下次作业下周一交. 期末成绩还要计入 presentation 和大作业，要分组，明天把课题发在群里，大家填好志愿分组. presentation 在 5 月份，端午节之后. 主要的任务其实比较 independent，大家先搜集资料，而且还有两次与老师讨论的时间，都会给出一些建议.

5 月 12 日的课程调到 5 月 5 日.

视界 (horizon)

这个概念最早是从广义相对论那边过来的：举个例子，对于 Schwartz 解的黑洞，视界指的是过了这个区域光也无法逃逸的边界.

现在一个很火的概念是原初黑洞，这类非常小的黑洞也能看作是暗物质的一种候选.

现在想象一艘飞船向着一个黑洞飞去，我们作为远处的观察者，我们会看到什么？首先因为潮汐力，飞船会被拉长；同时它发出的光越来越红 —— 引力红移；最后，飞船看起来像是静止在视界面上 (无限趋近于视界面)，因为钟慢效应，我们有限的时间永远无法观测到飞船穿过视界面. 当然对于飞船而言，视界面并不是一个特殊的位置，因为它可以以有限的时间穿过这个距离.

对比视界面和黑洞中央的所谓奇点，视界面实际上不是一个 physical 的奇点，因为它可以通过坐标变换来消除 singularity；但是广义相对论还是允许存在一个 physical 的奇点，这也是广义相对论被认为只是一种“有效理论”的原因，至少我们在大自然里没有见过所有物理定律全部失效的奇点.

回到 Friedman 方程，我们这里的奇点也是非 physical 的，这个概念被引入宇宙学只是因为宇宙寿命有限、光速有限，因此一个物理的变化产生的影响永远都是有限的，为了描述这种“限度”，我们引入了视界的概念.

对于一个观察者，在 $t=0$ 时刻开始计时，它所能观察到的范围是从这一点开始向后的光锥之内. 由此引出粒子视界 (particle horizon)：对于过去的事件，所能观测到的最远距离 or 在 $t$ 时刻所看得到的最远宇宙在 $t$ 时刻的距离.

表示为：

$$d_{\text{ph}}(t)=a(t)\int_0^t\frac{c\text{d}t'}{a(t')}$$

注意尺度因子是必须考虑的.

现在放眼未来，$T$ 时刻的宇宙受到 $t$ 时刻事件影响的最大范围是多少？既然时间 $T$ 可以无限长，那么似乎这个范围是无穷大的；但是反过来想，把 $T$ 时刻看作是粒子视界中的 $t$ 时刻，这也有一个对应的 $T$ 时刻在 $t$ 时刻的“能观测到的范围”，这两个量是一样大的吗？

这里我们定义事件视界 (event horizon)：未来的观测者所能看到的在 $t$ 时刻或以后的事件在 $t$ 时刻的最远距离，写成

$$d_{\text{eh}}(t)=a(t)\int_t^\infty\frac{c\text{d}t'}{a(t')}$$

下面我们来计算一下：

(1) 考虑以物质为主导的宇宙：

$$a(t)\propto t^{1/3}\Longrightarrow d_{\text{ph}}(t_0)=3ct_0=2D_H$$

其中 $D_H=c/H_0$，利用 $t_0$ 和 $H_0$ 的关系.

同时，$d_{\text{eh}}\to\infty$.

(2) 辐射为主导：

$$a(t)\propto t^{1/2}\Longrightarrow d_{\text{ph}}(t_0)=2ct_0=D_H$$

(3) 宇宙常数为主导：

这时候，$d_{\text{eh}}\to\frac{c}{H_0}$ 为一个常数. 直观的解释是，宇宙外侧的膨胀速度已经“超过了光速”，所以我们只能看到近邻的一片宇宙.

我们刚刚还讲到了一个“$T$ 时刻的宇宙受到 $t$ 时刻事件影响的最大范围”，这还可以定义一个视界，但是这个量没有名字，可以写成：

$$\lim_{T\to\infty}a(T)\int_t^T\frac{c\text{d}t'}{a(t')}$$

实际上和 event horizon 的概念非常相似，它们是成正比的. 当然在 $t\neq0$ 时，后者趋于正无穷，但是 event horizon 有限.

早期宇宙的历史

1. CMB 宇宙微波背景辐射

2. BBN 大爆炸核合成

3. Inflation 暴涨宇宙

这是宇宙比较早期的重要演化事件. 一般用能标或者红移来标识早期的演化事件，从今天回溯，首先我们会遇到 $z=6$ 的再电离时代，氢原子再次被电离；然后是 $z=30$ 的黑暗时代，再往前是 CMB 的时代，大爆炸核合成时代、重子合成，和暴涨阶段.

