外观
Lesson 14 Noether 定理
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2026-04-10
Hamiltonian 定义为
H(p,q)≡δq˙δLq˙−L(q,q˙)
作用量表达为
S=∫t1t2dt⋅[21q˙2−V(q)]
在广义相对论中,如果假设 dτ2=e2dt2,那么
S=∫t1t2edt⋅[21(dtdq)2e−2−V(q)]
做变分变的就是度规,因此是对 e 做变分.
对于一个标量场,其作用量为
S=∫d4x⋅21(−∂μϕ∂μϕ−m2ϕ2)=∫dt∫d3x⋅21(ϕ˙x2−∇ϕ⋅∇ϕ−m2ϕ2)
注意
为了方便计算,后面利用简单的平直时空,之后再一步一步把弯曲时空加进来.
两个可变分的条件:
- δϕx(t1)=δϕx(t2)=0.
- ϕx∣∣x∣→∞→0
现在可以变分,得到
δS=0=∫dtd3x(ημν∂μ∂νϕ−m2ϕ)δϕ
求此运动方程的第一步就是对角化,为此做 Fourier 变换,
φ(x,t)=∫(2π)3dtϕr(t)eik⋅r
解得 φ=ak∗eiωt+bk∗e−iωt. 如果除以一个 2ωk,那么整个式子变成一个 Lorentz 变换下的标量. 代回去,算得
ϕ=∫(2π)3⋅2ukdϕ(bk∗e−iωt+ik⋅y+ak∗eiωt−ik⋅y)
如果 ϕ 想要变为实数,那么必须要求 bk=ak. General 的运动方程为
SδS=∫d4x⋅L(ϕ,∂μϕ)=∫d4x⋅(∂ϕδL+δ∂μϕδqδ∂μϕ)⟹δϕδL−∂μ(δ∂μϕδL)=0
对于 S 来说,在 ϕ 变化时 S 不变,也就是 S 和时空本身无关 (因为标量场的变化是 ϕ→ϕ+dϕ). 因此
0=δS=∫d4x(δϕδL−∂μδ∂μϕ∂L)δϕ+∫d4x∂μ(δ∂μϕδLδϕ)
也就是存在一个守恒流,定义为 Jμ=δ∂μϕδLΔϕ. 这便是 Noether 定理.
一个例子,考虑 complex scalar,
L=−∂μϕ∂μϕ∗−m2ϕ∗ϕ
它们的变换分别是 ϕ→ϕeiα,ϕ∗→ϕ∗e−iα,变分分别是 δϕ=iαϕ,ϕ∗=−iαϕ∗,所以守恒流就是
Jμ=−∂μϕ∗iϕ+∂μϕiϕ∗
验证发现 ∂μJμ 确实为零,上式守恒.
来看这种对称性意味着什么. Spacetime Related Symmetry:在某个平移中,
ϕ′(x′)=ϕ(x)
因此,δϕ(x)=∂μϕ(x)δxμ (同时我们默认有 x′=x+δx,因为这是一个空间平移),
S=∫d4x⋅L(ϕ,∂μϕ)
对于空间的平移,一个巨大的面积 Sμ 变化,会导致边缘上有一个 Lagrangian 的变化;同时面内部会有另一个变化. 总的 δS 受到两部分贡献,得到
δS=∫dSμδxμL+∫d4x(δϕ(x)δLδϕ(x)+δ∂μϕ(x)δLδ∂μϕ(x))=∫dSμδxμL+∫d4x0(δϕ(x)δL−∂μδ∂μϕ(x)δL)δx+∫d4x⋅∂μ[δ∂μϕδLδϕ(x)]
最后一项和第一项 combine 为一个守恒,
∂μ[δ∂μϕ(x)δLδϕ(x)+Lδxμ]=0⟹∂μ[(−δ∂μϕ(x)δL∂νϕ(x)+Lδμν)δxν]=0
这是空间变换.
对于一个一般的时空平移变换 (Lorentz 变换),应该由 x′μ=Λμνxν≈xμ+εμxν,也就是
δxμ=εμνxν
我们得到
Lδxμ−δ∂μϕδL∂μϕδxμ=Lεμλxλ−δ∂μϕδL∂νϕενλxλ=(Lεμλ−δ∂μϕδL∂νϕενλ)xλ=(Lδμλ−δ∂μϕδL∂λϕ)ελνxν=−Tμλελνxν=−Tμλελνxν
因此得到一个守恒量
∂μ(Tμλxν)ελν=0⟹∂μ(Tμλxν−Tμνxλ)=0
把这个守恒量叫作 Mμλν,那么守恒流可以在三维下积分一次,
Jij=∫d3x⋅M0ij=∫d3x(T0ixj−T0jxi)
这是一个角动量!但是它仅仅是一个轨道角动量,也就是说,标量场没有自旋角动量.
自旋来自于下面的情况:generally,
ϕr(x)→ϕr′(x′)+21εμνSμνϕs(x)
后面这一项是变化造成的场「内部」的变化,由 Sμν 来描述.
提示
这个 1/2 仅仅来源于定义,为了方便计算.
自旋项带来的影响为
M(s)μλκ=δ∂μϕrδLSrs,λκφs(x)
以有自旋的光子场为例,来计算这里的 S.
Aμ′(x′)=∂x′μ∂xνAν(x)=Aμ(x)−ενμAν(x)=Aμ(x)−ενληλμAν(x)=Aμ(x)−21ενλ(ηλμAν(x)−ηλνAμ(x))=Aμ(x)−21ενλ(ημλδκν−ημνδκλ)Aμ(x)
因此这里 S 是
(Sνλ)μκ=−21(ημλδνκ−ημνδλκ)
下面用 Noether 流计算电磁场能动张量:依然是 L=−41FμνFμν,
Tμν=−δ∂μAρδLEM∂μAρ+ημνLEM=Fμρ∂νAρ−41ημνF2
规范变换存在一个自由度,Aρ→Aρ+∂ρφ,因此观测量不能含有这种内容.
Tμν=Fμρ(∂νAρ−∂ρAν+∂νAρ)−41ημνF2=FμρFνρ−41ημνF2+Fμρ∂ρAν
更新日志
2026/4/10 10:09
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