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Lesson 2 解析函数

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2025-4-17

上节课讲完了复数的定义.

/Theorem/

Euler 公式：

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{\text{i}\theta}=\cos\theta+\text{i}\sin\theta

事实上，LHS 还并没有定义，我们这里的写法是根据导数来定义 eiθe^{\text{i}\theta} 的. 我们已经知道，

ex=∑k=0∞xkk!e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}

Euler 认为这个式子在自变量为纯虚数时也成立，也就得到

eiθ=∑n=0∞(−1)nθ2n(2n)!+i∑n=0∞(−1)nθ2n+1(2n+1)!e^{\text{i}\theta}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}\theta^{2n}}{(2n)!}+\text{i}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}

Euler 还有很多有意思的成果，比如我们知道 sin⁡x\sin x 的零点是 nπn\pi，因此他写出

sin⁡x=x∏n=1∞[1−(xnπ)2]\sin x=x\prod_{n=1}^\infty\left[1-\left(\frac{x}{n\pi}\right)^2\right]

如果我们用这个方法计算 xx 的三次项，就会得到著名的那个 π2/6\pi^2/6 的公式 (虽然这显然不严谨，但是那个时代数学并没有这么严谨的体系).

我们也可以写 eAe^A，其中 AA 为矩阵，那么此式也等于所谓的展开式：

eA=∑k=0∞Akk!e^A=\sum_{k=0}^\infty\frac{A^k}{k!}

若 AA 可以对角化，整个式子就变得非常简单，eA=PeDP−1e^A=Pe^DP^{-1}.

回到我们的复数，Euler 公式能够让我们化简乘法和除法：

α1⋅α2=r1r2ei(θ1+θ2) ,α1α2=r1r2ei(θ1−θ2)\alpha_1\cdot\alpha_2=r_1r_2e^{\text{i}(\theta_1+\theta_2)}\,,\quad\frac{\alpha_1}{\alpha_2}=\frac{r_1}{r_2}e^{\text{i}(\theta_1-\theta_2)}

还有，比如我们的 nn 倍角公式，有

einθ=(cos⁡θ+isin⁡θ)ne^{\text{i}n\theta}=(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)^n

最后是一个二项式展开；反过来，如果要计算 cos⁡nθ\cos^n\theta，也可以写作

cos⁡nθ=(eiθ+e−iθ2)n\cos^n\theta=\left(\frac{e^{\text{i}\theta}+e^{-\text{i}\theta}}{2}\right)^n

仍然是二项式展开.

复数序列

/Definition/

按照一定顺序排列的复数 {zn=xn+iyn}\{z_n=x_n+\text{i}y_n\} 为复数序列. (实际上相当于两个实数序列……)

/Definition/ (聚点)

给定序列 {zn}\{z_n\}，若存在复数 zz，对于任意给定的 ε>0\varepsilon>0，都有 无穷多个 znz_n 满足 ∣zn−z∣<ε|z_n-z|<\varepsilon，则 zz 为这个序列的聚点.

实变中的定义完全相同，只是“模长”改为“绝对值”.

一个序列可以有不止一个聚点 (比如交错级数)，实数序列的最大聚点为上极限、最小为下极限，但是复数序列没有这个概念 (不能比较大小).

/Definition/ (有界序列和无界序列)

如果存在 M>0M>0，使得对于所有 nn，都有 ∣zn∣<M|z_n|<M，则序列称为有界的.

/Theorem/ (Bolzano - Weierstrass 定理)

一个有界的无穷序列至少有一个聚点.

  1. 无界序列不排除在有限远处有聚点；

  2. 无穷远点 可以认为是无界序列的一个聚点

    这个说法是有上下文背景的，我们扩充了聚点的意义. 对于无界序列，我们总有无穷多个 ∣zn∣>M|z_n|>M，因此所谓的 ∞\infty 点处有无穷多个点. 当然这不符合正常的定义.

    /Definition/ (无穷远点)

    无穷远点的辐角不定，模大于任何正数，在复平面上，以任意方式远离原点，即可以到达无穷远点，包括无穷远点的复平面又称为扩充了的复平面 (实际上是 S2S^2，不再与之前的复平面同胚).

    为了描述扩充复平面，可以引入一个半径任意的球，复平面切该球面于南极点 N\text{N}，复平面上的一点与球面的北极点 P\text{P} 相连，与球面的交点就是复平面上该点的像——但是球面上多了一个北极点，因此和之前的复平面不同了.