Inflation 到 BBN 时期，能标非常大，最小也是 $0.07\text{ MeV}$，我们更多用粒子物理来进行研究，所以叫做“粒子宇宙学”；BBN 之后的时代，能标变低，我们可以粗略地叫它 "astrophysical" cosmology.

宇宙微波背景辐射

—— Cosmic Microwave Background Radiation, CMB Radiation.

首先我们从 CMB 开始.

氢原子有电离平衡：$p+e\longleftrightarrow \text{H}+\gamma$ ($13.6\text{ eV}$). 直观想象，在能量很高时空间中充满了光子气，光子气能量密度高，这个平衡肯定主要以电离态存在；反之亦然. 对于温度，一个简便的估算是 $E\sim k_BT$，也就是 $1\text{ eV}\sim10^4\text{ K}$.

有两方面的效果使得 $\text{H}$ 要存在必须满足 $T$ 足够低：

1. 光子满足 Planck 的黑体辐射公式，即使占主要成分的光子频率是 $13.6\text{ eV}$ 量级，还有很多高能光子.

2. 宇宙中本身还有很多光子，不只是这个反应中的这些光子，而且参与反应的光子数目非常小，比例大概是 $1/10^9$ 量级.

   提示

   就好像你一个中国人呆在印度一样.

这两个因素共同作用，使得宇宙在 $0.3\text{ eV}$ 能标下，上述反应才向右进行.

问题：是不是时间越来越长，温度足够低时，自由的质子和电子数将趋近于零？考虑宇宙膨胀，还是化学平衡的结果吗？

my view：如果一直化学平衡，那么左边是 fermion，右边是 boson，显然会一直向右反应；但是如果宇宙膨胀，是不是会引入动能的效果？

老师的 view：前面的讲法肯定是对的. 但是如果宇宙膨胀，这其实是一个非平衡态的统计：回忆一下我们了解平衡态统计之前，所做的假设，是“时间远大于弛豫时间”. 而弛豫时间是系统对一个扰动所作出反应的时间尺度，换个说法，就是平均碰撞时间.

提示

一个形象的比喻是，一个杂技演员边骑车边抛球，只要骑车的速度远大于抛球的时间周期，那么这两个时间尺度可以 decouple (解耦).

宇宙膨胀时，光子被电子散射的速率 $\Lambda_\gamma=\sigma_Tn_ec$，其中 $\sigma_T$ 是 Thomson 散射截面，为常数，散射速率只和 $n_e$ 成正比，也就是 $\Lambda_\gamma\propto a^{-3}$. 最极端的情况是，整个宇宙年龄的长时间内，光子只能被散射一次，$t_{\text{age}}\sim1/H$，$\Lambda_\gamma t_{\text{age}}\gtrsim1$，这可以达到化学平衡，也就是 $\Lambda_\gamma\gtrsim H$；反之，若 $\Lambda_\gamma<H$，脱离化学平衡.

以物质主导的宇宙为例，$a\propto t^{1/3}$，$H\propto a^{-3/2}$，$H$ 的降低速度比 $\Lambda_\gamma$ 要快，总会脱离化学平衡.

由此可以引入“退耦” (decoupling) 的概念，也就是说，当非平衡条件出现后，光子脱离化学平衡.

• Before decoupling，光子被重子物质快速散射，对于光子来说，它总是在小范围内作一些类似 Brown 运动，换句话来说这样的宇宙对光子“不透明”.

• After decoupling，宇宙变得透明，光子开始可以自由传播.

相变的那一瞬间，宇宙中的每一个地点都向四面八方释放出光子，这些光子自由地沿直线传播 (这个时间大约是红移 $z=1100$ 左右，非常久远，不妨叫做 $t_{\text{CMB}}$ 时刻). 但是对于现在的我们来说，以我们当时所处的地点为球心，在更靠近我们位置的光已经穿过了我们，而更远的光还没有到达，我们现在只能看到一个二维球面上的“火墙”，这就是现在观察到的 CMB，是一个二维球面信息. 我们把这个球面叫做“最后散射面” (last scattering surface)，这是针对我们自己的位置而言的，但是 CMB 本身充斥着整个宇宙.

因为有了 decoupling，才有了 CMB. 只有宇宙的膨胀才能产生这样的退耦相变，因此 CMB 是宇宙膨胀的证据 —— 进一步，它是宇宙大爆炸的证据.

CMB 的特征：

1. 各向同性 (由于宇宙在退耦前处于热平衡)；
2. 辐射强度随频率的分布应当满足黑体辐射的 Planck 公式；
3. $K_BT\sim0.3\text{ eV}\sim3000\text{ K}$，红移 $z\approx1000$，所以今天的温度大约是 $1\text{ K}$ 量级；
4. 存在一个偶极温度涨落；
5. 去除掉偶极涨落之后还存在一个极其微小的各向异性 $\Delta T/T$，这是宇宙演化的一个初始条件.

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