Lesson 14 非线性涨落理论

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2025-5-19

回顾上节课的图像：

在图像以下，重子物质以声学波 (acoustic waves) 的形式传播；同时由于光子与重子的耦合，还有一个 silk damping 效应，来自于光子和重子之间的散射，它抹平了微扰涨落的增长. 总体而言，涨落一般要达到星系团的量级才能呈现增长的态势.

这种结果是不合理的，因此宇宙中不可能只有重子物质，我们现在必须要一种新的物质来支持“现在的涨落尺度”这样的结论.

Dark Matter

暗物质指的是不与重子物质和光发生比较强的相互作用的粒子.

冷暗物质 (Cold Dark Matter, CDM)：自己之间的相互作用也非常微弱，比如 WIMP (Weakly Interacting Massive Particles).
WIMP 在上世纪 80 年代开始就非常火，因为如果一些理论模型成立，就可以从理论上导出一种物质完美的符合这种特性.
但是大家利用核反冲等方式来探测 WIMP，这么多年一直都没有得到什么特别的成果，不仅是因为 WIMP 的探测可能会受到各种因素的影响 (比如太阳中微子、超新星爆炸等等)，也有可能是理论上的困难.
热暗物质 (Hot Dark Matter, HDM)：退耦之后的中微子.
显然这一种观点很早就被排除掉了.
温暗物质 (Warm Dark Matter, WDM)：目前算是一种唯象的模型. 现在的观点差不多是 $m_{\text{DM}}\gtrsim10\text{ keV}$ .
类轴子粒子 (Axion-like Particle)：与 WIMP 相对，这种模型是质量非常小的版本. 但是它们可以通过类似 Bose-Einstein Condensation 的方式，在大尺度上表现得像 WIMP 一样.
a.k.a fuzzy dark matter, ultra-light particle dark matter, $m_a\sim10^{-24}\sim10^{-1}\text{ eV}$ .
剩下的是一些比较奇怪的模型，比如拓扑缺陷 (Topological defects)：磁单极子、宇宙弦 (Cosmic Strings, 不是弦论中的那种弦，而是宇宙相变过程中遗留的一些缺陷).
这两种模型的性质我们还算了解得比较多，它们的一些性质确实与暗物质不太一样，所以基本上不太会算进暗物质模型里.
原初黑洞 (Primordial Black Holes)：比较小型的黑洞，产生的效应和我们正常情况下理解的暗物质类似.

我们以冷暗物质为蓝本来研究暗物质的性质.

冷暗物质是“无碰撞”的粒子，原则上来说我们不能使用流体力学的方程. 我们只能写出如下的有效理论：

连续性方程：
$\frac{\partial\delta}{\partial t}+\frac{1}{a}\nabla\cdot[(1+\delta)\vec{v}]=0$
Jeans 方程 (类比 Euler 方程)：
$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\frac{\dot{a}}{a}\vec{v}+\frac{1}{a}(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}=-\frac{\nabla\Phi}{a}-\frac{\sigma^2}{a}\frac{\nabla\delta}{1+\delta}$
这里定义速度色散：
$\sigma_{ij}\equiv\braket{v_iv_j}-\braket{v_i}\braket{v_j}$
如果假设各向同性，就得到 $\sigma_{ij}=\sigma^2\delta_{ij}$ ，再结合均匀性就得到 $\sigma=\sqrt{\braket{v_i^2}}$ .

类似重子流体中做过的分析，可以定义 Jeans 尺度：

\lambda_J^{\text{prop}}=a(t)\lambda_J^{\text{com}}=a(t)\cdot\frac{2\pi}{k_J}=\sigma\sqrt{\frac{\pi}{G\bar\rho}}

在 $\lambda>\lambda_J^{\text{com}}$ 时涨落增长. 反之，小于 Jeans 尺度时，无碰撞的暗物质粒子涨落会被抹掉 (free streaming damping).

