
外观
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2026-03-27
上节课说到凑出 Kruskal 坐标,
dτ2=r32(GM)3e−r/(2GM)dUdV−r2dΩ2
考虑做一个拉回 (保角的),将无穷远拉近到研究范围内,变换为
U′=arctanU,V′=arctanV
当然也可以用 tanh−1,区别只是 (−∞,∞) 拉回到 (−π/2,π/2) 还是 (−1,1) 而已. 新的图称为 Penrose 图,在新的图中所有的双曲线都变成直线,之前的奇点 r=0 对应的双曲线也变为直线. 原来的类时未来和类时过去分别集中于两个点,

回头来看 Minkowski 时空,
dτ2=dt2−dr2−⋯=(dt+dr)(dt−dr)−⋯=dUdV−⋯
也可以得到所有类时无穷远分别集中在几点,无穷的未来称为 i+,无穷的过去称为 i−;类光的无穷远集中在两条线段上,分别为 I±;类空的无穷远集中在 i0 一点. I 区域和 III 区域没有因果的连接,只能通过奇点相互连接,所以理论上我们可以说黑洞和白洞连接着两个本来无法相交的世界. 但是现实中的黑洞都是塌缩形成的,而不是一个原生的结构,因此不应该存在 III 这个区域 (因为一开始就没有这个区域).
为了研究坍缩中的黑洞,考虑一个动态的解. 仍然有球对称的性质,但是现在度规和 t 有关系,
dτ2=C(r,t)dt2−D(r,t)dr2−2E(r,t)drdt−F(r,t)r2(dθ2+sin2θdϕ2)
重新定义 r′ 就可以把 F(r,t) 包含进去,然后再更新 E 和 D 的定义即可,所以可以不去解 F 的具体形式,直接把最后一项写成 −r2dΩ2,这时候用完了 r 的自由度;之后用 t 的自由度,写成
dt′≡η(r,t)[C(r,t)dt−E(r,t)dr]
最后重新定义 C,D,E,得到
dτ2=B(r,t)dt2−A(r,t)dr2−r2dΩ2
也就是说即使度规和 t 有关,还是可以写成球对称的这个形式.
下一步还是算联络,
Γrrt=Γrtr=2AA˙,Γtrt=Γttr=2BB˙
然后 Ricci 张量分量
Rrr=Rrrstatic−2BA¨+4B2A˙B˙+4ABA˙2Rθθ=RθθstaticRϕϕ=Rθθsin2θRtt=Rttstatic+2AA¨−4A2A˙2−4ABB˙A˙
其中 static 结果见:Lesson 6.
这些直接解并不容易,但是考虑到一个分量
Rtr=−ArA˙=0⟹A˙=0
这极大简化了过程,解得
dτ2=f(t)(1−r2GM)dt2−(1−r2GM)−1dr2−r2dΩ2
重新标度一下时间又得到 Schwarzschild 解,也就是说在真空区域还是静态的时空.
/Theorem/ (Birkhoff's Theorem)
球对称真空解必静态.
观测者在 outside 看到的是这个 Schwarzschild 时空,但是在 inside 看到的是 Minkowski 时空,因此必须把两半 Penrose 图拼在一起. 现在我们假设的是 shell 以光速坍缩,因此两个图都是按照 45° 剪开,然后拼接,如图:

下面尝试推导带电的 RN 黑洞. 在此之前,我们需要先把电磁场的能动张量写出来. 在不知道作用量原理的情况下,我们只能通过写出分量的形式来确定最终的能动张量.
提示
如果知道作用量原理,可以写出作用量再对坐标微分得到能动张量. 当然我们默认是不知道这个事情的,因为还没有学用 Hamilton 力学推导 Einstein 方程.
首先看能量密度,正比于 E⋅E+B⋅B;然后能流密度矢量是 E×B 的倍数…… 观察下来发现它们都是电磁场的二次项,因此用电磁场张量构造能动张量:
Tμν=αFμρFρν+βημνFρσFρσ
实际上 FρσFρσ 就是作用量了.
然后对每个分量求一下系数 α,β 等等即可. 最终得到
Tμν=FμρFρν−41gμνFρσFρσ
度规
dτ2=e2ψ(r)f(r)dt2−f−1(r)dr2−r2dΩ2
假设坍缩之后电荷集中在 r=0 的点. 为了代入 Einstein 方程,考虑
Fμν;μ=g1∂xμ∂(gFμν)=0⟹drd(eψr2Ftr)=0⟹Ftr=e−ψ4πr2Q
能动张量
Tμν=8πr2Q2−1−111
解得度规
dτ2=(1−r2GM+r2Q2)dt2−(1−r2GM+r2Q2)−1dr2−r2dΩ2
这意味着电荷也构成黑洞能量的一部分,而且电荷过大会无法形成黑洞. 但是比较难理解的点是 dr2 前的系数 →∞ 对应着两个解,也就是两个「视界」,我们需要理解这件事. 这两个解分别是
r±=GM±(GM)2−Q2

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