菲兹克斯喵

外观

请我喝杯奶茶→

Lesson 1 简介

复制页面

约 2242 字大约 7 分钟

2025-4-15

松神的简单自我介绍：邮箱 [email protected]，办公室在新物理楼 W432 (万人食堂北边，万人食堂就是观畴园)，答疑时间是周三下午.

考试成绩的计算方法：期末考试占比 85%，作业成绩占比 15%. 作业成绩只看态度，期末会“重整化”作业成绩. 如果写一个和课程相关的小论文会酌情加分，加 1 分 (当然如果快要挂科了可能会捞一下).

回到我们的课程.

引入

复变函数可能是大学期间能够学到的最优美的一套体系，毕竟复数域是最大的数域. 另外一门优美的课程是微分几何 (数学系叫做流形上的微积分).

复数的历史：复数是最早 (16 世纪) 在二次、三次方程的求解中引入的. 三次方程的求根公式是 Cardan 公式 (G.Cardano 1501 - 1576，实际发现者为 N.Tartaglia)：

x3+bx2+cx+d=0⟹y3+py+q=0x^3+bx^2+cx+d=0\Longrightarrow y^3+py+q=0

提示

八卦：Cardano 是一个医学学者，同时是一个占星术士，也为数学做出了一些贡献，写过一本书叫《大术》. 他为了证明自己的占星术是对的，在自己预言的死期自杀了.

上面的转化主要来源于前两项用完全立方公式配方，利用代换 x=y−b3x=y-\frac{b}{3}. 之后换元：

y=z−p3zy=z-\frac{p}{3z}

代入新的方程得到

(z−p3z)3+p(z−p3z)+q=0⟹z3−p327z3+q=0(z-\frac{p}{3z})^3+p(z-\frac{p}{3z})+q=0\Longrightarrow z^3-\frac{p^3}{27z^3}+q=0

恰好是关于 z3z^3 的二次方程.

但是二次方程一般只能给出两个根，为了描述三个根，前人引入一个量：

ω=−12+−32\omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}

则三个根是 AA，ωA\omega A，ω2A\omega^2A. 实际上，ω\omega 是 11/31^{1/3} 的三个值.

因此我们也得到了四次方程的求解方法，因为可以写成如下形式：

y4+py2+qy+r=0y^4+py^2+qy+r=0

引入辅助参数 zz，方程改写成：

(y2+z)2=(2z−p)y2−qy+z2−r(y^2+z)^2=(2z-p)y^2-qy+z^2-r

调整 zz，使得右端为关于 yy 的完全平方，要求 zz 满足：

8z3−4pz2−8rz+4rp−q2=08z^3-4pz^2-8rz+4rp-q^2=0

这是一个三次方程.

提示

显然求出 nn (奇数) 次方程就能求出 n+1n+1 次方程.

为了求五次方程的求根公式，最开始是由 Abel 触及到了这个问题的本质，但是 Galois 真正解决了这个问题. 提到这个，Galois 创立了群论，Noether 创立了更深层次的环论，再进一步是域论，这三个理论构成了抽象代数.

Galois 的理论一开始寄给 Fourier 和 Laplace，但是并没有被赏识，他死后 Liouville 重新发现了他的成果，并发表出来.

五次方程没有求根公式的原理是 A5A_5 群的性质.

课程要求

为什么学习复变函数？

提示

事实上学什么知识都是丰富自己. 本来这个问题就没什么意义.

  • 求解代数方程以及微分方程，Fourier 变换和 Laplace 变换

    举个例子：强迫振动方程，可以写成复数形式.

  • 可以用来计算序列的和以及定积分，例如：

    ∑k=1nsin⁡kx=cos⁡x/2−cos⁡(2n+1)x/22sin⁡x/2∫−∞∞sin⁡xxdx=π\begin{aligned} \sum_{k=1}^n\sin kx&=\frac{\cos x/2-\cos(2n+1)x/2}{2\sin x/2}\\ &\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin x}{x}\text{d}x=\pi \end{aligned}

  • 处理振动、波动相关的问题会很方便：交流电、电磁波、光学……

  • 量子力学的相关理论建立在复数域上 (复的 Hilbert 空间)

因为复数域是最大的数域，所以能够完善相关的问题：

  • 函数在 x=0x=0 点的邻域 Taylor 展开的收敛范围：

    f(x)=11+x2f(x)=\frac{1}{1+x^2}

    为什么有范围？

  • 函数在 x=0x=0 点处的解析性质：

    f(x)=e−1/x2f(x)=e^{-1/x^2}

    为什么 00 点处是奇点？

复变函数包含很多新的方法和结论 —— 但是这些新的知识围绕一个概念展开：解析.

复变函数并不是一门容易学的课程：

提示

啥玩意被我教了就变难了——松神

传说中的那一年是因为大家都去搞学生节去了，于是挂科率达到了 1/31/3.

  • 上课认真听讲、下课及时复习，课前可以适当预习；
  • 及时完成作业，做作业之前复习讲义；
  • 多对比几本参考书目，通过不同书籍的对比加深理解.

注意一件事：写作业的时候不要翻讲义和笔记，不然考试的时候没有讲义可以看了就不会做了，一定要先复习讲义再开始写作业.

预备知识

/Definition/ (复数的定义)

有序实数对 (a,b)(a,b) 定义了一个复数 α\alpha，如果满足

  1. 加法：(a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2)(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)
  2. 乘法：(a1,b1)(a2,b2)=(a1a2−b1b2,a1b2+b1a2)(a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1a_2-b_1b_2,a_1b_2+b_1a_2)

记为 α=(a,b)=a(1,0)+b(0,1)\alpha=(a,b)=a(1,0)+b(0,1)，aa 称为复数的实部，bb 称为复数的虚部，记为

a=ℜα ,b=ℑαa=\Re\alpha\,,\quad b=\Im \alpha

注意：复数的相等条件是实部和虚部分别相等. 复数不能比较大小.