这样，上面那张图片中可以加入一些新的内容：

一个更加复杂的因素是：因为暗物质和其他物质脱耦的时间在 $t_{\text{eq}}$ 之前，所以有一些额外的效果. 在辐射为主的时期，

\frac{\text{d}\delta_{\vec{k}}}{\text{d}t}+\frac{2\dot{a}}{a}\frac{\text{d}\delta_{\vec{k}}}{\text{d}t}=4\pi G(\bar\rho_m+\bar\rho_r)\delta_{\vec{k}}

可以得到在尺度“大于暗物质决定的 Jeans 长度、小于辐射决定的 Jeans 长度”的这段区域，会出现涨落的停滞.

但是在中微子脱耦之后，暗物质的 Jeans length 比较小，涨落可以增长，暗物质先产生多级结构，暗物质晕开始吸引重子物质，逐渐产生星系.

上面的结构都是线性的 —— $\delta\ll 1$ ，涨落都是比较小的. 但是实际上涨落增长到一定程度之后，结构已经变得非线性，这时要更换处理方法.

非线性结构

$\delta\gtrsim1$ ，非线性结构的处理方式有以下几种：

数值模拟：难点在于解读获得的结果，不是很物理.
quasi-linear：用高阶的微扰理论，(人 (特指研究生和博士生) 是非常 cheap 的.jpg)，我们得到的结论比较物理.
(over-simplified) analytical model：显然不够准确，但是我们会获得一些 insight.

这门课我们主要了解 toy model，如果大家想要了解别的非线性处理方法，可以找鲜于他们.

比较经典的一个 toy model: Spherical Collapse (SC) Model.

在初始时刻，我们研究一个球状的高密度区的膨胀行为，半径 $r_i$ ，over-density is $\delta_i$ ，宇宙的平均密度是 $\bar\rho_i$ .

球体边缘的一个质点 (可以代表整个球边界的演化情况)，受到的引力来自球体 $M=M(r<r_i)=\frac{4}{3}\pi r_i^3\bar\rho_i[1+\delta_i]$ ，随着时间膨胀过程中：

M=\frac{4}{3}\pi r^3(t)\bar\rho(t)[1+\delta(t)]

质点所具有的能量的变化：

E=\frac{1}{2}\dot{r}^2-\frac{GM}{r}=\left\{\begin{array}{ll} >0&\text{escape}\\ =0&\text{critical point}\\ <0&\text{cannot escape} \end{array}\right.

逃逸情况球体会无限膨胀、无法逃逸的情况球体会先膨胀后收缩.

在 $E=0$ 的临界情况， $r(t)\propto t^{2/3}$ . 但是宇宙本身也随着 $a\propto t^{2/3}$ 膨胀 (物质为主的宇宙)，这两个膨胀的速度是同步的，也就是涨落在 comoving 的坐标下，大小是不变的.

如果真的要使得涨落出现有效的增长，我们要求 $E<0$ . 因为如果 $E>0$ ，边缘质点会逃逸出去，稀释的速度反而比宇宙膨胀的速度还要快，所以涨落的净增长来自于 $E<0$ 的情况.

现在细致地解决初始能量为负的可能： $E_i=K_i+W_i=\frac{1}{2}v_i^2-\frac{GM}{r_i}=-K_i\delta_i$ . 若 $\delta_i>0$ ，则 $E_i<0$ ，高密度区的 $\delta(t)$ 是增长的. 方程的解实际上是一个摆线：

\begin{cases} r=A(1-\cos\theta)\\ t=B(\theta-\sin\theta) \end{cases}\,,\quad0\leq\theta\leq2\pi

其中，

A=\frac{GM}{2|E|}\,,\quad B=\frac{GM}{(2|E|)^{3/2}}

整个高密度球在 $t=\pi B$ 时达到最高点，之后出现 collapse，塌缩所用时长 $t_\text{collapse}=2t_{\text{ta}}$ ，恰好是增长时间的两倍.

在最大半径处：

E_\text{ta}=-\frac{GM}{r_{\max}}=-\frac{H_i^2r_i^3(1+\delta_i)}{2r_{\max}}\,,\quad E_i=-K_i\delta_i=-\frac{1}{2}H_i^2r_i^2\delta_i

两者相等，得到 $r_{\max}\approx r_i/\delta_i$ ，只和 over-density 有关系.

