外观
Lesson 1 Lorentz 变换
约 2001 字大约 7 分钟
2026-02-27
第一节课先来复习一下狭义相对论.
我们面试常问到一个问题,为什么要有 Newton 第一定律?明明 Newton 第二定律 F=ma,那么我们 F=0 的时候就直接得到了没有加速度.
原因是 Newton 第一定律告诉了我们什么是惯性系.
Newton 的时代仅仅了解了一种力,就是万有引力,Newton 的万有引力定律是
F=r3GMmr
Newton 实际上已经意识到了相对性原理,他知道定律的表述应该和参考系没有关系.
提示
题外话,参考系和坐标系的区别在于前者包含了时间.
Newton 想到惯性系之间的变换是 r′=r+vt. 如果是非惯性系,那么求两阶导数就会得到一项惯性力,inertial force,物理规律变成了
F′′=mr¨′′−ma
我们在定义上述的 S{r,t},S′{r′,t},S′′{r′′,t} 三个参考系时,实际上是在定义一个变换的方式. 假如某些定律在某一个相对性原理 (或者更深层次一点,说某种对称性变换) 下不变,就是满足这个相对性原理的定律,比如 Newton 定律在 Galileo 变换下不变.
在电磁学发展之后,Maxwell 发展了 Maxwell 方程组,
∇⋅E=ρ,∇×E=∂t∂B,∇⋅B=0,∇×B=−∂t∂E+J
(用的是自然单位制,kB=ℏ=ε0=μ0=c=1.) 如果没有源,且只有某一种场,那么就没有传播项,因为上述方程都是一阶的;有两个场存在时,可以出现传播,
∇×(∇×E)=∇(∇⋅E)−∇2E=−∇2E=−∂t2∂2E
我们并没有说明白 Maxwell 方程组在什么参考系下成立,而且推导出波速就是 c=1,也并没有说是在什么参考系下的速度. Newton 虽然提出了 Newton 环,但是仍然认为光是粒子性的,因此并没有想出光速有什么比较特殊的问题. 但是光速不变这件事情导致 Maxwell 方程组不满足 Galileo 变换所对应的那个相对性原理. 一开始 Lorentz 变换的目的正是修正 Maxwell 方程组.
有几种解决方案:第一种朴素的想法是,Maxwell 方程组只在某些特殊的参考系成立,光只能在某种介质 ether 中传播,方程组在介质系中成立. 后来的结果我们都知道,ether 学说并不成立,我们需要其他解决方案,也就是寻找一个变换,使得 Maxwell 方程组在变换下不变,换句话说就是找到电磁学理论的某种对称性.
电磁学理论内容很多,似乎最好下手的点是「光速不变」这个事实. 作为一个速度,光速特殊的点是 ∣dx∣=dt (自然单位制,而且这是一个数值上的等式.) 要构造的变换需要维持这一特性. 坐标变换表示为 xμ→x′μ(x) (μ=0,1,2,3),对于一个无穷小的变换,有
dx′μ=∂xν∂x′μdxν
(已经用 Einstein 规则,后续不加解释.)
可以将微元变换写成一个矩阵,dx′μ=Λμνdxν. 当然我们先假设这个 Λμν 现在和 x′μ 无关,后面我们再讨论其他的情况. 由于光速不变,因此要求
0≡dt2−dx2−dy2−dz2≡dt′2−dx′2−dy′2−dz′2
更广泛地,人们想到是不是可以定义两个事件之间的时空间隔,dτ2=dt2−dx2−dy2−dz2,并定义度规 ημν,使得
dτ2=−ημνdxμdxν
这里,η 对角项为 (−1,1,1,1) (也只有对角项). 对于光,我们要求 dτ2=−ημνdxμdxν=0,普通粒子则就是上式,而且我们假设 dτ2 在不同系之间是守恒量,这是光速不变合理的推广. 在 S′ 坐标系中,有
dτ′2=−ημνdx′μdx′ν=−ημνΛμαdxαΛνβdxβ=−(ημνΛμαΛνβ)dxαdxβ
我们事先已经知道 dτ=dτ′,因此 ηαβ=ημνΛμαΛνβ,任何满足此条件的变换都被称为 Lorentz 变换.
换个写法,
ημν=ηαβΛαμΛβν=(ΛT)βνηαβΛαμ
取行列式,得到 detη=detη⋅(detΛ)2,也就是 detΛ=±1,这是一个重要的性质. 同时,现在的度规是已知的,有
−1=−(Λ00)2+i=1∑3(Λi0)2⟹Λ00⩾1 or Λ00⩽−1
考虑几种情况:
| detΛ | Λ00 | 变换 |
|---|---|---|
| + | + | Λμν=Iδμν (Proper Lorentz Transformation) |
| + | − | PT 联合变换 |
| − | + | P 变换 (对称变换) |
| − | − | T 变换 (时间反演) |
实际上只有第一种是真正好的对称性 (另外三种全部被弱相互作用破坏). 令 Λμν=δμν+εμν,代入 Lorentz 变换的性质,
ημν(δμα+εμα)(δνβ+ενβ)ημβεμα+ηανενβ=ηαβ=0
这个时候可以定义升降指标,xμ=ημνxν,xν=ηνμxμ. 上式变为
εβα+εαβ=0
这说明 Lorentz 变换只有 6 个自由的分量,分别是 3 个空间旋转和 3 个 boosts (也就是「速度」).
为确定这些分量,我们要符合物理实际,也就是低速下应该回到 Newton 理论;另外就是是一个矢量的理论. 先构造一些动力学量,动量定义为
Pμ:=mdτdxμ⟹m(dt/dτdx/dτ)=(mp)
下一步构造场 (因为我们很难以定义力,所以先构造场以便后面引入力). 简单来说,场就是空间的函数. 一个标量场应该不随着坐标变换而改变物理实际值,也就是 ϕ′(x′)=ϕ(x). 如果是矢量场,那么仅有矢量的投影发生变化,物理实际也不变,也就是 V′μ(x′)=ΛμνVν(x). 有了矢量场,张量场的变换就很自然,只是多了几个指标,
T′μ1μ2⋯μn(x′)=Λμ1ν1Λμ2ν2⋯ΛμnνnTν1ν2⋯νn(x)
说完了「指标在上面」的量 (逆变量),来看「指标在下面」的量 (协变量),只需要降指标,
Vμ′(x′)=ημνV′ν(x′)=ημνΛνρVρ(x)=ΛμρVρ(x)=ημνΛνρηρσVσ(x)ησκVκ(x)=ΛμσVσ(x)
对于一个一般的张量,举个例子,
Tμρν(x)⟶T′μρν(x′)=Λμμ~Λρρ~Λνν~Tμ~ρ~ν~(x)
当然,Lorentz 变换并非一直如此简单,比如空间旋转和自旋,这些内容也是 Lorentz 变换所允许的结构.
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2026/2/27 07:40
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