Lesson 13 辐角原理 & Γ 函数

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2025-6-3

留数定理 - 杂例

/Example/

Kepler 问题中的行星轨道：
$\frac{\text{d}r}{\text{d}t}=\sqrt{2E+\frac{2k}{r}-\frac{l^2}{r^2}}$
其中， $E<0$ 为总机械能. 求行星运动周期.
在 Newton 力学中我们会配方，得到一个反三角函数；分析力学中则会代入轨道方程进行求解. 这里给出复变积分的方法：
$T=\int\frac{\text{d}r}{\sqrt{2E+\frac{2k}{r}-\frac{l^2}{r^2}}}$
在复变积分中，很有意思的是积分本身就沿着割线 (近日点 - 远日点连线)，而且是顺时针的积分. 进一步处理：
$\begin{aligned} 2E+\frac{2k}{r}-\frac{l^2}{r^2}=\frac{2E}{r^2}(r-r_{\min})(r-r_{\max}) \end{aligned}$
其中，轨道半长轴满足 $r_{\min}+r_{\max}=2a=-k/E$ .
为积分，只需要计算 $\infty$ 的留数. 先讨论 $\infty$ 的辐角：割线上岸为 $0$ ， $\infty$ 处路径绕着远日点转了 $-\pi$ ，所以 $\arg\infty=-\pi$ . 于是这一点为：
$\begin{aligned} &\frac{\text{i}}{\sqrt{-2E}}\cdot\frac{1}{(1-\frac{r_{\max}}{r})(1-\frac{r_{\min}}{r})}\\\\ &=\frac{\text{i}}{\sqrt{-2E}}\left[1+\frac{1}{2}(r_{\max}+r_{\min})\cdot\frac{1}{r}+\cdots\right] \end{aligned}$
所以留数是：
$\frac{\text{i}}{\sqrt{-2E}}\cdot\frac{k}{E}\cdot\frac{1}{2}$
得到结果.

/Example/

计算积分：
$\oint_{|z|=2}\frac{\text{d}z}{(z+3)(z^5-1)}$
这个积分如果算 $|z|=2$ 内部的积分，要算 5 个奇点的留数；但是如果把圆外视作 “内部”，则：
围道方向相反；
无穷远点是特殊点；
只需要计算 $z=3$ 和 $z=\infty$ 两点的留数.

/Example/

计算积分：
$\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{ax}}{1+e^x}\text{d}x\,,\quad0<a<1$
半圆形围道不好，取高为 $y\text{i}=2\pi\text{i}$ 、宽为 $2R$ 的矩形围道：
$\begin{aligned} \oint_Cf(z)\text{d}z&=\int_{-R}^R\frac{e^{ax}}{1+e^x}\text{d}x-\int_{-R}^R\frac{e^{2a\pi\text{i}}e^{ax}}{1+e^x}\text{d}x\\\\ &\quad+\int_0^{2\pi}\frac{\text{i}e^{aR+ay\text{i}}}{1+e^{R+y\text{i}}}\text{d}y-\int_0^{2\pi}\frac{\text{i}e^{-aR+ay\text{i}}}{1+e^{-R+y\text{i}}}\text{d}y\\\\ &=(1-e^{2a\pi\text{i}})\int_{-R}^R\frac{e^{ax}}{1+e^x}\text{d}x \end{aligned}$
这里，竖直边的两个积分之和恰好为零，所以得到结果：
$\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{ax}}{1+e^x}\text{d}x=\frac{-2\pi\text{i}e^{a\pi\text{i}}}{1-e^{2a\pi\text{i}}}=\frac{\pi}{\sin\pi a}$
/Remark/
实际上，做换元 $e^x=t$ ，上述积分就能化为根式函数的积分，积分围道也会变化为根式函数的积分围道.
此类积分在统计物理中常用.

/Example/

计算 Fermi 电子气模型的常用积分：
$I=\int_{-\infty}^\infty\frac{x^2e^x\text{d}x}{(e^x+1)^2}$
如果做变换 $e^x=t$ ，被积函数中会出现 $\ln t$ ，所以我们积分原来的积分时，要将被积函数改成：
$w(z)=\frac{z^3e^z}{(e^z+1)^2}$
仿照上例的围道来求解.

