广义相对论的观测效应

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2026-10-20

广义相对论的可观测效应

我们的核心讨论是，什么时候必须用广义相对论.

『等效原理』引力加速度 (引力质量) 和惯性加速度 (惯性质量) 无法被区分.

我们先从真空静态球对称解开始，Einstein 方程给出

G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}

对于真空静态情况，能动张量 $T_{\mu\nu}=0$ ，且 $\Lambda=0$ (不考虑暗能量的驱动)，则

G_{\mu\nu} \equiv R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=0,\quad R = R_{\mu\nu}g^{\mu\nu}

在球坐标下，解得静态球对称真空解 (Schwartzchild 度规)：

\mathrm{d}s^2=-\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)c^2\mathrm{d}t^2+\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)^{-1}\mathrm{d}r^2+r^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\mathrm{d}\phi^2)

几个更加好记忆的结论是某些「等效」的量：定义视界半径为 $r_S=2GM/c^2$ .

等效光速： $c'=\displaystyle{\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\left(1-\frac{r_S}{r}\right)c}$ ，这个量和位置关联，因此产生光线偏折效应.
等效 Lorentz factor：
$\gamma_g = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-r_S/r}}$
因此有所谓的引力红移.

这里的两个可观测效应就是引力场造成的时间延缓和引力红移.

光线偏折和引力透镜：偏折角为

\frac{4GM}{c^2b}

( $b$ 为瞄准距离.) 这个结果是 Newton 光学给出的结果的两倍.

Schwartzchild 进动：定义伪引力势 (Paczynski-Wilta 势)

\Phi_{gr}=-\frac{GM}{r-r_S}

则单位周期内，轨道近日点将偏离

\Delta\phi=\frac{3\pi r_S}{a(1-e^2)}

另外的效应：引力波辐射/ISCO 和光子球/Shapiro 时延

ISCO 和光子球：ISCO 指有质量粒子的最内侧稳定圆轨道，可以用上述伪引力势导出，对于 Schwartzchild 黑洞，其值为 $3r_S$ ；而光子球是无质量粒子的最内侧稳定圆轨道，对于 Schawartzchild 黑洞，其值为 $1.5r_S$ .
Shapiro 时延：光线传播经过引力场会发生时间延迟，因为光线偏折导致了路程变化. 但是这件事情基本只能在双星系统中观察到 (太阳的延时很弱)，在双星互相经过时，产生一个
$\Delta t = \frac{r_S}{c}\ln\left\{1-S\cos[2\pi(\phi-\phi_1)] \right\}$
时延的变化幅度 $r$ 由伴星质量决定，
$r = \frac{r_S}{c}=\frac{2GM_2}{c^3}$
时延的变化形状 (shape parameter $S$ ) 则由双星轨道倾角决定，
$S=\sin i$