狭义相对论

我们知道经典力学建立在 Galileo 变换的基础上：

$$\begin{cases} x'=x-vt\\ y'=y\\ z'=z\\ t'=t \end{cases}$$

而 Einstein 提出的狭义相对论建立在 Lorentz 变换的基础上：

$$\begin{cases} x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\ y'=y\\ z'=z\\ t'=\frac{t-v/c^2\cdot x}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \end{cases}$$

狭义相对论建立在「光速不变」和「相对性原理」上，值得一提的是，它与 Newton 的时空观最大的区别并不是相对性原理 (Newton 和 Galileo 都认同相对性原理，即在任何惯性系中物理定律应当具有一样的形式)，而是光速不变.

在狭义相对论中，光速是作为对时的依据存在的. 若真空中的光速可变，则会导致矛盾：

信号传播的速度并不是无穷大，要测量这个速度，就必须先对好两地的钟，并知道两地之间的距离；但是距离测量本身并不容易，对钟也要事先知晓信号传播的速度才可以实现.

规定好光速的值之后，对钟就变得非常简单，因为可以定义光从 A 走到 B 的用时和从 B 走到 A 的用时是一样的，对钟条件就简单地确定为

$$t_B-t_A=t_A'-t_B$$

而且这样的对钟是可以扩展的，A 与 B 同步、A 与 C 同步可以得出 B 与 C 同步. 如果定义

$$\bar{t}_A=\frac{t_A+t_A'}{2}=t_B$$

就能把全空间的钟对准到同一时刻.

当然上述讲的都是光速不变作为一个「约定」存在的必要性，但是狭义相对论中光速不变是作为一条「公理」存在的.

狭义相对论的困难

两个困难：

1. 惯性系无法定义.

   Newton 体系中惯性系被定义为相对于绝对空间静止或作匀速直线运动的参考系. 但是狭义相对论中没有绝对空间概念，上面的定义不可以沿用.

   尝试用惯性定律来代替的方式是：惯性定律在其中成立的系是惯性系. 但是惯性定律是指「不受外力的物体在参考系中静止或匀速直线运动.」又产生循环定义.

2. 万有引力存在「不 Lorentz 协变」的困难.

   电动力学和力学的定律都能写成 Lorentz 协变的，但是万有引力相关的定律不行.

等效原理 & 广义相对性原理

因为惯性系没办法定义，所以 Einstein 想到所有参考系全部平权，这就是所谓的「广义相对性原理」.

但是这样会引入之前在 Newton 理论中就存在的惯性力. Einstein 注意到惯性力有两个特殊性质：

1. 惯性力不是物质之间的相互作用所产生的，因此没有反作用力；
2. 惯性力与物质的质量成正比，所以它产生的加速度和物质的质量 / 组成成分没有关系.

这第二个性质很像我们熟知的 Newton 引力.

水桶实验

Newton 为了论证自己绝对空间的观点，曾经提出所谓的水桶实验：一个装满水的水桶，在静止状态下水面是平的；在旋转起来之后，水逐渐被带动着一起旋转，水面变成抛物面. Newton 说这是因为水桶相对于绝对空间有转动，只有相对于绝对空间的转动才是真正的转动，会产生惯性离心力；反之，水在没有被带动时，相对于桶有转动，但是不会受到惯性离心力，这是因为水没有相对于「绝对空间」有转动.

Mach 反驳，认为不存在绝对的空间，水受到的惯性离心力来源于水相对于全宇宙的其他物质存在转动.

Einstein 自认为他的广义相对论受到了 Mach 观点的启发. 但是事实上两种观念并不相同.

等效原理

等效原理说的是引力场和惯性场等效. 这是引力质量 = 惯性质量的自然推论.

无法通过力学实验来区分引力场和惯性场，比如在一个电梯厢内，当观察者感受到失重时，可能电梯是正在引力场中自由落体，也可能是电梯正在宇宙空间内不受任何外力、作惯性运动.

当然引力场和惯性场有区别：

1. 引力场和惯性场仅在局部等效.

   简单的例子是匀加速场，它是一个常值，但是和它在某一点相等的引力场会有一个源. 因此两者仅仅在每一时空点 (注意：不是空间点) 等效.

2. 引力场对时空产生内禀效应，使时空弯曲；而惯性场不改变时空曲率.

3. 引力来源于物质之间的相互作用，有反作用力；而惯性力没有反作用力.

4. 惯性场可以通过一个整体的坐标变换来消除，但是引力场只能在时空的某一点被局域坐标变换消除.

   例如过某一点的无穷小自由落体坐标系，可以消除这一点的引力场.

因为差别的存在，所以等效原理是一个 局域性 的原理.

注意

这里所有的「局域性」等概念，都是指「时空」上，而不是「空间」上的概念，要注意.

等效原理进一步分为两种形式：

1. 弱等效原理：引力场与惯性场的力学效应是局域不可分辨的；
2. 强等效原理：引力场与惯性场的一切物理效应都是局域不可分辨的.

广义相对论建立在强等效原理的基础上. 虽然如此，弱等效原理等价于 $m_g=m_l$，因此经历了严格的实验检验，但是强等效原理没有那么严格的实验验证.

到此为止，我们可以在实践意义上定义出什么是「惯性系」：在引力场中自由下落的、无自转的、无穷小参考系是严格的惯性系.

Fermi 后来证明，这样的参考系可以一直保持是一个局部惯性系.

从几何的角度来说，就是沿测地线作 Fermi 移动 (即无自转) 的无穷小参考系，可以一直保持是一个局部惯性系.

提示

在外界观测者看来，这样定义的「惯性系」既不是静止的也不是匀速直线运动的，「加速运动」本身并没有绝对的意义.

但是在惯性系中的观者自身所感受到的固有加速度是有绝对意义的：固有加速度为零的观测者沿测地线运动，这就是广义相对论中的「惯性运动」，反之，固有加速度不为零的观测者不会沿测地线运动.

几何上，从一个时空点到另一个时空点，测地线是最长的世界线 (这条线上运动的观者所经历的时间最长)，这是 绝对的.

这也是「双生子佯谬」的广义相对论诠释.

注意

Einstein 强调：『等效原理不允许我们谈论参照系的「绝对加速度」.』

这意味着强等效原理 (所有参考系平权) 是「绝对加速度不可测定」的必要条件，也就是广义相对论基本原理的必要条件 (而非充分条件).

新的理论

之前的狭义相对论是四维直角坐标做正交变换的理论. 新的理论作为狭义相对论的推广，应该也是一个四维坐标变换的理论. 但是，要包含坐标系选择所产生的惯性力 (对物体的运动轨迹产生影响)，因此原来的直角坐标系应该扩展为曲线坐标系；任意参考系之间的变换，也不一定是正交的，所以扩展到任意的变换.

同时因为等效原理，引力在局部产生的效果和惯性力等效，所以想到引力的处理方式应该和电磁力等作用力不同，要看作时空坐标的弯曲效应.

这样，新的理论就初具雏形，接下来所需要的是数学工具.

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