

外观
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2026-04-02
再来说说我们研究黑洞的思路:实际上就是在研究视界,因此把视界附近的内容放大,为此定义
ρ=∫2GMrgrr(r′)dr′
我们总能把度规写成
dτ2=ρ2dω2−dρ2−dX2−dY2
的形式,从而得到 Kruskal 坐标,也就是
dτ2=r32G3M3e−r/(2GM)dUdV−r2dΩ2
如果正在研究视界附近的径向运动,那么后一项不重要,前面可以化为 16G2M2dUdV,由此,总可以把黑洞视界附近的时空分为四个区域,然后解释其物理意义.
上节课最后我们说到了带电的 RN 黑洞 (Reissner - Nordström 黑洞),
dτ2=(1−r2GM+r2Q2)dt2−(1−r2GM+r2Q2)−1dr2−r2dΩ2
令 f(r) 为 gtt,那么坐标奇点就是 f(r)=0 对应的解,一共有两个,分别为
r±=GM±(GM)2−Q2
提示
当然这是一个很明显的 toy model,因为很难想象某一个巨大的天体会携带可观数量的电荷;带电是可能的,因为大天体本身就有辐射,但是很多电荷不可能.
还是研究黑洞在坐标奇点附近的性质. 将 f(r) 在奇点附近做一个展开,首先考虑 r≈r+ 时,
f(r)=r21(r−r+)(r−r−)≈[r+21(r+−r−)](r−r+)
仍旧 play our trick,为了消除度规里面的坐标奇点,定义
r∗=∫f(r′)dr′=2κ+1ln∣r+(r−r+)∣,κ+=2r+2r+−r−
然后度规就变为
dτ2=f(r)(dt2−dr∗2)−r2dΩ2
朴素的想法是直接定义 u=t−r∗,v=t+r∗,但是这样还是不好计算,所以做一次 rescale,定义为
u+=∓e−κ+u,v+=eκ+v
度规变换为 (这里 r≈r+ 所以第二项也近似了):
dτ2=κ+22du+dv+−r+2dΩ2
类似之前 Schwarzschild 黑洞的情况,仍然是过了视界,类时的世界线就无法返回. 问题主要出现在 r− 的位置,过了这里 f(r) 的符号再次变回正的. 定义
f(r)=−κ−(r−r−)
仍然有
r∗=−2κ−1ln∣r−(r−r−)∣,u=t−r∗,v=t+r∗
定义新的
u−=∓eκ−u,v−=−e−κ−v
和 Schwarzschild 时空的 Kruskal 坐标相比,那里的 r=0 对应着 uv=1 的双曲线;但是这里 r=0 对应 u−v−=−1,因此进入的类时世界线不一定会碰到 r=0 的本性奇点,而是可能回到 r+ 所对应的那个坐标. 如果是在 r+ 对应的坐标里,外部和 Schwarzschild 时空差不多,只是不存在本性奇点,只有一个虚拟的 boundary. 过了虚拟 boundary 就进入 r− 对应的坐标.
提示
陈童老师在书里面画的图:


简单来说就是在 r± 之间无法反向,只能沿着黑洞 (或者白洞) 走;在 r− 内部可以反向逃出黑洞,在外部可能落回来或者永久逃出.
注意
上述所有讨论建立在静态的体系下,如果是坍缩形成的带电黑洞,不会有无限延拓的 Penrose 图. 同时,即使存在这种黑洞,在逃出之后也不再是原来的宇宙,因为黑洞不可能同时作为黑洞与白洞存在,这个过程的时空结构一定发生了某种改变.
旋转黑洞:Kerr - Neumann 黑洞,Kerr 度规为
−dτ2=ds2=−(1−ρ22Mr)dt2−ρ24Marsin2θdϕdt+Δρ2dr2+ρ2dθ2+(r2+a2+ρ22Mra2sin2θ)sin2θdϕ2G=1
这里,
a=MJ (angular momentum per weight)Δ=r2−2Mr+a2ρ2=r2+a2cos2θ
注意
设定上我们还没有「角动量」,但是类似 此处 的定义,将能动张量与坐标做一个小的 trick 得到角动量场.
为了分析 Kerr 黑洞附近物体的运动,想到之前我们说过的 Killing 矢量场,用来找守恒. 之前证明过,if Lξgμν=0,then Uμξμ is conserved. 有
Lξgμν=ξλgμν,λ−ξλ,μgλν−ξλ,νgμλ=0
找到的 Killing vectors 仍然是
δμϕ^,δμt^
于是得到守恒量,能量为
E=−ξμUμ=−gμνξμUν=−gttUt−gtϕUϕ
角动量:
L=−gϕtUt−gϕϕUϕ
一阶运动方程变化为 (Ut=dt/dτ,Uϕ=dϕ/dτ)
dτdϕ=Δ1[(r2+a2+r2Ma2)E−r2MaL]dτdt=Δ1[(1−r2M)L+r2MaE]
下一步需要得到 dr/dτ 以便于求出轨道,利用测地线方程,
2E2−1=21(dτdr)2+Veff(r,E,L)
其中,有效势能
Veff=−rM+2r2L2−a2(E2−1)−r2M(L−aE)2
提示
我们发现一个很特别的事情:即使是在外界 L=0 的一个粒子,也就是瞄准黑洞打过去的一个粒子,因为黑洞自身的旋转,也会发生轨道的偏折,这称为时空拖拽效应,也就是黑洞自身的旋转会拖动周围的时空. 因此 Kerr 解的真空部分也和黑洞本体相关,这区别于 Schwarzschild 解.
下面说 Kerr 解作为黑洞的性质. 考虑 Kerr 解的 Riemann 标量完全缩并:
RμνρσRμνρσ=ρ1248M2(r2−a2cos2θ)(ρ4−16a2r2cos2θ)
警告
这玩意和 Ricci 标量是独立的,因为缩并方式并不一样,因此包含的信息也多于 R.
这里 ρ=0 对应本性奇点,Δ=0 对应坐标奇点,可见:
gtt=ρ2ρ2−2Mr=ρ2r2+a2cos2θ−2Mr
两个奇点并没有很大距离,在外侧的区域并不是真正的视界,进去之后理论还能出来,这一个外层的区域被称为 ergosphere (erg 就是我们常用的能量单位),也就是能层,它包含着黑洞全部的旋转能量. Penrose 证明了能层里面的能量可以被提取出来,作为一个能量源.
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