几个特殊的复数：

  • 复数 00：

    (a,b)+(0,0)=(a,b) ,(a,b)(0,0)=(0,0)(a,b)+(0,0)=(a,b)\,,\quad(a,b)(0,0)=(0,0)

    简记为 00.

  • 实数 11：

    (1,0)(a,b)=(a,b)(1,0)=(a,b)(1,0)(a,b)=(a,b)(1,0)=(a,b)

    和实数中的 11 效果一样，简记为 11.

  • 虚数单位 i\text{i}：

    i2=−1\text{i}^2=-1，复数 α=(a,b)\alpha=(a,b) 又可以记为 α=a+ib\alpha=a+\text{i}b.

所以乘法可以更简单地记忆：

(a1+ib1)(a2+ib2)=(a1a2−b1b2)+i(a1b2+b1a2)(a_1+\text{i}b_1)(a_2+\text{i}b_2)=(a_1a_2-b_1b_2)+\text{i}(a_1b_2+b_1a_2)

注意

虚数单位 i\text{i} 是唯一的吗？

很多书上先定义 i2=−1\text{i}^2=-1，但是这样就无法保证这个 i\text{i} 不是我们所了解的 −i-\text{i}. 所以我们先定义这个线性空间.

一个有趣的佯谬如下：

−1=i2=−1⋅−1=(−1)2=1-1=\text{i}^2=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)^2}=1

这是因为 "−1\sqrt{-1}" 不是真正的代数计算，所以上面的等式不成立.

复数的矩阵定义：可以用 2×22\times2 方阵定义

a+ib⟹(a−bba)a+\text{i}b\Longrightarrow\begin{pmatrix} a&-b\\b&a \end{pmatrix}

Pauli 早在上个世纪就找到了这种对应.

我们能不能再引入一个 j\text{j} 让这个数域变大呢？如果引入 j\text{j}，就必须引入 k\text{k}，因为无法定义 i⋅j\text{i}\cdot\text{j}；但是引入 k\text{k} 之后得到的四元数不再是数域，因为没有加法交换律.

复共轭：复数 α∗=a−ib\alpha^*=a-\text{i}b 与 α=a+ib\alpha=a+\text{i}b 互为复共轭.

加法的逆运算：

(a+ib)−(c+id)=(a−c)+i(b−d)(a+\text{i}b)-(c+\text{i}d)=(a-c)+\text{i}(b-d)

乘法的逆运算 (除法)：

a+ibc+id=(a+ib)(c−id)(c+id)(c−id)=⋯\frac{a+\text{i}b}{c+\text{i}d}=\frac{(a+\text{i}b)(c-\text{i}d)}{(c+\text{i}d)(c-\text{i}d)}=\cdots

复数可以用复平面上的点来表示，分实轴和虚轴. 显然 zz∗=1zz^*=1 就是单位圆.

因为是二维的线性空间，所以复数也能表示为一个矢量，加法满足平行四边形法则.

复数还有极坐标表示：α=r(cos⁡θ+isin⁡θ)\alpha=r(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)，前面的 r=∣α∣r=|\alpha| 称为复数的模，θ=arg⁡α\theta=\arg\alpha 称为复数的辐角. 因此 00 这一个辐角不定的复数是特殊的.

复数的辐角有多值性：因为三角函数是周期性的，这是大多数复变函数困难的来源. (比如华罗庚就是做的多复变，相当于多元函数，但是牵扯到多值性就变得非常困难)

辐角主值：规定辐角范围 (−π,π](-\pi,\pi] (一般是物理上) 或者 [0,2π)[0,2\pi) 为主值，记为 Arg α\text{Arg }\alpha.

复共轭意味着辐角取反 (取 −arg⁡α-\arg\alpha).

复数乘法在极坐标表示下可以写成：

α1⋅α2=r1r2[cos⁡(θ1+θ2)+isin⁡(θ1+θ2)]\alpha_1\cdot\alpha_2=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+\text{i}\sin(\theta_1+\theta_2)]

(模相乘，辐角相加).

相对应的，除法是：

α1α2=r1r2[cos⁡(θ1−θ2)+isin⁡(θ1−θ2)]\frac{\alpha_1}{\alpha_2}=\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+\text{i}\sin(\theta_1-\theta_2)]

/Definition/ (复指数函数)

复指数函数：eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{\text{i}\theta}=\cos\theta+\text{i}\sin\theta (Euler 公式)，复指数函数和实指数函数具有相同的性质.

注意

Euler 是人类历史上最多产的学者之一，在他死后人们整理他的著作甚至还用了 50 年. 现在为止他的专著已经出版了 886 卷.

Euler 在俄国工作时间很长，对俄国的数学贡献很大，导致俄国的数学传统倾向于暴力计算.

Euler 甚至对建筑学有很大贡献，因为曾经参加过一次法国的帆船设计比赛，拿了亚军 (冠军是欧洲帆船之父)，因此他很不爽，遂重复参加了 12 次，拿了 12 次冠军.

复数的乘法：eiθ1⋅eiθ2=ei(θ1+θ2)e^{\text{i}\theta_1}\cdot e^{\text{i}\theta_2}=e^{\text{i}(\theta_1+\theta_2)}.

更新日志

2025/10/9 02:50
查看所有更新日志
  • f85b5-build(theme): update theme to rc-168于
  • e1b70-feat: add complex notes于

版权归属：physnya

许可证：署名-非商业性-相同方式共享 4.0 国际 (CC-BY-NC-SA-4.0)