外观
Lesson 13 Tides
约 903 字大约 3 分钟
2026-05-28
沿用之前的符号命名,但是我们这节课要开始做近似. 考虑 r2/d≪1,同时利用下面的单位制:
d=1,m1+m2=1,ω=1,G=1
这样,有效势能变为
ϕeff=−r1m1−r2m2−21r2
用余弦定理得到
r12=1+r22+2r2cosθ,r2=m12+r22+2m1r2cosθ
取倒数,得到
r11=1+x1≈1−r2cosθ+33cos2θr22
代入有效势能,
ϕeff=−m1+m1cosθ⋅r2−23cos2θ−1m1r22−21m12−m1cosθ⋅r2−21r22−r2m2
把常数项撇掉,
ϕeff=−r2m2−23cos2θ−1m1r22−21r22
第二个近似是考虑 m2≪m1≃1. 这时候,
ϕeff,x=0⟹x=(3m2)1/3
恢复量纲之后是 (m2/3m1)1/3d,这被称为 Hill radius. 对于日地系统,Hill 半径大约是 0.01 AU,这被当作判断是归属于谁的引力范围的判据,也就是在地球附近 0.01 AU 的天体被视为处于地球引力范围之内,反之则属于太阳的引力范围.
如果地球太靠近太阳,那么很有可能出现 RHill<RE 的情况,也就是 Hill 半径比地球半径还要小,这时候地球上的所有东西都会脱离地球的掌控,这给出的日地距离限制被称为 Roche limit. 计算可知:
R2=RHill⟹d=(ρ23ρ1)1/3R1
更精确的计算表明系数是 2.4 左右.
回到原先的势能,计算一阶展开可以得到受力,
F=−∇ϕeff=(2x−y)d3Gm1
这是针对微扰而言的一阶力,这个力会产生潮汐,可以计算出 x 方向的潮汐高度,
htides∼g∣ϕ∣∼Gm2/R22R22⋅Gm1/d3∼m2m1d3R24
可以简单算一下潮汐升起来带来的那一坨质量是多少:
mbalge∼ρR22htides∼m2(dR2)3
这造成了一个摩擦效应,也就是所谓的潮汐摩擦. 这件事情在地月系统中会拖慢地球的自转速度,同时月球会获得角动量、升到更高轨道,也就是说在遥远的未来一个月会更短、一天会更长.
其实应该是有某种可能,某个星系中的类似系统在达到潮汐锁定之前,卫星轨道就已经高于 Hill radius,脱离行星的掌控了... 不过地月系统显然没有这个问题.
潮汐力造成的椭球的半长轴与地月连线之间的夹角 (锐角) ε 称为 lag angle. 这产生一个四极势,
ϕquad∼KLRGms(dR)3(rR)323cos2θ−1
我们称 KL 为 love number,虽然我并不知道为什么. 力矩:
ΓT=−∂θ∂ϕquadr=dθ=−εmsd=KLRGms2(dR)6⋅3cosεsinε=23KLRGms2(dR)6Q1
这里的 Q≡1/sin2ε. 角动量变化
dtdLs=−ΓT⟹CImpR2Ω˙p=−ΓT
可以解得 tdo-spin=Ωp/Ω˙p=⋯.
当然也可以算能量的衰减,
dtdE=ΓT(ns−Ωp)<0
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2026/5/28 13:49
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