Lesson 2 宇宙学基础

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2025-02-24

宇宙的成分

我们已知的物质只占了宇宙物质组成的 5% 左右，剩下的物质之中，25% 是暗物质 (dark matter)，70% 是暗能量 (dark energy).

暗物质和暗能量有区别，虽然都看不见 (不与电磁波相互作用)，但是暗物质有引力，暗能量之间的力是排斥的.

上面所说的并非凭空想象. 有以下几条证据：

对暗物质的研究证据来源于星系的旋转曲线，在发光区域之外的星体的绕银心旋转速度不减反增，说明发光区域外仍然有物质存在.
第二种暗物质的存在证据是 Bullet Cluster. 这是用两种光 (X 光和引力透镜) 两种手段探测两个星系的碰撞过程，发现两种测量手段探测出的质量中心不在同一个位置，引力透镜测到的两星系质量中心相隔更远 (因为没有电磁相互作用之类，暗物质只会擦肩而过，可以理解为是两团 ghost)，而 X 光只能探测对电磁波敏感的普通物质.
第三条证据是微波背景辐射 (CMB)，其涨落与冷暗物质的早期分布有很大关系，可以用曲线进行拟合.
第四条证据就是我们 —— 如果没有暗物质存在，星系可能无法形成. 暗物质作为星系形成过程中质量的“种子”，使得星系克服了重子物质相互之间的压强，形成了引力势阱. 经过计算，如果不存在暗物质，那么现在宇宙的年龄还达不到形成星系的标准.

关于暗能量，我们也有观测证据：用 $\text{I}a$ 型超新星作为标准烛光，我们可以极大地拓宽测量的范围，结果发现最符合 Hubble 常数的宇宙学模型是暗能量存在的宇宙学模型.

$\text{I}a$ 型超新星相对于 CMB，两种测量方法一个主要研究宇宙目前的膨胀状态，一个表征宇宙早期的发展情况.

上面大致是第一讲的内容. 之后几节课我们会从动力学的角度研究宇宙的演化.

宇宙学基础

宇宙学原理：宇宙中的物质在空间上是均匀和各向同性的.

首先要确定的是，上面的原理一定建立在宇观的尺度上，因为至少在星系团以下的尺度物质分布显然是不均匀的.

为什么 Einstein 的这个原理一直留到现在还保持活力？

一种讲法肯定是“对称性的直觉”；
但是简单来说这其实就是一种幸存者偏差：物理学家总是从最简单的情况入手，刚好它是对的，所以留下来了. 事实上 Einstein 还有后面的论断：“宇宙中的物质分布在时间上也是不变的” (静态宇宙观) $\longrightarrow$ 这显然是错的.
Einstein 的静态宇宙观被他自己认为是他一生中最大的失误. 不是因为这个假设错了 (相反，我们很喜欢在研究中犯一些可修正的错误)，而是因为在理论上静态宇宙有不稳定的漏洞，在理论上就有问题.

Copernicus 原理：宇宙中不存在一个处于特殊位置的观测者.

和上面的宇宙学原理连在一起，就能确立宇宙的各向同性和均匀分布. 它们是不可以独立存在的.

比如，如果没有 Copernicus 原理，某个特殊观察者向四面八方看到一个球壳，他也认为宇宙是各向同性的，但是这不是均匀分布的.
另外，如果没有宇宙学原理，那么只要对每一个观察者做一个球壳，就能构造一种物质不均匀分布的各向同性宇宙.

为上面两条原理提供一些说明：

这个词一定是和讨论的尺度相关，我们说是在宇观 (Cosmoscopic) 尺度下均匀. 定量地来说，假设宇宙的平均质量 (半径 $\lambda$ 球体内) 为 $M$ ，质量的涨落是 $\Delta M$ ，对整个宇宙而言 $\braket{\Delta M}=0$ ，这是定义决定的；所以我们考量涨落的物理量是方均根 $\sqrt{\braket{(\Delta M)^2}}$ . 这个偏离和尺度 $\lambda$ 有关.

\sigma(M)=\frac{\delta M}{M}\propto M^{-(3+n)/6}\propto\lambda^{-(3+n)/2}

一般 $n\sim0.97$ ，所以上述涨落约为 $\lambda^{-2}$ 正比. 考虑尺度为 $8\text{Mpc/h}$ (约化 Hubble 常数的兆秒差距) 的情况 (这是巡天尺度)，计算得到：

\sigma_8=\frac{\delta M(\lambda)}{M}\sim0.8

是一个一阶量. 如果到 $100\text{Mpc/h}$ ，可以按照比例计算得 $\sigma_{100}\sim0.005\ll1$ ，这个距离上才能被称为宇观尺度.

各向同性

考虑温度涨落，CMB temperature 附近的涨落估计：

$T(\hat{n})=\bar{T}+\Delta T(\hat{n})$ ， $\delta T=\sqrt{\braket{(\Delta T(\hat{n}))^2}}$ ， $\frac{\delta T}{T}\sim10^{-5}$ 量级.

Hubble 定律

定律的表达式是

v=H_0R

其中 $H_0$ 是 Hubble 常数，这个“0”表示这一时刻的常数，因为这个常数会随着时间和距离变化.

如果我们相信 Copernicus 原理，那么在宇宙的任何一个点都能得到 Hubble 定律这一现象，这意味着膨胀是一种空间的效果.

