外观
Lesson 9 Schwarzschild 黑洞 (2)
约 1591 字大约 5 分钟
2026-03-24
注意
设定上本次课需要很多光锥的图,但是我没时间在 mathematica 上画了...
这节课讲黑洞. 第一个是 Schwarzschild 黑洞:
dτ2=(1−r2GM)dt2−(1−r2GM)−1dr2−r2dθ2−r2sin2θdϕ2
光锥对应 dτ=0,因此
±dt=1−r2GMdr⟹C±t=r+2GMln1−2GMr
其中远离 2GM 的一段可以看作一个直线,而靠近 2GM 会得到一条以 r=2GM 为渐近线的曲线;在 2GM 以内,r=0 是一个本性奇点 (而 r=2GM 是坐标奇点,不是发散的),因此随着时间演化,视界内的东西会落入奇点.
同学们课下可以算一下如果是白洞,在时间无限长的演化下某个物体能否逃出视界.
Freely Falling Particle starts to fall at r=r0:
(dτdr)2=E2−(1−r2GM)=2GM(r1−r01)
可以解出一个参数方程,
r=2r0(1+cosη),τ=2r0(2GMr0)1/2(η+sinη)
这意味着在粒子自己看来,可以在有限的时间内穿过视界. 但是视界在我们之前取的坐标中是一个坐标奇点,考虑换一个坐标消除这样的影响. 之前的奇点来源于坐标时间发散了,所以朴素的想法是减掉发散的项,这就是 Edington 坐标:
t′=t+2GMln2GMr−1,r′=r
坐标变换得到
dτ2=(1−r2GM)dt2−(1+r2GM)dr2−r4GMdrdt−r2dΩ2
下一步还是找 dτ=0,也就是光锥.
dtdr=1+r2GM−r2GM±1⟹t+r=const. or t−r=4GMln1−4GMr
Edington 坐标只能描述往里落的物体所满足的光锥. 反过来,如果要描述一个白洞,那么就要加上一个量把过去发散的坐标时补回来,也就是类似地
t′=t−2GMln2GMr−1,r′=r
得到度规表达式为
dτ2=(1−r2GM)dt2−(1+r2GM)dr2+r4GMdrdt−r2dΩ2
大家回去可以自己算一下这个坐标的光锥.
为了同时描述黑洞和白洞,引入 Kruskal 坐标:
⎩⎨⎧r>2GM⎩⎨⎧u=±(2GMr−1)1/2er/(4GM)cosh4GMtv=±(2GMr−1)1/2er/(4GM)sinh4GMtr<2GM⎩⎨⎧u=±(1−2GMr)1/2er/(4GM)sinh4GMtv=±(1−2GMr)1/2er/(4GM)cosh4GMt
它的度规写成
dτ2=r32G3M3e−r/(2GM)(dv2−du2)−r2dΩ2
r 为定值给出的是双曲线,当 r>2GM 对应半长轴在 u 轴上的双曲线、r<2GM 对应半长轴在 v 轴上的双曲线,而本性奇点 r=0 对应两支特殊的双曲线 (u2−v2=−1). 等时线由 u/v 给出,两条渐近线分别代表 t→±∞.
光锥结构和 Minkowski 时空相似,是直线;但是过了视界对应的那两条直线就无法回头.
提示
关于「Kruskal 坐标是怎么想到的」:我们想要仔细研究视界,因此考虑放大视界周围的坐标,建立一个局域的坐标系. 这个坐标系叫作 Rindler Space,以视界处为原点来思考问题. 定义真实距离 ρ,
ρ=∫2GMrgrr1/2(r′)dr′=∫2GMr(1−r′2GM)1/2dr′=r(r−2GM)+2GMsinh−1(2GMr−1)1/2≈22GM(1−2GM)
最后一步近似是在 r→2GM 处做的. 利用这个「真实距离」可以把度规改写成
dτ2=ρ2(4GMdt)2−dρ2−(2GM)2dΩ2
这个形式可以被 reparameterize 为一个直角坐标,在 θ=0 附近,有
x=2GMθcosϕ,y=2GMθsinϕ,ω=4GMt
度规改写为
dτ2=ρ2dω2−dρ2−dx2−dy2
再改写,令 T=ρsinhω,Z=ρcoshω,X=x,Y=y,则变为和 Minkowski 一样的形式,
dτ2=dT2−dX2−dY2−dZ2
但是问题在于这里的 ρ 一直是在视界外面的,也就是大于零的,有一部分没办法计算;所以要尝试推广到全空间. 上面推导给我们一个启示,就是如果出现 −dρ2+ρ2dt2 的形式,就能够通过某种双曲函数的坐标变换变成 Minkowski 时空.
Back to Kruskal Coordinates:现在目标是 dτ2=F(R)(R2dω2−dR2)−r2dΩ2,也就是构造 Rindler Space. 对比 Schwarzschild 度规,
F(R)dR2=1−r2GM1dr2,R2F(R)=16G2M2(1−r2GM)
其中第二个式子来源于度规第一项的对比.
求解
R2dR2=16G2M2dr2(1−2GM/r)21⟹R=GMer⋆/(4GM),ω=4GMt
定义
U=−Re−ω,V=Reω
就已经可以通过 dUdV 得到我们需要的 Rindler Space 的形式,dR2−R2dω2. 如果考虑 U+V,U−V,就会获得 sinh 和 cosh,得到我们最开始说的 Kruskal 坐标.
接下来说说 Kruskal 坐标的更进一步 —— 复变函数上我们知道全纯变换一定是保角的,也就是 U′(U) 和 V 无关 (且反之亦然),那么变换就保角. 考虑变换
U′=arctanGMU,V′=arctanGMV
在这个变换下无穷远点被拉近到 π/2 位置.
更新日志
2026/3/24 07:29
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