菲兹克斯喵

外观

请我喝杯奶茶→

Lesson 3 化学反应

约 2080 字大约 7 分钟

2025-09-30

国庆前的最后一次课.

上节课说到生物问题中我们通常会把流体力学中的惯性项去掉，而主要考虑摩擦效应.

微观状态：一个格子上是 00 还是 11；宏观状态：格子网络中一共有多少个 11. 这是我们传统的统计上的一些概念.

要固定系统的能量，我们让它和一个大热源接触，就能保证它的温度恒定. 在这个条件下我们得到了 Boltzmann 分布.

回到上节课结束时讨论的问题，一个 RNA 复制机器产生的错误是多少：我们只关心宏观状态，也就是一共有多少个错误. 错误概率：

Pi=Me−βnεP_i=Me^{-\beta n\varepsilon}

这里 MM 是熵造成的因子，可以想象是 NN 个点上出现 nn 个错误，也就是 M=CNnM=C_N^n. 于是系统的熵是

S(n)=kBln⁡CNn≈kB[Nln⁡N−nln⁡n−(N−n)ln⁡(N−n)]=−kBN(nNln⁡nN+N−nNln⁡N−nN)\begin{aligned} S(n)&=k_B\ln C_N^n\\\\ &\approx k_B[N\ln N-n\ln n-(N-n)\ln(N-n)]\\\\ &=-k_BN\left(\frac{n}{N}\ln\frac{n}{N}+\frac{N-n}{N}\ln\frac{N-n}{N}\right) \end{aligned}

自由能：

F=E−TSF=E-TS

我们要求系统的自由能最低，∂F/∂n=0\partial F/\partial n = 0，解得系统的分布是

nN=1eε/kBT+1\frac{n}{N}=\frac{1}{e^{\varepsilon/k_BT}+1}

一般在 DNA 的复制过程中，ε\varepsilon 为出现一个错误氢键的能量的话，大概是 9kBT9k_BT 量级，出错率非常低 (10−410^{-4})，上面甚至可以约等于 e−ε/kBTe^{-\varepsilon/k_BT}.

但是生物的调控远远比这个平衡态系统要精细，实验中复制的错误率是 10−910^{-9} 量级，这意味着生物的复制机器和调控机制根本不是平衡态的，而是存在更加优化的过程.

对于一个弹簧 Ep=12kx2E_p=\frac{1}{2}kx^2，我们可以计算这种势能的 Boltzmann 分布，算出所谓的能量均分定理，每个自由度的平均能量都是 12kBT\frac{1}{2}k_BT.

熵的另外一个效应是渗透压 (将溶液视为理想气体)：

G=E−TS=−NkBTln⁡V ,p=−∂G∂V=NkBTV=ckBTG=E-TS=-Nk_BT\ln V\,,\quad p=-\frac{\partial G}{\partial V}=\frac{Nk_BT}{V}=ck_BT

在微观系统中我们把经典的能量换成自由能，是因为这时候熵的那部分能量占据了一些作用.

熵的下一个重要的效应和水的氢键相关. 如果有一个非极性分子进入水，它会阻挡水分子之间的氢键. 本来作为一个四面体中心的一个水分子拥有六个朝向，但是现在少了一个四面体的角，造成这个水分子少了三种可能的朝向. 于是水分子的熵和自由能变化：

ΔS=kBln⁡(3/6)=−kBln⁡2 ,ΔG=kBTln⁡2\Delta S=k_B\ln(3/6)=-k_B\ln 2\,,\quad\Delta G=k_BT\ln2

这个效果产生的排斥作用

ΔG/A∼3kBT/nm2\Delta G/A\sim3k_BT/nm^2

这是疏水效应.

下一个熵效应来源于细胞内的拥挤状况，在这里大小两种分子会相互挤压，这种「排空力」的大小：

f=−∂ΔG∂d ,ΔG(d)=kBTln⁡ΔV(x)Vf=-\frac{\partial\Delta G}{\partial d}\,,\quad\Delta G(d)=k_BT\ln\frac{\Delta V(x)}{V}

同时大小分子的熵会产生竞争，小分子的量大，更倾向于混乱排布，这反而导致大分子被挤压、排布更加均匀，总体的熵还是增大的.

