外观
Lesson 7 Killing 矢量场和 Lie 导数
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2026-03-17
上节课导出了两个守恒量,我们现在来说说在广义相对论中怎样规范地构造这种时间平移对称、空间旋转对称等产生的守恒量.
考虑一个运动物体有 xμ,Pμ,另一个观测者相对于当前参考系以 U~μ 运动,则他观测到的这个运动物体的能量是 E~=PμU~μ. 考虑构建可观测量的过程中,都是以 ξμ(x)Pμ 构造的,那么要求:
dτd(mξμ(x)dτdxμ)≡0
计算 LHS,
dτd(ξμ(x)dτdxμ)=∂xν∂ξμdτdxνdτdxμ+ξμ(x)dτ2d2xμ=∂xν∂ξμdτdxνdτdxμ−Γμρσdτdxρdτdxσ=ξμ;νdτdxνdτdxμ
其中第二个等号利用了物体在不受力情况下的运动方程.
同时注意到,
ξμ;ν=∂xν∂ξμ−Γρμνξρ
因此,
dτd(ξμ(x)dτdxμ)=21(ξμ;ν+ξν;μ)UμUν=0
也就是,构造的量为守恒量的条件是 ξμ;ν+ξν;μ=0. 这种场称为 Killing 矢量场. 由于我们知道 gμν;ρ=0,所以可以做一个 trick,把这个量加到条件的左边,有
gμν;ρξρ+ξμ;ν+ξν;μ=0
这个东西可以展开算一下,gμν;ρ=gμν,ρ−Γλνρgμλ−Γλμρgλν,且 ξμ;ν=ξμ,ν−Γρμνξρ,代入发现所有的 Γ 都 cancel 掉了,也就是可以把上式的所有分号改成逗号 (协变导数改成普通导数),
gμν,ρξρ+gνρξρ,μ+gρμξρ,ν=0
特别提一下,为了把 Γ 都消掉,这里要升一下后两项的指标,因此变成现在这个样子.
上式意味着什么?相当于全时空每一个点都生成了一个很小的移动,每个点的移动由 Killing 矢量场给出. 对于标量场 ϕ(x),从 P 移动到 Q,那么 ϕP→ϕP→Q,有 ϕP→Q=ϕP. 这里可以定义 Lie derivative,为
Lξ[ϕ(x)]≡εϕQ−ϕP→Q=εϕ(x+εξ)−ϕ(x)=∂xμ∂ϕ(x)ξμ(x)=ϕ,μξμ
对于矢量场,我们也想定义 Lie 导数. 最原始的矢量定义来源于点之间的差,我们考虑定义 Vμ=dxμ=P′−P. 全空间由 Killing 矢量场平移之后,P→Q,P′→Q′,原来的矢量 Vμ→V′μ. 其中 P→Q 的移动由 ξμ(x) generate 出来的,而 P′→Q′ 的移动由 ξμ(x+dx) generate 出来,也就是
xQμ=xμ+εξμ(x),xQ′μ=xμ+dxμ+εξμ(x+dx)
新的矢量为
VP→Qμ=δxμ=QQ′=xQμ−xQ′μ=dxμ+ε∂xν∂ξμdxν=Vμ+ε∂xν∂ξμVν
Lie 导数定义为
Lξ[Vμ(x)]≡εVQμ−VP→Qμ=ε1{Vμ[x+εξ(x)]−[Vμ(x)+ε∂xν∂ξμVν]}=Vμ,νξν−ξμ,νVν
也可以方便地写出逆变分量的 Lie 导数:
Lξ(VμVμ)=Lξ(h)=hμ,νξν+hνξν,μ
对于一个张量 Tμν,
Lξ(Tμν)=Tμν,ρξρ+Tμρξρ,ν+Tρμξρ,ν
回到我们对 Killing 矢量场的定义 —— 这正是 Lξgμν=0,也就是「Killing 矢量场是使得度规的 Lie 导数为零对应的矢量场.」
提示
任何对称性都是对系统的制约,我们已经不能容忍更多的对称性了,否则将不物理. 以散射实验为例,用尽所有对称性之后我们知道散射的分布函数只和 θ 有关,如果再有新的对称性,那么分布函数和 θ 的依赖都可能会出现不连续,这是违反观测结果的.
因此不可能通过一个张量场来构造某种变换,并由这种变换得到某种对称性.
对于坐标变换,也可以用 Lie 导数来写,
V′μ(x+εξ)=∂xν∂(xμ+εξμ)Vν(x)
两边同时展开,
V′μ(x)+V′μ,νεξν=Vμ(x)+εξμ,νVν(x)⟹εV′μ(x)−Vμ(x)=Vμ,νξν−ξμ,νVν(x)
换句话来说,Lie 导数所对应的被动变换和主动的坐标变换在某种意义下等效.
回到我们开头的话题,要来寻找守恒量. 对于 Schwarzschild 度规,
dτ2=Bdt2−Adr2−r2dθ2−r2sin2θdϕ2
这里的 gμν 和 t 无关,Killing 矢量场定义为 ξ(1)ρ=δρt^ (也就是 δ 的 t 列分量) 和 ξ(2)ρ=δρϕ^ (和前面同理),分别对应时间平移对称性和空间旋转对称性.
下面利用这些守恒量来推导一下水星轨道.
dτdϕ=r2L,dτdt=1−2GM/rE
度规里面 dθ 项没有作用,直接去掉,然后 dt 不重要,所以换元消掉. 最后得到
(dτdr)2=E2−(1−r2GM)(1+r2L2)=E2−(1−r2GM+r2L2−r32GML2)
最后一项是广义相对论的修正.
如果定性地分析一下,会发现一个重要的差异是:在 Newton 力学中只有 L=0 严格成立时才会落入力心,但是在广义相对论中即使 L 不严格为零,在中心质量显著大的时候还是会落入力心.
在 Newton 力学中求轨道方程的过程是,由
dtdϕ=r2L,21(dtdr)2=E+rGM−2r2L2
消掉 t. 具体来说,令 u=1/r,
21(dϕdu)2=LE(GM)2+L2(GM)2u−21u2
同时对 ϕ 再求一次导,两边可以消去一个一阶导数,得到
dϕ2d2u+u=(LGM)2
现在在广义相对论的情况下,我们会多一项修正,
dϕ2d2u+u=(LGM)2+c23GMu2
话说我们一直都在用 m=1 来着...
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2026/3/17 07:10
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