Lesson 3 时空的几何结构

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2025-3-3

我们仍然讨论的是 $3+1$ 的时空，并不是到了一个什么神奇的世界.

这里问一个问题： $3$ 个空间维度 + $1$ 个时间维度，和 $(3+1)$ 个时空维度，这两种说法有什么区别？

度规不一样.
度规哪里不一样了？前者是 Newton 的体系，在做坐标系变换的时候时间维度不会和另外的维度混合在一起；但是后者在 Lorentz 变换下出现 mix.
当然我们能够从数学上讲出具体什么地方有差异，不过这并没有必要.

什么叫做“弯曲的时空”？

在平直的 Minkowski 时空中，度规 $\eta_{\mu\nu}$ 会是一个与时间、空间无关的常数；但是当时空出现弯曲，我们会得到一个一般的度规 $g_{\mu\nu}(x_i)$ .

我们这门课假定大家学过线性代数和狭义相对论，不要求广义相对论 —— 我们尽量用初等的方法导出弯曲时空的一些基本的东西.

最简单的时空是平直的时空，在这之中，两个时空事件的坐标差为

\text{d}x^\mu\,,\quad\mu=0,1,2,3

因此 interval (线元) 是

\text{d}s^2=-c^2\text{d}t^2+\text{d}x^2+\text{d}y^2+\text{d}z^2

坐标变换保证 $\text{d}s^2$ 在变换下不变，因此光速不变.

上面的度规能够写成矩阵相乘的形式，得到

\text{d}s^2=\sum_{\mu=0}^3\sum_{\nu=0}^3\eta_{\mu\nu}\text{d}x^\mu\text{d}x^\nu

这便是所谓的 metric (度规). 在平直时空中，它为常数；但是广义相对论中的度规依赖于坐标，比如取一个 Cartesian 坐标和一个“super smart”坐标，那么两者之间的变换可能是

\begin{pmatrix} \text{d}\alpha&\text{d}\beta&\text{d}\gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A&&\\&B&\\&&C \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \text{d}\alpha\\\text{d}\beta\\\text{d}\gamma \end{pmatrix}=A\text{d}\alpha^2+B\text{d}\beta^2+C\text{d}\gamma^2

注意到这个变换必须是对称的，否则会出现大量的交叉项. 在这种观点里面，坐标被看成是一种“标记”，并不一定是 Cartesian 坐标.

弯曲的时空对应着随位置变化的度规 —— 但是这不意味着一个丑陋的度规就一定代表弯曲时空. 实际上可以取一些坐标系，造成度规随位置变化：

g_{\mu\nu}=\begin{pmatrix} -1&&\\&1&&\\&&r^2&\\&&&r^2\sin^2\theta \end{pmatrix}

这就是球坐标. 这时候的 interval 是 $\text{d}s^2=\text{d}r^2+r^2\text{d}\theta^2+r^2\sin^2\theta\text{d}\phi^2-c^2\text{d}t^2$ . 如果光看这个度规，它确实和坐标有关系，但是这个空间并非弯曲，它有可能通过坐标变换回到平直的空间.

那么，如果我看到一个随位置变化的度规，我们找不到一个坐标变换使得它回到平直的坐标，但是这也有可能只是因为我们太笨了：有没有一个确定的方法可以证明这个度规一定对应着一个弯曲的时空呢？

一个并不恰当的类比是，证明“我的母亲不是我的父亲”. 显然这里用到的指标是“性别”，所以上面的问题应该也可以通过一个判定的指标来解决.

我们的想法是：通过度规，在某个坐标系下进行一些计算，得到一个“曲率”，证明它是不随坐标变化的，因此这就是平直的时空. 不过我们这门课不要求知道怎样去计算这么一个量.

下面我们开始进入正题.

膨胀宇宙的时空几何结构

先定义共动坐标 (comoving coordinates)：因为宇宙本身在膨胀，所以微元坐标要乘上一个尺度因子， $\text{d}|\vec{x}|=a(t)\text{d}s_{3\text{D}}$ (空间部分).

by the way，spacetime interval 具有一个专属的名称：线元 (line element).

其中某一个 $t_0$ 时刻， $a(t_0)=1$ ，这一点作为基准.

更一般地，整个线元写成 $\text{d}s^2=-c^2\text{d}t^2+a^2(t)\text{d}s_{3\text{D}}^2$ ，整体的度规是

g_{\mu\nu}=\begin{pmatrix} -1&&&\\&a(t)&&\\&&a(t)&\\&&&a(t) \end{pmatrix}

如果计算其 Ricci Scalar (Ricci 曲率)，则会发现这是一个弯曲的时空 —— 即使这里的空间部分是平直的.

