外观
Lesson 13 配分函数的一些应用
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2026-04-08
晶体振动的 Einstein 模型
N 个晶格原子,一般认为没有内部的平动自由度,因此内部自由度为 3N (全部来自于振动),外部的宏观运动有 3+3 个自由度.
这个体系的相互关联是比较强的,因此要采用一些方法得到近独立粒子近似.
简谐近似:当温度较小、晶格之间强耦合时,振幅小,在平衡位置可以做展开,
Φ(x1,⋯,xN)=ϕ∣xi=0+i∑∂xi∂ϕxi=0xi+21i∑j∑∂xj∂xi∂2ϕxi,j=0xixj+⋯
一般来说还要求二阶项系数矩阵正定 (也就是平衡取到极小值). 简谐近似只保留到二阶项,同时对角化二阶项系数矩阵,就可以实现近独立粒子近似,
Φ=ϕ0+∑21mx˙i2+∑21Ciixi2
正交变换之后,晶格振动约化为 3N 个独立的简正模式.
Einstein 做了一个非常大的近似,认为所有模式振动频率相同,均为 ν. 那么现在有 3N 个相同的振子,配分函数为
Z(β)=n=0∑∞e−β(n+1/2)hν=1−e−βhνe−βhν/2
能量:
E=−3N∂β∂lnZ(β)=3Nhν(21+eβhν−11)+ϕ0
这里,第一项称为振动零点能,后一项是激发态能,最后一个常数是零点能量.
比热为能量的一阶导数,
CV=3NkBε(TθE),ε(x)=(1−ex)2x2ex,θE=kBhν≈100∼300 K
θE 是 Einstein 温度,为振动的特征温度.
高温极限:T≫θE,CV→3NkB;
低温极限:T≪θE,
CV→3NkB(TθE)2e−θE/T
最终的结果符合 Nernst 定律 (热力学第三定律),但是趋于零的行为与实验并不相符. 这是因为近似太粗糙,实际上存在低频的模式,能够在很低温度的时候仍然被激发,从而对 CV 有贡献.
顺磁物质的磁性
顺磁物质的磁化定律为
m=χH,χ=Hm=B0μ0m
下面我们从理论上尝试证明 Curie 定律 χ∝T−1.
对于顺磁体,其分子 (或者离子 / 原子) 具有恒定的磁矩 μ. 单个粒子能级为
ε=−μ⋅B=−μBgJ⋅B=−μ0μBgmiH=−βami
其中 g 是 Lande 因子,μB 为 Bohr 磁子. 配分函数
Z(β,H)=mi=−j∑je−βεi=1−eae−aj[1−e(2j+1)a]=sinha/2sinha(j+1/2)
总粒子数:
N=e−αZ(β,H)
磁化强度:
M=mi=−j∑jμBgmi⋅ZNe−βεi=βN∂(μ0H)∂lnZ
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2026/4/8 14:51
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