化学反应

在考虑粒子数变化的系统时，我们不再能像之前一样使用巨正则系综 (μ\mu VV TT 系综)，而要换成 NN VV TT 系综，也就是正则系综. 化学势：

μ=∂G∂Nμ=∂E∂Nμ−T∂S∂Nμ=εp−εs+ln⁡Np−ln⁡(N−Np)\begin{aligned} \mu&=\frac{\partial G}{\partial N_\mu}=\frac{\partial E}{\partial N_\mu}-T\frac{\partial S}{\partial N_\mu}\\\\ &=\varepsilon_p-\varepsilon_s+\ln N_p-\ln(N-N_p) \end{aligned}

(pp 是溶质，ss 是溶剂)

=εp−εs+ln⁡Np/VNs/Vcpcp,0=μp,0+ln⁡Np/VNs/Vcpcp,0\begin{aligned} &=\varepsilon_p-\varepsilon_s+\ln\frac{N_p/V}{N_s/V}\frac{c_p}{c_{p,0}}\\\\ &=\mu_{p,0}+\ln\frac{N_p/V}{N_s/V}\frac{c_p}{c_{p,0}} \end{aligned}

物理化学上把 cp,0c_{p,0} 定义为标准浓度.

对于一个化学反应

ν1X1+ν2X2+⋯⟷νkXk+⋯+νNXN\nu_1X_1+\nu_2X_2+\cdots\longleftrightarrow\nu_kX_k+\cdots+\nu_NX_N

这个反应的平衡点由自由能的最小值给出，

dG=∑i(∂G∂Ni)dNi=∑iμiνidNi\text{d}G=\sum_i\left(\frac{\partial G}{\partial N_i}\right)\text{d}N_i=\sum_i\mu_i\nu_i\text{d}N_i

平衡条件：

∑iμiνi=0\sum_i\mu_i\nu_i=0

这里我们定义反应 LHS 的 ν\nu 是负的，因为它们在反应中减少.

代入上面的化学势，计算可以得到所谓的化学平衡方程

∏i(Ci(e))νi=Keq\prod_i(C_i^{(e)})^{\nu_i}=K_{eq}

(类似这种，反应物浓度乘积比生成物浓度乘积为常数).

下面来先看看最简单的一种反应 —— 受体和配体的结合.

结合的概率：

pb=e−β(εb−μ)e−β(εb−μ)+e−β(εu−εb)=cc+Kdp_b=\frac{e^{-\beta(\varepsilon_b-\mu)}}{e^{-\beta(\varepsilon_b-\mu)}+e^{-\beta(\varepsilon_u-\varepsilon_b)}}=\frac{c}{c+K_d}

(也就是：结合的 / (结合的 + 没结合的)) 上述概率在 c≪Kdc\ll K_d 时 ∼c/Kd\sim c/K_d (线性)，在 c≫Kdc\gg K_d 时 ∼1\sim1 (饱和).

更加复杂的情况是配体一次结合两个受体，

Kd=[R][L]2[RL2]K_d=\frac{[R][L]^2}{[RL_2]}

这时候

pb=[RL2][R]+[RL2]=c2c2+Kd2p_b=\frac{[RL_2]}{[R]+[RL_2]}=\frac{c^2}{c^2+K_d^2}

这个函数的图像和趋势已经和上面那个有很大区别. 更一般地，有广义的 Hill 函数

pb=cncn+Kdnp_b=\frac{c^n}{c^n+K_d^n}

但是，这要求这两个位点的结合是相关的；如果两个位点和受体的结合是相互独立的，那么函数应该是

pb=(cc+Kd)2p_b=\left(\frac{c}{c+K_d}\right)^2

这两个函数完全不一样.

另外，如果加入更多中性的填充剂，我们能够计算出反应的解离常数和中性分子的体积分数 rr 有关：

Kd(ϕc)Kd0=(1−ϕc)r\frac{K_d(\phi_c)}{K_d^0}=(1-\phi_c)^r

更多填充剂意味着更好地结合效果.