/Definition/ (极限)

给定序列 {zn}\{z_n\}，如果存在 zz，使得 ∀ε>0\forall\varepsilon>0，∃N(ε)∈N\exist N(\varepsilon)\in\N，使得当 n>N(ε)n>N(\varepsilon) 时，恒有 ∣zn−z∣<ε|z_n-z|<\varepsilon，则称 zz 是这个序列的极限.

/Theorem/ (Cauchy 充要条件)

存在极限 ⟺\Longleftrightarrow ∣zN+p−zN∣<ε|z_{N+p}-z_N|<\varepsilon (ε\varepsilon 任意小)

至此我们能够开始定义邻域：

/Definition/

邻域：∣z0−z∣<ρ|z_0-z|<\rho 定义为复平面上的一点 z0z_0 的一个邻域 (圆域)，其中 ρ>0\rho>0 为任意常数. 有时会用去心邻域，这时要求 0<∣z−z0∣<ρ0<|z-z_0|<\rho，但一般不会特别说明.

点集的内点：该点的一个邻域包含在点集当中.

区域 (具有道路连通性的开集)：满足如下两个条件的点集.

  1. 所有的点都是内点；
  2. 有道路连通性.

简单的区域可以用不等式表示.

区域的边界点和边界：边界点不属于区域，但是其任意邻域中均有属于区域的点. 边界点的全体称为边界.

闭区域：区域 ∪\cup 边界.

区域的边界方向：沿着边界走，区域保持在左方，则走向称为边界的正向.

提示

不一定是逆时针，因为有时候边界在里面.

/Definition/ (复变函数的一个 不确切 定义)

复平面上一个区域 GG，如果对于每一个 GG 中的 zz 值，都有一个或多个复数值 ww 与之对应，则称 ww 为 zz 的函数 —— 复变函数，记为 w=f(z)w=f(z)，定义域为 GG.

暂时我们接受这个定义. 但是显然这个定义有点问题，对应多个复数值显然不能叫做“函数”.

显然，w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)w=f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y). 所以一个复变函数只不过是两个二元实变函数的有序组合.

/Definition/ (复变函数的极限)

函数在 z0z_0 的去心邻域内有定义，若存在复数 AA，∀ε>0\forall\varepsilon>0，∃δ(ε)>0\exist\delta(\varepsilon)>0 使得当 ∣z−z0∣<δ|z-z_0|<\delta 时，恒有 ∣f(z)−A∣<ε|f(z)-A|<\varepsilon 成立，则称 z→z0z\to z_0 时 f(z)f(z) 的极限存在，且表示为

lim⁡z→z0f(z)=A\lim_{z\to z_0}f(z)=A

这个要求实际上非常高，因为根本没有指明趋于 z0z_0 的方式.

/Theorem/

函数在趋区域 GG 中的每一点都连续，称为在 GG 内部连续. 在闭区域 Gˉ\bar{G} 中连续的函数有两个重要性质：

  1. ∣f(z)∣|f(z)| 在 Gˉ\bar{G} 中有界，并达到它的上下界；
  2. f(z)f(z) 在 Gˉ\bar{G} 中一致连续，也即 δ(ε)\delta(\varepsilon) 与 zz 无关，只要 ∣z1−z2∣<δ(ε)|z_1-z_2|<\delta(\varepsilon)，就有 ∣f(z1)−f(z2)∣<ε|f(z_1)-f(z_2)|<\varepsilon.

/Definition/

设 w=f(z)w=f(z) 是区域 GG 内的单值函数，如果在 GG 内部某点 zz 有

lim⁡Δz→0f(z+Δz)−f(z)Δz\lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}

存在，这个就是导数.

导数记为 dwdz\frac{\text{d}w}{\text{d}z}，或者 f′(z)f'(z)，和实变函数中一样，可以照搬.

提示

导数存在，意味着 Δw/Δz\Delta w/\Delta z 在 zz 以不同方式趋近某个值的时候，这个导数值必须相同，这是必要条件.

一个例子是：f(z)=f(x+iy)=x2+y2f(z)=f(x+\text{i}y)=\sqrt{x^2+y^2}. 在 z=1z=1 点处有

x - axis: f′(z)=1 ,y - axis: f′(z)=0x\text{ - axis: }f'(z)=1\,,\quad y\text{ - axis: }f'(z)=0

两者不相等. 事实上这个函数处处不可导.

我们现在来研究可导的必要条件.

