松神的简单自我介绍：邮箱 [email protected]，办公室在新物理楼 W432 (万人食堂北边，万人食堂就是观畴园)，答疑时间是周三下午.

考试成绩的计算方法：期末考试占比 85%，作业成绩占比 15%. 作业成绩只看态度，期末会“重整化”作业成绩. 如果写一个和课程相关的小论文会酌情加分，加 1 分 (当然如果快要挂科了可能会捞一下).

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引入

复变函数可能是大学期间能够学到的最优美的一套体系，毕竟复数域是最大的数域. 另外一门优美的课程是微分几何 (数学系叫做流形上的微积分).

复数的历史：复数是最早 (16 世纪) 在二次、三次方程的求解中引入的. 三次方程的求根公式是 Cardan 公式 (G.Cardano 1501 - 1576，实际发现者为 N.Tartaglia)：

$$x^3+bx^2+cx+d=0\Longrightarrow y^3+py+q=0$$

提示

八卦：Cardano 是一个医学学者，同时是一个占星术士，也为数学做出了一些贡献，写过一本书叫《大术》. 他为了证明自己的占星术是对的，在自己预言的死期自杀了.

上面的转化主要来源于前两项用完全立方公式配方，利用代换 $x=y-\frac{b}{3}$. 之后换元：

$$y=z-\frac{p}{3z}$$

代入新的方程得到

$$(z-\frac{p}{3z})^3+p(z-\frac{p}{3z})+q=0\Longrightarrow z^3-\frac{p^3}{27z^3}+q=0$$

恰好是关于 $z^3$ 的二次方程.

但是二次方程一般只能给出两个根，为了描述三个根，前人引入一个量：

$$\omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}$$

则三个根是 $A$，$\omega A$，$\omega^2A$. 实际上，$\omega$ 是 $1^{1/3}$ 的三个值.

因此我们也得到了四次方程的求解方法，因为可以写成如下形式：

$$y^4+py^2+qy+r=0$$

引入辅助参数 $z$，方程改写成：

$$(y^2+z)^2=(2z-p)y^2-qy+z^2-r$$

调整 $z$，使得右端为关于 $y$ 的完全平方，要求 $z$ 满足：

$$8z^3-4pz^2-8rz+4rp-q^2=0$$

这是一个三次方程.

提示

显然求出 $n$ (奇数) 次方程就能求出 $n+1$ 次方程.

为了求五次方程的求根公式，最开始是由 Abel 触及到了这个问题的本质，但是 Galois 真正解决了这个问题. 提到这个，Galois 创立了群论，Noether 创立了更深层次的环论，再进一步是域论，这三个理论构成了抽象代数.

Galois 的理论一开始寄给 Fourier 和 Laplace，但是并没有被赏识，他死后 Liouville 重新发现了他的成果，并发表出来.

五次方程没有求根公式的原理是 $A_5$ 群的性质.

课程要求

为什么学习复变函数？

提示

事实上学什么知识都是丰富自己. 本来这个问题就没什么意义.

• 求解代数方程以及微分方程，Fourier 变换和 Laplace 变换

  举个例子：强迫振动方程，可以写成复数形式.

• 可以用来计算序列的和以及定积分，例如：

  $$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n\sin kx&=\frac{\cos x/2-\cos(2n+1)x/2}{2\sin x/2}\\ &\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin x}{x}\text{d}x=\pi \end{aligned}$$

• 处理振动、波动相关的问题会很方便：交流电、电磁波、光学……

• 量子力学的相关理论建立在复数域上 (复的 Hilbert 空间)

因为复数域是最大的数域，所以能够完善相关的问题：

• 函数在 $x=0$ 点的邻域 Taylor 展开的收敛范围：

  $$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$$

  为什么有范围？

• 函数在 $x=0$ 点处的解析性质：

  $$f(x)=e^{-1/x^2}$$

  为什么 $0$ 点处是奇点？

复变函数包含很多新的方法和结论 —— 但是这些新的知识围绕一个概念展开：解析.

复变函数并不是一门容易学的课程：

提示

啥玩意被我教了就变难了——松神

传说中的那一年是因为大家都去搞学生节去了，于是挂科率达到了 $1/3$.

• 上课认真听讲、下课及时复习，课前可以适当预习；
• 及时完成作业，做作业之前复习讲义；
• 多对比几本参考书目，通过不同书籍的对比加深理解.

注意一件事：写作业的时候不要翻讲义和笔记，不然考试的时候没有讲义可以看了就不会做了，一定要先复习讲义再开始写作业.

