外观
Lesson 11 静磁场
约 555 字大约 2 分钟
2025-10-23
φ(x)=4πε1RQ+4πε1R3p⋅x+4πε12R5D↠:xx+⋯
电荷体系在外场中的能量:能量为
W=∫Vρ(x)φe(x)dτ
如果电荷体系 ρ 仅仅分布在外场中的一个小区域,那么这里的 φe 也可以利用多极展开,得到
φe(x)=φe(0)+(x⋅∇)φe(0)+2!1(xx:∇∇)φe(0)+⋯
能量展开为
W=W(0)+W(1)+W(2)+⋯
展开式的第三项:
W(2)=∫Vρ(x)⋅2!1(xx:∇∇)φe(0)dτ=61D↠:∇∇φe(0)=−61D↠:∇Ee(0)
而我们已经熟知第二项是 −p⋅E 的势能.
用虚功原理求电偶极子在外场中的受力:
ΔxΔ(−p⋅E)=−(p⋅∇)E
这里的含义是,在均匀场中电偶极子不会受到合力,在不均匀的场中才可能有受力. 如果虚功原理做的是微小的角位移,则得到力矩为
ΔθΔ(−p⋅E)=M⟹M⋅δθ^=(δθ^×p)⋅E=(p×E)⋅δθ^⟹M=p×E
静磁场
我们的要求是,电流的分布永远不随时间发生变化,也就是
∇⋅j=−∂t∂ρ=0
可以用矢势来确定磁场的分布
B=∇×A
矢势具有很大的任意性,可以相差任意一个标量函数的梯度. 所以我们需要取特定规范条件来制约 A,这里我们先取 Coulomb 规范:
∇⋅A=0
来证明一定能够找到这样的 A:
如果存在一个 A 使得 B=∇×A 但是不满足 Coulomb 规范,则应该有
∇⋅A=u=0
我们可取另一个解为
A′=A+∇ψ
其中 ψ 为 Poisson 方程 ∇2ψ=u 的某个解,这时 A′ 就满足规范条件.
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2025/10/23 07:31
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