考虑 w=u(x,y)+iv(x,y)w=u(x,y)+\text{i}v(x,y)，考虑 Δy=0\Delta y=0、Δx=0\Delta x=0 两种趋近方式：

ΔwΔz=Δu+iΔvΔx=∂u∂x+i∂v∂xΔwΔz=Δu+iΔviΔy=∂v∂y−i∂u∂y\begin{aligned} \frac{\Delta w}{\Delta z}&=\frac{\Delta u+\text{i}\Delta v}{\Delta x}=\frac{\partial u}{\partial x}+\text{i}\frac{\partial v}{\partial x}\\ \frac{\Delta w}{\Delta z}&=\frac{\Delta u+\text{i}\Delta v}{\text{i}\Delta y}=\frac{\partial v}{\partial y}-\text{i}\frac{\partial u}{\partial y} \end{aligned}

因此：

/Theorem/ (Cauchy - Riemann 条件)

∂u∂x=∂v∂y ,∂u∂y=−∂v∂x\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\,,\quad\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}

上面是必要条件.

处处连续、处处不可导的函数 (Weierstrass 函数)：

f(x)=∑n=0∞ancos⁡(bnπx)f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)

在 bb 为正奇数、0<a<10<a<1、ab>1+32πab>1+\frac{3}{2}\pi 时，上述函数是一个分形曲线.

/Claim/

我们可以把 x,yx,y 用 z,z∗z,z^* 表示 (认为 z,z∗z,z^* 互相独立，这在量子场论中非常常用，比如认为某一个场和自己的共轭互相独立，然后计算偏导数)，则 Cauchy - Riemann 条件能够写成：

∂w∂z∗=0\frac{\partial w}{\partial z^*}=0

也就是说，ww 中不含有 z∗z^* 的成分，这也是我们在解析函数中能够照搬实变函数的大量概念的原因，因为“复数”的独有性质没有在这里体现出来.

/Proof/

简单利用偏导数的性质：

∂w∂z∗=∂w∂x∂x∂x∗+∂w∂y∂y∂z∗=⋯\frac{\partial w}{\partial z^*}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x^*}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z^*}=\cdots

就能证明.

这个命题可以帮我们找到很多连续不可导的函数，还可以简单判断一些函数是否解析.

/Definition/

在区域 GG 内每一点可导的函数，称为解析函数.

注意

这个定义和高等微积分中“每一点都有无穷阶导数”的定义是等价的！这就是复变函数优秀的性质的一种体现.

因为 Cauchy - Riemann 方程的限制，解析函数的实部和虚部不是相互独立的. 比如从一个 u(x,y)u(x,y) (实部) 确定虚部：

∫(x,y)[−∂u∂ydx+∂u∂xdy]\int^{(x,y)}\left[-\frac{\partial u}{\partial y}\text{d}x+\frac{\partial u}{\partial x}\text{d}y\right]

/Example/

已知 u(x,y)=x2−y2u(x,y)=x^2-y^2，求 f(z)f(z).

dv=−∂u∂ydx+∂u∂xdy=2ydx+2xdy\begin{aligned} \text{d}v=-\frac{\partial u}{\partial y}\text{d}x+\frac{\partial u}{\partial x}\text{d}y=2y\text{d}x+2x\text{d}y \end{aligned}

其实早就已经能够看出积分结果是 2xy+C2xy+C. 但是如果无法看出，就要沿着路径进行积分 (因为全微分是与路径无关的，因此可以选一个好的路径进行积分).

最后得结果：

f(z)=(x2−y2)+i(2xy+C)=z2+iCf(z)=(x^2-y^2)+\text{i}(2xy+C)=z^2+\text{i}C

实际上还有第二种方法 —— 不使用微积分.

我们知道 u=(w+w∗)/2u=(w+w^*)/2，因此

w+w∗2=u=x2−y2=(z+z∗2)2−(z−z∗2i)2=z22\frac{w+w^*}{2}=u=x^2-y^2=\left(\frac{z+z^*}{2}\right)^2-\left(\frac{z-z^*}{2\text{i}}\right)^2=\frac{z^2}{2}

而解析函数中不含有 w∗w^*，所以直接得到 z2z^2，但是要记住加上常数.

/Claim/

如果我们在平面上作曲线族 u(x,y)=constu(x,y)=\text{const} 和 v(x,y)=constv(x,y)=\text{const}，则它们处处正交.

/Proof/

两个切矢量分别是：

(∂u∂y,−∂u∂x) ,(−∂v∂y,−∂v∂x)\left(\frac{\partial u}{\partial y},-\frac{\partial u}{\partial x}\right)\,,\quad\left(-\frac{\partial v}{\partial y},-\frac{\partial v}{\partial x}\right)

两者正交.

相应地，我们可以利用这个性质，用复变函数来描述电场 & 等势面、流场等等. 例如：二维的点电荷电场就是 w=ln⁡zw=\ln z.

任意二元函数都可以作解析函数的实部和虚部？

调和函数！我们下节课讲这些内容.

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