外观
Lesson 14 积分变换
约 2803 字大约 9 分钟
2025-12-26
上节课讲的「分离变量法的总结」并不是复习的重点.
今天我们说积分变换.
Laplace 变换
F(p)=L[f(t)]=∫0∞e−ptf(t)dt
/Example/
1 的 Laplace 变换:
1≒∫0∞e−ptdt=p1
eαt 的变换:
eαt≒∫0∞e(α−p)tdt=p−α1,ℜ(p)>ℜ(α)
Laplace 变换存在的充分条件:
f(t) 在区间 0⩽t<∞ 中除了有限的第一类间断点外连续,而且有连续导数;
f(t) 增长不超过指数函数. 即,存在正数 M>0 以及 s′>0,对于任何 t 有
∣f(t)∣<Mes′t
换句话说,一般的函数都可以做 Laplace 变换;但是这也导致 Laplace 变换仅适合做初值问题.
容易算 sinωt 和 cosωt 的 Laplace 变换:
sinωtcosωt=2eiωt−e−iωt≒2i1(p−iω1−p+iω1)=p2+ω2ω=2eiωt+e−iωt≒21(p−iω1+p+iω1)=p2+ω2p
变换的性质:
F(p)→0,when ℜ(p)=s→+∞
解析性质:若 f(t)≒F(p),则 F(p) 在半平面 ℜ(p)⩾s1>s0 上解析.
做题所需要的几个重要性质:
/Lemma/ (导数的 Laplace 变换)
导数的 Laplace 变换:
f′(t)≒pF(p)−f(0)
(条件是 f(t)≒F(p).)
提示
原来的求导变换转换为函数的乘法,大幅简化计算,因此可以用来解数理方程.
/Lemma/ (初值定理和终值定理)
p→+∞limpF(p)=f(0),p→0limpF(p)=f(∞)
前一个式子是一直成立的,但是后一个式子在有奇点的情况下有概率不成立.
/Lemma/ (积分的 Laplace 变换)
积分的 Laplace 变换:
∫0tf(τ)dτ≒pF(p)
提示
这对我们求解方程并没有很大意义,但是在求某些变换时,如果看到分母上有一个 p,那么意味着这个原函数可能是某个更简单函数的积分.
/Lemma/ (像函数导数的反演)
若 f(t)≒F(p),则
F(n)(p)≓(−t)nf(t)
提示
这个性质可用来求原函数. 一个例子:
p21=dpd(−p1)≓(−1)⋅(−t)=t
/Lemma/ (像函数积分的反演)
如果 ∫p∞F(q)dq 存在,且当 t→0 时,∣f(t)/t∣ 有界,那么
∫p∞F(q)dq≓tf(t)
证明过程是直接算积分:
∫p∞[∫0∞f(t)e−qtdt]dq=∫0∞[∫p∞f(t)e−qtdq]dt=⋯
提示
一个例子是求解 sinωt/t 的变换,
tsinωt≒∫p∞q2+ω2ωdq=2π−arctanωp
/Theorem/ (卷积定理)
设 F1(p)≓f1(t),F2(p)≓f2(t),则
F1(p)F2(p)≓∫0tf1(τ)f2(t−τ)dτ
这里定义了函数 f1(t) 和函数 f2(t) 在区间 [a,b] 上的卷积:
∫abf1(τ)f2(t−τ)dτ
/Proof/
对卷积做 Laplace 变换:
∫0∞[∫0tf1(τ)f2(t−τ)dτ]e−ptdt=∫0∞[∫τ∞f1(τ)f2(t−τ)e−ptdt]dτ
(这里的交换积分次序需要在 t - τ 平面上画出积分限来确定.) 接下去计算:
=∫0∞f1(τ)[∫τ∞f2(t−τ)e−ptdt]dτ=F1(p)F2(p)
普遍反演公式:
注意
实际上普遍反演公式并不普遍.
若 F(p),p=s+iσ 满足:
F(p) 在 ℜ(p)>s0 解析;
在区域 ℜ(p)>s0 上,∣p∣→∞ 时 F(p) 一致趋于 0;
对于所有的 ℜ(p)=s>s0,沿直线 L:ℜ(p)=s 的无穷积分收敛
∫s−i∞s+i∞∣F(p)∣dp(s>s0)
则对于 ℜ(p)=s>s0,
F(p)≓f(t)=2πi1∫s−i∞s+i∞F(p)eptdp
用 Laplace 变换求解微分方程.
/Example/
求解定解问题:
⎩⎨⎧y′′(t)+ω2y(t)=g(t)y(0)=0,y′(0)=0
做 Laplace 变换 y(t)≒Y(p),y′′(t)≒p2Y(p),g(t)≒G(p),则直接变为
p2Y(p)+ω2Y(p)=G(p)
解得
Y(p)=p2+ω2G(p)
我们已经知道 sinωt≒ω/(p2+ω2). 利用卷积定理,得到
y(t)=ω1∫0tsin[ω(t−τ)]g(τ)dτ
明显看出 Laplace 变换非常适合解常微分方程.
/Example/
求解无界杆的热传导.
⎩⎨⎧∂t∂u−κ∂x2∂2u=f(x,t)ut=0=0−∞<x<∞,t>0−∞<x<∞
边界还有条件 ux→±∞=0.
做变换,
u(x,t)≒U(x,p)=∫0∞u(x,t)e−ptdt
利用初始条件,有
∂t∂u≒pU(x,p)
变换后的像函数可以看作仅仅是 x 的一元函数,p 作为一个参数. 因此:
∂x2∂2u≒dx2d2U(x,p)
对应方程
dx2d2U(x,p)−κpU(x,p)=−κF(x,p)
对应齐次方程通解为 c1ep/κx+c2e−p/κx.