同时可以计算 over-density 的变化：

\begin{aligned} \rho&=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi r^3}=\frac{3M}{4\pi A^3}(1-\cos\theta)^{-3}\\ \bar\rho&=\frac{1}{6\pi Gt^2}=\frac{1}{6\pi GB^2}(\theta-\sin\theta)^{-2}\\\\ 1+\varepsilon(t)&=\frac{\rho}{\bar\rho}=\frac{9}{2}\frac{(\theta-\sin\theta)^2}{(1-\cos\theta)^3} \end{aligned}

over-density	turn-around	collapse
SC model	$1+\delta(t_{\text{ta}})=9\pi^2/16$	$\delta(t_\text{collapse})=\infty$
linear model	$\delta(t_\text{ta})=3(6\pi)^{2/3}/20$	$\delta(t_{\text{collapse}})=3(12\pi)^{2/3}/20$

其中都用到 $t_\text{collapse}=2t_\text{ta}$ . 对比之下发现线性理论的增长速度明显慢于我们的 toy model (SC). 而且，线性理论的 $\delta$ 实际上已经是 $\sim1$ 量级，不能再适用了.

至此可以得到下面的图像：

我们这里把线性模型 (外推版) 和宇宙本底的膨胀同时画在一张图像中. 可以发现在膨胀过程中 SC model 的描述比较物理，但是到了收缩阶段，SC model 预言高密度球会收缩成一个奇点，这是非常不合理的. 因此在收缩阶段，我们考察系统达到 virialized (位力化) 的时间：

\begin{aligned} 2K_f+W_f&=0\,,\quad E_\text{ta}=W_{\text{ta}}=-\frac{GM}{r_{\text{ta}}}\\ r_{\text{vir}}&=\frac{1}{2}r_{\text{ta}}\,,\quad\rho_{\text{vir}}=8\rho_{\text{ta}} \end{aligned}

得到 virialized 的 over-density：

1+\Delta_{\text{vir}}=1+\delta(t_\text{collapse})=\frac{\rho(t_{\text{collapse}})}{\bar\rho(t_\text{collapse})}=32(1+\delta(t_\text{ta}))=18\pi^2

修正之后的 SC model 图像，在收缩阶段出现一个振荡，最终形成 bound halo (束缚态的暗物质晕)：

外推的线性模型有什么作用？

我们知道它一定是错的，但是可以当一个“字典”来使用，当我们在 linear theory 中计算出 $1.686$ 的值时，我们就知道 SC model 大概已经进入了 virialized 的阶段. 这里的 $1.686$ 又被称作临界 over-density，表征暗物质晕形成的条件.

同时，当某一区域的暗物质晕密度达到 $1+\delta\approx178(\approx18\pi^2)$ 时，我们称之为一个 SC model 的 dark matter halo.

另外，还有一种计算暗物质晕的临界判据是 FoF (friend of friend) 判据，来自暗物质粒子的相互作用范围.

上面我们一直在说球形的初始状态，但是如果初始是椭球，我们可以合理想象这一块暗物质会一开始沿着更短的一条轴塌缩 —— 因为短距离引力更大 (想象一下：星系都是扁平的. 当然，星系是有角动量的，塌缩一个轴之后不会再变化了).

虽然一开始是这么塌缩，最终我们还是会得到一个非常小的球形，形成 halo.

最后简单说一些暗物质晕结构有关的内容：暗物质晕内部的物质分布也不是均匀的，而是符合一种 power law：

\rho(r)=\rho_0\left(\frac{r}{r_0}\right)^{-\gamma}

在 $r_0$ 内部计算体积，会发现若 $\gamma\leq3$ ，在 $r\to\infty$ 处 $M\to\infty$ ；反之，在 $r\to0$ 处 $M\to\infty$ .

提示

如果有什么事情是一个 power law 解决不了的，那么就来两个.

physnya 评：上面这句话简直是至理名言.

double power law 写成：

\rho(r)=\frac{\rho_0}{(r/r_s)^\gamma[1+(r/r_s)^\alpha]^{(\beta-\gamma)/\alpha}}=\left\{\begin{array}{ll} \propto r^{-\gamma}&r\ll r_s\\ \propto r^{-\beta}&r\gg r_s \end{array}\right.

这是所谓的 NFW profile.

目前没有解决的问题是：暗物质晕中心的部分并不是按照这样的规律变化，而是有一个平缓的区域，这对冷暗物质模型是一个挑战.

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