外观
Lesson 15 Green 函数法
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2026-01-02
今天讲 Green 函数.
Green 函数
点电荷的电荷密度分布写为 ρ(r)=4πδ(0). 有了点电荷的电势之后,可以利用点电荷的电势来叠加出任意带电体的电势 —— 当然仅适用于无界空间.
如果我们研究的问题是有界的,那么就要使用更加一般的 Green 函数. 对于下面一个 Poisson 方程的定解问题:
∇2u(r)=−ε01ρ(r)uΣ=f(Σ)
这里是第一类边界条件,而不是齐次边界条件. 我们考虑把 u(r) 用 f(Σ)、ρ(r) 和 G(r;r′) 表示出来.
/Theorem/ (Green 第二公式)
∭V[u∇2v−v∇2u]d3r=∬Σ[u∇v−v∇u]⋅dΣ
另外还有 Green 第一公式
∭Vu∇2vd3r=∬Σu∇v⋅dΣ−∭V∇u⋅∇vd3r
这个公式正是分部积分在三维下的推广,不过并不常用.
把 Green 函数 G(r;r′) 作为 v 代入 Green 第二公式,其中 Green 函数是下述问题的解:
∇2G(r;r′)=−ε01δ(r−r′)
代入得:
−ε01[u(r′)−∭VG(r;r′)ρ(r)d3r]=∬Σ[u(r)∇G(r;r′)−G(r;r′)∇u(r)]⋅dΣ
化简可以得到 u(r′),如下
u(r′)=∭VG(r;r′)ρ(r)d3r−ε0∬Σ[u(r)∇G(r;r′)−G(r;r′)∇u(r)]⋅dΣ
为了将积分做出来,我们需要指定 Green 函数的边界条件 (之前并未指定!). 取下述边界条件:
G(r;r′)Σ=0
最后得到
u(r′)=∭VG(r;r′)ρ(r)d3r−ε0∬Σf(Σ)∇G(r;r′)Σ⋅dΣ
交换 r,r′:
u(r)=∭V′G(r′;r)ρ(r′)d3r′−ε0∬Σ′f(Σ′)∂n′∂G(r′;r)Σ′dΣ′
提示
实际上 G(r;r′) 在 r=r′ 根本不连续,所以不能用 Green 公式;但是上面得到的结果是对的. 这是我们之前说过的「在 δ 函数后取极限的意义上是严格的」.
如果是第二类边界条件,那么相应地我们要取 G(r;r′) 的边界条件应该是:
∂n∂G(r;r′)Σ=0
但是如果是这样就会导致 G(r;r′) 不满足自身的方程 (也就是,有电荷但是电通量为零,违反 Gauss 定理). 这时候引入广义 Green 函数:
⎩⎨⎧∇2G(r;r′)=−ε01[δ(r−r′)−cu0(r)]∂n^∂G(r;r′)Σ=0
这里有
∭Vu0(r)[δ(r−r′)−cu0(r)]d3r=0⟹c(r′)=∭Vu02(r)d3ru0(r′)
还是可以用 Green 公式算出最终解. 当然考试不考第二类边界条件的情况.
不同维度下也有 Green 函数,对于二维情况,无界区域的 Poisson 方程 Green 函数满足
[∂x2∂2+∂y2∂2]G(x,y;x′,y′)=−ε01δ(x−x′)δ(y−y′)
解的形式是
G(x,y;x′,y′)=−2πε01ln(x−x′)2+(y−y′)2+C
另外,Green 函数具有对称性:G(r;r′)=G(r′;r).