可以证明，一共有三种可能的膨胀宇宙，满足各向同性和膨胀条件：

空间部分为三维的 Euclidean 空间， $\text{d}s^2=-c^2\text{d}t^2+a^2(t)\text{d}\vec{x}^2$ .
嵌在四维 Euclidean 空间中的三维球面.

这听起来非常难以理解，但是我们能够先想象一个二维球面，二维生物判断这个空间是弯曲的，可以使用测量三角形内角和的方法确定这个球面是不是平直的. 所以我们也有方式能够判定我们的时空是不是平直的. 当然我们的“三维球面”并不实际地嵌在一个真实的“四维 Euclidean 空间”中，我们只是想象出来这样的一种构造.

因此，我们现在有的约束是：Euclidean 空间导致的 $\text{d}s^2_{3\text{D}}=\text{d}\vec{x}^2+\text{d}z_4^2$ 和球面约束 $z_4^2+\vec{x}^2=R^2$ . 得到：

\text{d}s_{3\text{D}}^2=\text{d}\vec{x}^2+\frac{(\vec{x}\cdot\text{d}\vec{x})^2}{R^2-\vec{x}^2}

我们发现这里还有所谓的“第四条轴”的贡献 ( $z^2_4=R^2-x^2$ )，这里的 $\vec{x}$ 是三维投影空间中的一个三维矢量.

下面来想想为什么这种几何结构对应着各向同性？这里的各向同性指的是身处这个时空的我们所看到的各向同性，我们在这个空间中的任何一个点向其他方向观察，都看不到任何区别，因此这是一个各向同性的空间；同时，我们在这个空间里做一次 rotation，在“球面”上的投影仍然是各向同性的.

当然可以无量纲化，得到

\text{d}s_{3\text{D}}^2=\text{d}\vec{x}'^2+\text{d}z_4'^2\,,\quad z_4'^2+\vec{x}'^2=1

这是为了方便把半径和尺度因子合成一个量. 但是在这种写法下，尺度因子的零点变得不自由，因为 $R$ 不是一个自由的量，而是具有实际的物理数值的，因此 $t_0$ 时刻的 $R$ 设定为一个固定值.

嵌在四维 pseudo-Euclidean 空间中的三维超球面 (hyper-sphere).

现在我们的约束变成 $\text{d}s_{3\text{D}}^2=\text{d}\vec{x}^2-\text{d}z_4^2$ ，这里的减号就来源于所谓的“pseudo”；还有超球面的约束 $z_4^2-\vec{x}^2=1$ (已经完成无量纲化).

最终的三维线元是

\text{d}s_{3\text{D}}^2=\text{d}\vec{x}^2-\frac{(\vec{x}\cdot\text{d}\vec{x})^2}{1+\vec{x}^2}

可以和前面的情况合成同一个方程：

\text{d}s_{3\text{D}}^2=\text{d}\vec{x}^2+k\frac{(\vec{x}\cdot\text{d}\vec{x})^2}{1-k\vec{x}^2}

当 $k=+1$ ，为球面； $k=-1$ ，为超球面； $k=0$ ，为平直空间. 总体的四维线元写作

\text{d}s^2=-c^2\text{d}t^2+a^2(t)\left[\text{d}\vec{x}^2+k\frac{(\vec{x}\cdot\text{d}\vec{x})^2}{1-k\vec{x}^2}\right]

这里的 $\vec{x}$ 是三维空间的坐标矢量，是准 Cartesian 坐标，因为可能受到空间本身弯曲的贡献. 比如在球坐标下，可以化为

\text{d}s^2=-c^2\text{d}t^2+a^2(t)\left[\frac{\text{d}r^2}{1-kr^2}-r^2\text{d}\Omega^2\right]

上述两种写法均可以叫做 FLRW metric (叫什么取决于你是哪个国家的人).

上面这四位科学家各自写出这个度规的过程是一个漫长的故事……
当然有时候这个故事告诉我们一些道理：文章要发在主流期刊上，而且 one theory one paper，不要让人家找不到结果.

快要下课了，讲点有意思的：第四条空间轴是否存在？

首先，谈论这个第四条空间轴没有实际意义，因为虚无和我们无关；
但是想象这样的情景：我们是已经发现自己身处二维球面的生物，该如何证明第三条空间轴实际存在？
yqq 的答复 (个人认为这是一个相当聪明的做法)：做一面一维的镜子，然后把光打在上面，这时会发现反射光消失了 —— 它到第三条空间轴上去了.
老师的回答：实际上，更简洁的做法是多次抛出一个物体，速度逐渐提高，到第一宇宙速度时，我们会发现物体在二维球面上做一个圆周运动. 但是，没有任何力支持这样的运动，因为这个力的方向是第三条空间轴.