假设在一条轴上，有点 $O$ 、 $A_1$ 、 $A_2$ 、 $A_3$ ，有 $A_1:A_2:A_3=1:2:3$ ，则 $v_1:v_2:v_3=1:2:3$ ，于是下一时刻 $A_1':A_2':A_3'=1:2:3$ ，这表明如果宇宙一开始是均匀的，那么它将会是一直均匀的 —— 均匀性和 Hubble 定律是自洽的.

当然，出于物理学家对简洁性的追求，这是好的.

于是，任何一段线段在时间 $t_i$ 时刻的长度，只由尺度因子 (scale factor) $a(t_i)$ 决定，有

\vec{x}(t)=\vec{x}(t_0)\frac{a(t)}{a(t_0)}

于是退行速度可以写成

\vec{v}(t)=\vec{x}(t_0)\frac{\text{d}a(t)/\text{d}t}{a(t_0)}=\vec{x}(t_0)\frac{a(t)}{a(t_0)}\frac{a'(t)}{a(t_0)}=\vec{x}(t)\cdot\frac{a'(t)}{a(t_0)}=H(t)\vec{x}(t)

那么我们就得到了 Hubble parameter (这里当然不能叫它 constant 了).

Hubble 常数的误差

下面我们解释一下 $\text{Mpc/h}$ 这个单位里的 $\text{h}$ (dimensionless Hubble parameter)：

为了描述 Hubble 常数的误差，我们假设 $H_0=100\text{h}$ ，在历史上带着 $\text{h}$ 做计算可以保证我们做的一部分计算即使在 $H_0$ 测不准的情况下也能得到一些有意义的结果，所以现在我们仍然保留了这个单位.
早年间宇宙学不被认真对待就是因为 Hubble 常数根本测不准：
1931 年 Hubble 本人给出 $\text{h}\sim5$ ，在这个数值下宇宙年龄比地球年龄还短 ( $t\propto1/H_0$ )，也常作为大爆炸的反对证据存在；
1980s， $\text{h}\sim(0.4,1)$ ；
2010 年，精确结果得到 $\text{h}\sim0.7$ ，似乎是一个大团圆的结果；
2015 年之后，CMB 和 $\text{I}a$ supernova 的结果分别是 $0.67$ 和 $0.74$ ，这两个数值之差已经大于 $5\sigma$ 的置信度了，这导致了所谓的“Hubble Tension”.
目前这仍然是一个在争论的问题，课程里面我们就用 $0.7$ 进行计算.

超光速？

另一个问题是，如果距离达到一定程度，退行速度可能超过光速 —— 我们没有任何对这个速度的限制. 或者换一个问题，红移 $z=\frac{v}{c}>1$ 的天体能够存在吗？

首先，速度并不是一个可观测的量，只有红移是可观测的 —— 因此谈论这个速度是不是超光速，并没有意义，因为不可能做实验来测量这一个速度，速度只有在局域的空间中才有意义.
但是，红移大于 $1$ 也不能说明超光速：上面的公式是近似结果，狭义相对论中的完整红移公式是 (熟知的 Doppler Effect)
$z=\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}$
实际上测到的“红移远大于 $1$ ”的天体，只是退行速度接近光速而已.
再者，Hubble 定律只对近邻天体有效，对远距离的天体我们会使用一个关于红移的公式来进行计算： $z=z(R)$ ，这个关系也是和宇宙学具体模型有关，不再是简单的线性关系.
另外，远处天体的速度如果没有意义的话，它的红移是如何产生的？这种红移是因为宇宙的空间膨胀产生的，我们称之为宇宙学红移，它已经不再是 Doppler 红移.

宇宙学红移

(cosmological redshift)，是由于宇宙整体的膨胀造成的红移.

两个时刻 $t_0$ 、 $t_1$ 的波包经过观察者，波包宽度因为空间的膨胀而展宽，有

\frac{c\delta t_1}{a(t_1)}=\frac{c\delta t_0}{a(t_0)} \Longrightarrow\frac{\nu_1}{\nu_0}=\frac{a(t_0)}{a(t_1)}

宇宙学红移即为

1+z_{\text{cos}}=\frac{a(t_0)}{a(t_1)}

大于 $1$ ，红移一定是正的.

在宇宙学红移比较小的情况下 (近邻天体)，可以叠加 Doppler 红移；但是远处宇宙学红移占主导作用. 上节课提到的近邻天体 Hubble 定律线性性不明显、较远天体线性性变好的原因也在于此，近处天体的速度有随机的弥散，出现一些随机的 Doppler 红移.

在时间上，因为宇宙的膨胀， $a$ 会不断变大，所以宇宙学红移会越来越小，我们观测到 CMB 的红移量大约是 $1100$ ，因此推算出宇宙年龄约为 $138$ 亿年.

会不会等待足够长的时间，我们也会长高？原子会变大？变大的尺度到底是什么？

有强烈相互作用的范围内，空间的膨胀几乎对束缚态没什么影响. 比如星系尺度下，引力有强烈的主导作用，已经形成的束缚态不会因为空间膨胀而解散.

所有的物理问题，都有其对应的特征尺度.

下课之后问的一些问题：

如果说小尺度下的束缚态不受到空间膨胀的影响，那么暗能量是如何影响宇宙的加速膨胀的？

事实上，这只是一个特征尺度问题：到达某一个特征尺度时，暗能量的作用体现出来，因为宇宙常数 $\Lambda$ 的作用是 $\propto r^2$ 的 (Schwartz 解). 只要超出这样一个尺度，暗能量的作用就体现出来.

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