调和函数
下面讨论调和方程和调和函数. 调和方程为
∇2u(r)=0
其解为调和函数. 我们已经知道 ∇2G(r;r′)=−δ(r−r′) 的解是
G(r;r′)=4π∣r−r′∣1
两个方程交叉相乘再相减,再利用 Green 公式,
u(r′)=∬Σ4π∣r−r′∣2u(r)dΣr+∬Σ4π∣r−r′∣∇u⋅dΣ
取 Σ 是以 r′ 为球心、半径 R 的球面,那么
u(r′)=4πR21∬Σu(r)dΣ+4πR1∬∇u⋅dΣ
后一项为零 (无通量),得到调和函数在某一点的平均值公式:
u(r′)=4πR21∬Σu(r)dΣ,Σ:∣r−r′∣=R
三维无界 Helmholtz 方程的 Green 函数
求三维无界空间 Helmholtz 方程的 Green 函数:
∇2G(r;r′)+k2G(r;r′)=−ε01δ(r−r′),k>0
先平移原点到 r′,之后定义 G(r;r′)≡g(ξ,η,ζ):
∇ξ,η,ζ2g(ξ,η,ζ)+k2g(ξ,η,ζ)=−ε01δ(ξ)δ(η)δ(ζ)
然后将这个直角坐标的方程换成球坐标的,这里有对称性,g(ξ,η,ζ)=f(R). 方程变为零阶 Bessel 方程:
R21dRd[R2dRdf(R)]+k2f(R)=0
通解为
f(R)=AReikR+BRe−ikR
仅考虑发散波,同时利用 R=0 邻域内的小球积分,得到
f(R)=4πε01ReikR⟹G(r;r′)=4πε01∣r−r′∣eik∣r−r′∣
提示
也可以用三维 Fourier 变换来做,解得
G(κ)=ε0(2π)3/2(∣κ∣2−k2)1
含时的 Green 函数
讲义上的做法是错的!
对于下面问题:
[∂t2∂2−a2∂x2∂2]G(x,−t;x′′,−t′′)=δ(x−x′′)δ(t−t′′)G(x,−t;x′′,−t′′)x=0=0,G(x,−t;x′′,−t′′)x=l=0G(x,−t;x′′,−t′′)−t<−t′′=0,∂t∂G(x,−t;x′′,−t′′)−t<−t′′=0
时间的流动是有方向性的,因果关系不能倒易. 因此要重新研究 Green 函数的对称性:
G(x′,−t′;x′′,−t′′)−G(x′′,t′′;x′,t′)=∫0ldx∫0∞[G(x,−t;x′′,−t′′)∂t2∂2G(x,t;x′,t′)−G(x,t;x′,t′)∂t2∂2G(x,−t;x′′,−t′′)]dt=∫0l[G(x′,−t′;x′′,−t′′)∂t∂G(x,t;x′,t′)−G(x,t;x′,t′)∂t∂G(x,−t;x′′,−t′′)]0∞dx−a2∫0∞[G(x,−t;x′′,−t′′)∂x∂G(x,t;x′,t′)−G(x,t;x′,t′)
以热传导方程为例:
−∂t∂G(x′,t′;x,t)−κ∂x2∂2G(x′,t′;x,t)=δ(x−x′)δ(t−t′)Gx=0=0,∂x∂Gx=l=0Gt′<t=0
和普通热传导方程交叉相乘再相减,
∫0l∫0∞(G∂t∂u+u∂t∂G)dtdx−κ∫0l∫0∞(G∂x2∂2u−u∂x2∂2G)dtdx=∫0l∫0∞[Gf(x,t)−uδ(x−x′)δ(t−t′)]dtdx
分布积分之后,时间的上限只用到 t′ 而不是 ∞.
注意
实际上我觉得他上课完全没讲清楚... 板书有点太混乱了,回去整理一下. 而且下面突然从热传导跳到了波动方程.
三维无界空间波动方程的 Green 函数:
[∂t2∂2−a2∇2]G(r′,t′;r,t)=δ(r−r′)δ(t−t′)G(r′,t′;r,t)t>t′=0,∂t∂G(r′,t′;r,t)t>t′=0
考试
第一题:
(1) 给一个含时三维方程,写出分离变量的四个分量方程 (8')
(2) 把方程对应 Green 函数满足的定解问题写出来,并用 Green 函数把 u 表达出来 (12')
第二题:
解一个没有非齐次项的方程 (边界不齐次) (20')
第三题:
可能是一维 Fourier 变换,也可能是普通的本征值问题 (可以求通解,或者是可以靠到 Bessel 或者 Legendre 上面的,要求求本征值和本征函数,讨论正交性) (20')
第四题:
球函数 / 柱函数的性质 (不超过 20')
第五题:
强行求解:球函数 - 方程非齐次 / 柱函数 - 边界非齐次 (30')
更新日志
2026/1/2 08:13
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