/Example/

一个有趣的积分：
$\oint_{\substack{|z|=(m+1/2)\pi\\\\m\in\mathbb{Z},\,\,m\to\infty}}\frac{\text{d}z}{z^n\tan z}\,,\quad n\geq2\,,\quad n\in\mathbb{Z}$
根据大圆弧引理，围道积分为零. 但是这样会导致我们得到一个求和：
$0=\left.\sum_{k\in\mathbb{Z}}\text{Res}\frac{1}{z^n\tan z}\right|_{z=k\pi}$
而 $k\neq0$ 时，所有极点都是一阶极点，可以计算出
$\left.\text{Res}\frac{1}{z^n\tan z}\right|_{z=k\pi,\,\,k\neq0}=\frac{1}{(k\pi)^n}$
所以
$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(k\pi)^n}((-1)^n+1)=-\left.\text{Res}\frac{1}{z^n\tan z}\right|_{k=0}$
当 $n$ 为偶数，就可以得到重要的求和式.

/Example/

证明固体物理中的如下等式：
$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{\sin^2(\frac{2k+1}{2n}\pi)}=n^2$
构造函数：
$w(z)=\frac{1}{(z-1)^2}\frac{1}{z^n+1}$
$zw(z)\to0$ when $z\to\infty$ ，大圆弧引理得到围道积分为零. 所以留数和为零.
围道内有二阶极点 $z=1$ 和 $n$ 个一阶极点 $z_k=e^{\text{i}(2k+1)\pi/n}$ .
$\begin{aligned} \left.\text{Res}[w(z)]\right|_{z=1}&=\left.\frac{\text{d}}{\text{d}z}\frac{1}{z^n+1}\right|_{z=1}=-\frac{n}{4}\\\\ \text{Res}[w(z)]|_{z=z_k}&=-\frac{z_k}{n(z_k-1)^2}=\frac{1}{4n\sin^2(\frac{2k+1}{2n}\pi)} \end{aligned}$
简单整理即证.

/Example/

计算积分：
$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\cos^{2n}\theta}{1+\varepsilon\sin\theta}\text{d}\theta\,,\quad|\varepsilon|<1$
当然可以用三角函数有理式积分方法，但是可以变成根式情形：
$\sin\theta=x\Longrightarrow\int_{-1}^1\frac{(1-x^2)^{(2n-1)/2}}{1+\varepsilon x}\text{d}x$

/Example/

著名的 Gauss 积分：
$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\text{d}x$
提示
这个积分并不要求掌握，毕竟太难以想到.
我们已经知道积分会产生一个 $\sqrt{\pi}$ ，但是复变积分难以得到这一类系数，所以我们考虑这样的构造：
$\oint_Cf(z)\text{d}z=\oint_C\frac{e^{\text{i}\pi z^2+2\pi z}}{e^{2\pi z}+1}\text{d}z$
围道是如下非常恐怖的形式：
可以得到结果.

辐角原理

这是留数定理和 topology 结合的重要部分.

/Corollary/ (解析函数在零点和极点的对数留数)

设 $z=a$ 为解析函数 $w(z)$ 的 $m$ 阶零点，则 $z=a$ 为函数 $w'(z)/w(z)$ 的一阶极点，且
$\left.\text{Res}\frac{w'(z)}{w(z)}\right|_{z=a}=m$
设 $z=b$ 为解析函数 $w(z)$ 的 $n$ 阶极点，则 $z=b$ 为函数 $w'(z)/w(z)$ 的一阶极点，且
$\left.\text{Res}\frac{w'(z)}{w(z)}\right|_{z=b}=-n$

此引理证明不难. 由这一引理，立即得到所谓辐角原理：

/Theorem/ (辐角原理)