常数变易法:
C1′(x)ep/κx+C2′(x)e−p/κx=0C1′(x)ep/κx−C2′(x)e−p/κx=−κpF(x,p)
最后通解为
2κp1[∫F(x′,p)ep/κ(x′−x)dx′−∫F(x′,p)ep/κ(x−x′)dx′]
考虑到无穷远还有边界条件 →0,应该取:
2κp1[∫−∞xF(x′,p)ep/κ(x′−x)dx′−∫∞xF(x′,p)ep/κ(x−x′)dx′]
最后写在一起:
U(x,p)=2κp1∫−∞∞F(x′,p)exp[−κp∣x−x′∣]dx′
/Example/
无界弦波动问题:
∂t2∂2u−a2∂x2∂2u=0ut=0=ϕ(x),∂t∂ut=0=ψ(x)
和上题一样做变换,得到相似的常微分方程:
p2U(x,p)−a2dx2d2U(x,p)=pϕ(x)+ψ(x)
解为
U(x,p)=2a1∫−∞∞[ϕ(x′)+pψ(x′)]exp[−ap∣x−x′∣]dx′
因为下列两个变换:
e−αp≓δ(t−α),p1e−αp≓η(t−α)
原方程解化为
u(x,t)=21∫−∞∞ϕ(x′)δ(at−∣x−x′∣)dx′+2a1∫x−atx+atψ(x′)dx′=21[ϕ(x−at)+ϕ(x+at)]+2a1∫x−atx+atψ(x′)dx′
Fourier 变换
下面来讲 Fourier 变换:定义为
F(k)=F[f(x)]≡2π1∫−∞∞f(x)e−ikxdx
逆变换为
f(x)=F−1[F(k)]≡2π1∫−∞∞F(k)eikxdk
注意
这是物理学上常用的形式,和数学上的形式有一定差别.
在 Mathematica 中,Fourier 变换的函数是 FourierTransform 而不是 Fourier,后者是快速 Fourier 变换函数 (FFT).
/Example/
重新解无界杆热传导.
这里有
U(k,t)=2π1∫−∞∞u(x,t)e−ikxdx,F(k,t)=2π1∫−∞∞f(x,t)e−ikxdx
定解问题化为常微分方程,常数变易法解得
U(k,t)=e−κk2t∫0tF(k,τ)eκk2τdτ
求反演:
u(x,t)=2π1∫−∞∞U(k,t)eikxdk
利用积分公式
∫−∞∞e−αx2+iβxdx=απe−β2/4α
解得
u(x,t)=2κπ1∫0t{∫0tf(ξ,τ)exp[−4κ(t−τ)(x−ξ)2]dξ}t−τdτ
积分变换方法同时适用于三维的无界问题,三维 Fourier 变换为
F(k)=(2π)3/21∭f(r)e−ik⋅rd3r
特别地,如果 f(r) 仅仅是 r 的函数 (与角度无关),则可以用球坐标,并把 k⋅r 写成 krcosθ,
F(k)=k1π2∫0∞f(r)rsinkrdr
反演遵循同样规则.
/Example/
求解二维平面上的自由振动问题:
∂t2∂2u−a2[∂x2∂2u+∂y2∂2u]=0ut=0=ϕ(x,y),∂t∂ut=0=ψ(x,y)
不能直接二维变换,因为求逆时会遇到问题.
注意
实际上偶数维都有相似的问题,会遇到 Bessel 函数的积分表示,把积分化成关于 Bessel 函数的积分.
引入一个 z 维度,看成柱面波,然后三维 Fourier 变换解得
U(t,kx,ky)=akΨ(k)sin(akt)+Φ(k)cos(akt)
下面需要先求出 sin(akt)/(ak) 和 cos(akt) 的逆变换,然后卷积定理求出方程的最终解.
引入球坐标,取 r 沿着 z 轴,积分出 ϕ,θ,得到
(2π)3/21∭aksin(akt)eik⋅rk2sinθdϕdθdk=2ar2π1∫−∞∞[eik(r−at)−eik(r+at)]dk
上式结果是 δ 函数 2πδ(r−at)/(2ar). 由卷积定理,
akΨ(k)sin(akt)≓4πa1∭(x−x′)2+(y−y′)2+z′2ψ(x′,y′)δ[(x−x′)2+(y−y′)2+z′2−at]dx′dy′dz′
不依赖于 z,可以直接取 z=0 并去掉 z′ 的积分.
Φ(k) 的逆变换是类似的,最终解为
u(x,y)=2πa1[∬a2t2−(x−x′)2−(y−y′)2ψ(x′,y′)dx′dy′+∂t∂∬a2t2−(x−x′)2−(y−y′)2ϕ(x′,y′)dx′dy′]
Green 函数法
我们做电动力学的时候,遇到一个复杂的电荷分布,求其空间电势分布的方法是用点电荷的电势叠加 —— 这就是 Green 函数法.
对于有界的问题,我们应该如何通过适当边界条件下的点电荷电势的叠加,而给出任意电荷分布和任意边界条件时的电势?也就是用定解问题
∇2G(r;r′)=−ε01δ(r−r′),r,r′∈V and proper boundary conditions
的解 G 叠加出
∇2u(r)=−ε01ρ(r),uΣ=f(Σ)
更新日志
2025/12/30 10:20
查看所有更新日志
1e5e2-feat(note): add notes于
