 $v(t)$ 使得

$$\bar{M}_t[v(t)]=0,\quad \{Q[K,v]\}_C=0$$

则解为

$$u(z)=\int_CK(z,t)v(t)\text{d}t$$

警告

然后某个叫 LYS 的人把后面所有积分变换的内容全部跳过了要大家自己看.

球函数

Helmholz 方程在球坐标系下分离变量得到连带 Legendre 方程：

$$\frac{1}{\sin\theta}\frac{\text{d}}{\text{d}\theta}\left(\sin\theta\frac{\text{d}\Theta}{\text{d}\theta}\right)+\left[\lambda-\frac{\mu}{\sin^2\theta}\right]\Theta=0$$

换元 $x=\cos\theta, y(x)=\Theta(\theta)$，得到

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[(1-x^2)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right]+\left[\lambda-\frac{\mu}{1-x^2}\right]y=0$$

当 $\mu=0$ 为 Legendre 方程.

Legendre 方程有 $z=\pm1,\infty$ 三个正则奇点，其他位置全平面解析. 在 $z=1$ 邻域内，两个线性无关解：

$$\begin{aligned} &P_\nu(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n!)!}\frac{\Gamma(\nu+n+1)}{\Gamma(\nu-n+1)}\left(\frac{z-1}{2}\right)^n\\\\ &Q_\nu(z)=\frac{1}{2}P_\nu(z)\left[\ln\frac{z+1}{z-1}-2\gamma-2\psi(\nu+1)\right]\\\\ &\quad+\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n!)^2}\frac{\Gamma(\nu+n+1)}{\Gamma(\nu-n+1)}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)\left(\frac{z-1}{2}\right)^n \end{aligned}$$

本征值为 $l(l+1)$，本征函数为 $P_l(x)$，为 Legendre 多项式，

$$P_l(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n!)^2}\frac{(l+n)!}{(l-n)!}\left(\frac{x-1}{2}\right)^n$$

Legendre 多项式的一个重要性质是，在 $[-1,1]$ 之间正交.

Rodrigues 公式

$$P_l(x) = \frac{1}{2^l\cdot l!}\frac{\text{d}}{\text{d}x^l}(x^2-1)^l$$

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2025/11/7 07:43

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• 7b846-feat(note): add emp note于 2025/11/7

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