外观
Lesson 9 Molecular Motor
约 1486 字大约 5 分钟
2025-11-18
在外加一个场 (比如说,电场) 的情况下,新的平衡态不再用原来的平衡量来描述,这种情况下要引入一些别的平衡量,一个例子是「电化学势」,
F=qϕ+kBTlnc
其实就是单粒子势能加上化学势,F=0 被称为 Nerst 关系.
对于一个跳转的 toy model,方程为
∂t∂p(x,t)=−∂x∂(vp−D∂x∂p)
RHS 第一项代表了输运,第二项代表了扩散. 其解为一个不断扩展、向右运动的 Gauss 波包,
p(x,t)=2πDt1e−4Dt(x−vt)2
这个形式和量子力学中的自由粒子很相似. 更加普遍的 Fokker - Planck 方程为
∂t∂p(x,t)=−∂x∂[A(x)p−21B(x)∂x∂p]
这描述一个用 A(x) 的力牵制住的 Brown 粒子,如果 A(x)=−γx (线性回复力),B(x)=D,那么
p(x,t)=2πσ2t1e−2σ2(t)(x−x0e−γt)2
影响扩散的因子:
拥挤效应:
如果跳跃到下一格时,有 ϕ 的概率下一格被占据,无法跳过去,那么等效的扩散系数变为 D0(1−ϕ).
微小分区:
因为时间 ∼L2/D,那么降低线度就会大幅提升速度,所以细胞中间会形成小的分区,把反应物等等包起来.
Facilitated Diffusion:
反应只能通过扩散来进行,相当于一个搜索算法,三维的搜索比一维的搜索要低效很多,所以有的假说说这个反应可能会在 DNA 链这样一个一维的结构上进行搜索.
但是目前仍然是一个假说,实验上无法成像,难以验证;有说法说 DNA 的垃圾序列就是这个作用.
机器学习中的扩散模型:正向的一个过程是,一个图片上每个点上面加上 Gauss 噪声,最后变为一个全是噪点的图像.
我们用训练集去训练一个神经网络,让网络产生的噪声函数和之前生成的噪声函数尽可能接近,也就是让 L=∣ε^−ε∣ 最小,最后对于一个空白的图像,把学习到的噪声函数扣除掉,就会得到一个新的图像. 当然这个图像和原来的东西肯定不一样,这取决于生成时采取的种子.
Schnitzer Model:对于一个在一维运动的细菌而言,将向右的细菌数记为 P+,反之记为 P−,那么
∂tP+=−∂x(vP+)−αP++αP−∂tP−=+∂x(vP−)−αP−+αP+
引入 ρ=P++P−,m=P+−P−,则
∂tρ=−∂x(mv),∂tm=−∂x(ρv)−2αm
在 α 很大时,所谓的 Polarization m 显著快于 ρ,
m≈−2α1∂x(ρv)
如果假设速度和 ρ 没有关系 (这并不是显然的!),那么
∂tρ≈−v∂xm≈2αv2∂x2ρ≡Dact∂x2ρ
这就是一个扩散方程,Dact 是一个等效扩散系数;但是如果 v 和 ρ 有关系,那么
∂tρ≈∂x[2αv∂x(ρv)]
这导致一个不一定为正的等效扩散系数. 扩散系数为负时,简单理解为汇聚作用,也就是「密度越大、扩散出去的速度越慢、越慢就越聚集」.
这种效应出现的条件是:粒子要是 活性 的,比如细菌或者被外场驱动的胶体粒子,而不是简单的 Brown 粒子.
Molecular Motors
平移马达 (translational motor):需要一个轨道,分为 myosin (肌球蛋白)、kinesin (驱动蛋白) 和 dynein (动力蛋白) 等等.

一个 kinesin 走一步是 8 nm,消耗 ΔGATP=20kBT,计算知道出力大约是 10 pN. 它的作用体现在细胞分裂时将染色体拉到细胞两端.
dynein 是鞭毛中的结构,鞭毛由很多根微管构成,dynein 连接在两根微管之间左右摆动,让两根管张力不同,产生鞭毛的弯曲.
myosin 是肌肉的结构,它收缩或者舒张可以实现骨骼肌的拉伸.
为了观测到分子马达,人们的做法是把很难看到的马达固定在玻璃片上,让马达的「轨道」自由运动,将马达的运动转化为「轨道」的运动,轨道可以荧光染色所以更好观察.
我们的成像技术足够好、时间分辨率足够高的话,应该能够分辨分子马达到底是像走路一样两条腿交替前进,还是迈同一条腿:

Feynman 棘轮:如图系统,如果两边温度一开始相等,右边有分子朝着棘轮允许的方向撞击叶片,就会提升重物;反向撞则不会造成变化 (因为棘轮卡住了),这就造成了第二类永动机.

bug 在于,这个棘轮也应该是分子量级的,它在区分 kBT 量级的能量的同时,自身的弹性势能也应该是这个量级,所以会受到左侧分子的碰撞而产生不完美性,棘轮会回弹.
但是这产生了分子马达的原型 —— 做功的效应是涨落而不是棘轮本身,那么 ATP 是否也不是做功的能量来源、而是阻止分子马达因为涨落而回退的「棘轮」?同时,Feynman 棘轮要想正常工作,两边温度应该要有差异,也就是存在低温热源和高温热源,这也是分子马达的作用基础.
更新日志
2025/11/18 13:29
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