如果 $w(z)$ 满足：
在简单闭合曲线 $C$ 内除极点外解析；
在 $C$ 上解析且不为零.
则：
$\frac{1}{2\pi\text{i}}\oint_C\frac{w'(z)}{w(z)}\text{d}z=N(w,C)-P(w,C)$
其中 $N$ 和 $P$ 分别表示 $w(z)$ 在 $C$ 内零点与极点的个数 (一个 $m$ 阶零点算 $m$ 个；一个 $n$ 阶极点算 $n$ 个).
定理也可以用辐角来表达：
$N(w,C)-P(w,C)=\frac{\Delta_C\arg w(z)}{2\pi}$

接下来可以得到：

/Theorem/ (Rouche 定理)

如果函数 $w(z)$ 和 $\varphi(z)$ 在简单闭合曲线 $C$ 内以及 $C$ 上解析，且在 $C$ 上恒满足 $|w(z)|>|\varphi(z)|$ ，则函数 $w(z)$ 与 $w(z)+\varphi(z)$ 在 $C$ 内部有同样多的零点 (几阶算几个).

/Proof/

引入辅助函数 $\psi(z)=1+\varphi(z)/w(z)$ .
可以有辐角原理知：
$\frac{1}{2\pi\text{i}}\oint_C\frac{\psi'}{\psi}\text{d}z=0$
得证.

Rouche 定理可以用来判断多项式根的分布，多项式在任意半径 $R$ 圆内根的分布，相当于系数 $a_kR^{n-k}$ 多项式在单位圆内的情形.

$R\to\infty$ 可以证明代数学基本定理.

/Theorem/ (Weierstrass 定理)

设整函数 (复平面上无奇点) $f(z)$ 只有不为零的一阶零点 $a_1,\cdots,a_n$ ，且 $\underset{n\to\infty}{\lim}a_n=\infty$ .
且存在围道序列 $\{C_m\}$ (围道内包含 $m$ 个零点 $a_1\sim a_m$ )，在其上满足 $|f'(z)/f(z)|<M$ ， $M$ 为与 $m$ 无关的正数，则 $f(z)$ 可以展为无穷乘积：
$f(z)=f(0)e^{\frac{f'(0)}{f(0)}z}\prod_{n=1}^\infty\left\{\left(1-\frac{z}{a_n}\right)e^{z/a_n}\right\}$

/Proof/

关键在于证明：
$F(z)=\frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{f'(0)}{f(0)}+\sum_{n=1}^\infty\left\{\frac{1}{z-a_n}+\frac{1}{a_n}\right\}$
只需要考虑围道积分：
$\frac{1}{2\pi\text{i}}\oint_C\frac{F(\zeta)\text{d}\zeta}{\zeta(\zeta-z)}$

上述定理可以得到很多重要的无穷乘积，比如：

\frac{\sin z}{z}=\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z^2}{n^2\pi^2}\right)

Gamma 函数

/Definition/

最常用定义是：
$\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\text{d}z\,,\quad\Re(z)>0$
这个积分称为第二类 Euler 积分，其中的变量 $t$ 理解为 $\arg t=0$ .

很多积分都能化为 $\Gamma$ 函数，比如：

\int_0^\infty e^{-t^2}t^p\text{d}t=\left.\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)\right/2

(Maxwell 速率分布率，极为常用)

下面要证明：积分在右半平面表示一个解析函数.

/Proof/

是瑕积分 ( $t=0$ 端)，又是无穷积分，拆成两部分讨论：
$\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\text{d}z=\int_0^1t^{z-1}e^{-t}\text{d}z+\int_1^\infty t^{z-1}e^{-t}\text{d}z$
(1) $t>1$ 时，被积函数全平面解析，只需要证明积分一致收敛.
我们知道
$e^t=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}$
所以对于任意正整数 $N$ ，有
$e^{-t}<\frac{N!}{t^N}$
这样似乎并不能得到证明，于是我们强行取一个内闭区域，得到：只要选择足够大的 $N$ ，积分就收敛.
(2) $t<1$ 时，也还是证明积分收敛，考虑到：
$|e^{-t}t^{z-1}|\leq t^{\delta-1}$
后者收敛.
综上所述，得证.