但是我们实际上更关心的是反应的速率而不是平衡状态. 反应速度通过速率常数来刻画，应该有

d[P]dt=−d[S]dt=k+[S]−k−[P]\frac{\text{d}[P]}{\text{d}t}=-\frac{\text{d}[S]}{\text{d}t}=k_+[S]-k_-[P]

解得体积分数 x=[P]/([S]+[P])x=[P]/([S]+[P]) 满足

x(t)=k+k++k−[1−e−(k++k−)t]x(t)=\frac{k_+}{k_++k_-}[1-e^{-(k_++k_-)t}]

  • 稳态 x(∞)=k+/(k++k−)x(\infty)=k_+/(k_++k_-)；
  • 反应平衡常数：[S](∞)/[P](∞)=Kd[S](\infty)/[P](\infty)=K_d；
  • Boltzmann 分布：x=1/(1+e−ΔE/kBT)x=1/(1+e^{-\Delta E/k_BT}).

这三个条件全部给出稳态的状况，于是「速率」和「平衡常数」被联系在一起，有

k−k+=Kd=e−ΔE/kBT\frac{k_-}{k_+}=K_d=e^{-\Delta E/k_BT}

如果动力学 (LHS) 和热力学 (RHS) 想要有关系，就必须有上述条件成立. 当然仅凭这一个方程无法定出速率常数，所以我们还要知道特征时间. 我们定义

k−=Ae(−ΔE†−ΔE)/kBT ,k+=Ae−ΔE†/kBTk_-=Ae^{(-\Delta E^\dagger-\Delta E)/k_BT}\,,\quad k_+=Ae^{-\Delta E^\dagger/k_BT}

(这样逆反应也更难发生，是合理的) 则特征时间：

τ=1k++k−=eΔE†/kBTA(1+e−ΔE/kBT)\tau=\frac{1}{k_++k_-}=\frac{e^{\Delta E^\dagger/k_BT}}{A(1+e^{-\Delta E/k_BT})}

其中 ΔE†\Delta E^\dagger 是势垒高度，所以说势垒高度决定了反应速率，这也是酶催化的关键因素.

更加普遍地，对于反应

∑sνs[S]⟷∑pνp[P]\sum_s\nu_s[S]\longleftrightarrow\sum_p\nu_p[P]

存在反应「流」：

J+=k+∏scsνs ,J−=k−∏pcpνpJ_+=k_+\prod_sc_s^{\nu_s}\,,\quad J_-=k_-\prod_pc_p^{\nu_p}

动力学平衡是 J+=J−J_+=J_-，代入 KdK_d 的表达式，上述等式还是给出 k−/k+=Kdk_-/k_+=K_d (这是应该发生的，因为我们没有引入什么新的理论). 然后这里化学势的变化

Δμ=∑sνsμs−∑pνpμp=kBTln⁡(k+k−)+kBT(∏scsνs/∏pcpνp)=kBTln⁡J+J−\Delta\mu = \sum_s\nu_s\mu_s-\sum_p\nu_p\mu_p=k_BT\ln\left(\frac{k_+}{k_-}\right)+k_BT\left(\prod_sc_s^{\nu_s}/\prod_pc_p^{\nu_p}\right)=k_BT\ln\frac{J_+}{J_-}

这是每进行单位反应的化学势变化，那么每单位时间的反应造成的功率就是

(J+−J−)Δμ=(J+−J−)ln⁡J+J−≥0(J_+-J_-)\Delta\mu = (J_+-J_-)\ln\frac{J_+}{J_-}\textcolor{red}{\geq0}

这个功率再乘以 1/kBT1/k_BT 就是反应的熵产生率，这正是 熵增！

这里的概念是否需要在近平衡态才成立？

并不！这只是对反应做出了「没有中间态」的假设，除此之外对是否是近平衡态没有任何要求，也就是只要是基元反应 (无中间态)，就一定满足上述熵增的规律.

细致平衡 - 如果有很多个同时进行的反应，比如：

转一圈，得到

k1k2k3k−1k−2k−3=1\frac{k_1k_2k_3}{k_{-1}k_{-2}k_{-3}}=1

这是细致平衡.

注意

细致平衡条件强于单反应的平衡条件，结合稳态流的表达式，利用细致平衡条件可以证明稳态流为零，而普通的平衡不一定有这个效果.

更新日志

2025/9/30 13:01
查看所有更新日志
  • b6afd-feat(note): add biophysics note于

版权归属：physnya

许可证：署名-非商业性-相同方式共享 4.0 国际 (CC-BY-NC-SA-4.0)