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预备知识

/Definition/ (复数的定义)

有序实数对 $(a,b)$ 定义了一个复数 $\alpha$，如果满足

1. 加法：$(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)$
2. 乘法：$(a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1a_2-b_1b_2,a_1b_2+b_1a_2)$

记为 $\alpha=(a,b)=a(1,0)+b(0,1)$，$a$ 称为复数的实部，$b$ 称为复数的虚部，记为

$$a=\Re\alpha\,,\quad b=\Im \alpha$$

注意：复数的相等条件是实部和虚部分别相等. 复数不能比较大小.

几个特殊的复数：

• 复数 $0$：

  $$(a,b)+(0,0)=(a,b)\,,\quad(a,b)(0,0)=(0,0)$$

  简记为 $0$.

• 实数 $1$：

  $$(1,0)(a,b)=(a,b)(1,0)=(a,b)$$

  和实数中的 $1$ 效果一样，简记为 $1$.

• 虚数单位 $\text{i}$：

  $\text{i}^2=-1$，复数 $\alpha=(a,b)$ 又可以记为 $\alpha=a+\text{i}b$.

所以乘法可以更简单地记忆：

$$(a_1+\text{i}b_1)(a_2+\text{i}b_2)=(a_1a_2-b_1b_2)+\text{i}(a_1b_2+b_1a_2)$$

注意

虚数单位 $\text{i}$ 是唯一的吗？

很多书上先定义 $\text{i}^2=-1$，但是这样就无法保证这个 $\text{i}$ 不是我们所了解的 $-\text{i}$. 所以我们先定义这个线性空间.

一个有趣的佯谬如下：

$$-1=\text{i}^2=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)^2}=1$$

这是因为 "$\sqrt{-1}$" 不是真正的代数计算，所以上面的等式不成立.

复数的矩阵定义：可以用 $2\times2$ 方阵定义

$$a+\text{i}b\Longrightarrow\begin{pmatrix} a&-b\\b&a \end{pmatrix}$$

Pauli 早在上个世纪就找到了这种对应.

我们能不能再引入一个 $\text{j}$ 让这个数域变大呢？如果引入 $\text{j}$，就必须引入 $\text{k}$，因为无法定义 $\text{i}\cdot\text{j}$；但是引入 $\text{k}$ 之后得到的四元数不再是数域，因为没有加法交换律.

复共轭：复数 $\alpha^*=a-\text{i}b$ 与 $\alpha=a+\text{i}b$ 互为复共轭.

加法的逆运算：

$$(a+\text{i}b)-(c+\text{i}d)=(a-c)+\text{i}(b-d)$$

乘法的逆运算 (除法)：

$$\frac{a+\text{i}b}{c+\text{i}d}=\frac{(a+\text{i}b)(c-\text{i}d)}{(c+\text{i}d)(c-\text{i}d)}=\cdots$$

复数可以用复平面上的点来表示，分实轴和虚轴. 显然 $zz^*=1$ 就是单位圆.

因为是二维的线性空间，所以复数也能表示为一个矢量，加法满足平行四边形法则.

复数还有极坐标表示：$\alpha=r(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)$，前面的 $r=|\alpha|$ 称为复数的模，$\theta=\arg\alpha$ 称为复数的辐角. 因此 $0$ 这一个辐角不定的复数是特殊的.

复数的辐角有多值性：因为三角函数是周期性的，这是大多数复变函数困难的来源. (比如华罗庚就是做的多复变，相当于多元函数，但是牵扯到多值性就变得非常困难)

辐角主值：规定辐角范围 $(-\pi,\pi]$ (一般是物理上) 或者 $[0,2\pi)$ 为主值，记为 $\text{Arg }\alpha$.

复共轭意味着辐角取反 (取 $-\arg\alpha$).

复数乘法在极坐标表示下可以写成：

$$\alpha_1\cdot\alpha_2=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+\text{i}\sin(\theta_1+\theta_2)]$$

(模相乘，辐角相加).

相对应的，除法是：

$$\frac{\alpha_1}{\alpha_2}=\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+\text{i}\sin(\theta_1-\theta_2)]$$

/Definition/ (复指数函数)

复指数函数：$e^{\text{i}\theta}=\cos\theta+\text{i}\sin\theta$ (Euler 公式)，复指数函数和实指数函数具有相同的性质.

注意

Euler 是人类历史上最多产的学者之一，在他死后人们整理他的著作甚至还用了 50 年. 现在为止他的专著已经出版了 886 卷.

Euler 在俄国工作时间很长，对俄国的数学贡献很大，导致俄国的数学传统倾向于暴力计算.

Euler 甚至对建筑学有很大贡献，因为曾经参加过一次法国的帆船设计比赛，拿了亚军 (冠军是欧洲帆船之父)，因此他很不爽，遂重复参加了 12 次，拿了 12 次冠军.

复数的乘法：$e^{\text{i}\theta_1}\cdot e^{\text{i}\theta_2}=e^{\text{i}(\theta_1+\theta_2)}$.

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