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Lesson 5 Einstein 场方程
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2026-03-10
Einstein 场方程
现在我们需要构建场方程. 根据 Newton 的引力定律,场应该是下面的形式:
∇2ϕ=−4πGρ
RHS 是 T00,为了变成协变的形式,我们需要用 Tμν,因此 LHS 也需要协变,也就是需要一个度规的二阶导数这样的张量. 而联络等效于度规的一阶导数级别,因此考虑构造联络的一阶导数. 上节课说到,联络的一阶导数项中会得到下面形式的项:
∂xκ∂Γ′λμν∼⋯+∂x∂x∂x∂3x′
像在作业里面提到的一样,我们考虑引入下面的量:
Rλμνκ=∂xκ∂Γλμν−∂xν∂Γλμκ+ΓημνΓληκ−ΓημκΓλην
如果广义相对论是对的,那么应该在局域惯性系 / 没有引力的情况下,都回到狭义相对论的结果. 原先的狭义相对论动力学方程是
DτDUλ=0
现在我们可以加上一项作为广义相对论效应的体现,并加入一些平衡指标的量,得到
DτDUλ+fRλμνκUμUνSκ=0
其中 f 是一个系数,Sκ 是某种自旋 —— 会想到用自旋是因为我们考查粒子的运动,然后需要三个矢量来平衡指标,粒子的有关矢量除了速度之外就剩下自旋.
真的有后面一项吗?按照有效理论的观点,在我们研究的能标下引力一直是弱场,大致做一下量纲分析,
[R]∼L2,[f]∼L1⟹f∼mplanck1
这是一个非常小的量,因此我们生活中很难看到这种项.
把 Riemann 曲率张量的指标降下来,并利用 Christoffel 符号的定义,可以得到 Rλμνκ 的一些性质,
- 首先是两组指标对称:Rλμνκ=Rνκλμ
- 然后前后每对指标反对称:Rλμνκ=−Rλμκν=−Rμλνκ=Rμλκν
- 旋转对称:Rλμνκ+Rλνκμ+Rλκμν=0
根据这几个条件可以看看它有几个自由度,根据第二条就知道是一个反对称矩阵,第一条又限制为一个 6×6 方阵,剩下 21 个自由度;第三个条件给出全反对称张量的一个关系:
ελμνκRλμνκ=0
其中全反对称张量 ε 定义为顺序指标为 1、逆序指标为 −1、重复指标为 0.
在 local inertial (局域惯性系) 里,我们求导数,
Tμ;ν;λ−Tμ;λ;ν=Γννρ,λTρ−Γρλρ,νTρ=(Γμνρ,λ−Γμλρ,ν)Tρ
这是局域惯性系,在别的参考系中只要用 Riemann 张量乘上去即可.
但是场方程中并不直接用 Riemann 张量,因为阶数不对,我们构造 Ricci 张量和曲率标量:
Rμν=gλνRλμνκ,R=gμκRμκ
其中 Ricci 张量有 10 个自由度,是一个对称张量;R 仅有一个自由度.
Bianchi Identity:
Rλμνκ;η+Rλμην;κ+Rλμκη;ν=0
两边对 λ,ν 收缩,也就是乘上 gλν,得到
Rμκ;η−Rμη;κ+Rνμκη;ν=0
再缩并 gμκ,得到
R;η−Rκη;κ−Rνη;ν=0⟹21R;η−Rνη;ν=0
为了 combine 成一项,在第一项上面做一个 δνη,得到最终我们需要的工具
(21Rδνη−Rνη);ν=0
因为一阶近似下,g00=−(1+2ϕ),我们要做到 ∇2g00=−8πGT00,于是左边的量需要是一个二阶张量,之前我们说了 gμν 二阶导数能够构造的张量只有 Riemann 张量,Riemann 张量给出的二阶张量也只有 Rμν 和 Rgμν 两种,考虑 LHS 是这俩的组合,为
LHS=Gμν=C1Rμν+C2gμνR
另外还有一个条件,因为能动张量流守恒,所以 Gμν;μ=0,这恰好对应上了我们前面获得的公式,
Gμν=C1(Rμν−21gμνR)=−8πGTμν
最后还差一个系数 8πG,这一点可以在弱场下近似得到,依然是去 local inertial,
Rλμνκ=21[∂xμ∂xκ∂2gλν−∂xμ∂xν∂2gλκ−∂xλ∂xκ∂2gμν+∂xλ∂xν∂2gμκ]
然后缩并两次,过程略,得到 G00=2C1∇2g00,至此得到 C1=1,我们获得了 Einstein 方程:
/Theorem/ (Einstein 场方程)
EinsteinEquation :
Rμν−21gμνR=−8πGTμν
另一个形式是 (很多时候我们知道物质分布,来求度规) 首先两边 trace 一次,得到
R−2R=−8πGT
代入回去得到
Rμν=−8πG(Tμν−21gμνT)
提示
一些解读:我们来看不同维度空间里的 Riemann 张量和 Ricci 张量的自由度,发现只有在 4 维空间中才开始有 Riemann 张量的自由度高于 Ricci 张量 —— 前者代表引力,后者则是依赖于能动张量的. 这说明只有在 4 维的世界里,引力才能够脱离物质存在,其他维度的引力都是附着在物质本身上的.
解 Einstien 场方程
我们知道它是非线性的 —— 正因如此它非常难解,也因此有人以这个方程的求解为生 (Yau?),而不会有人以求解 Maxwell 方程为生.
直接来看似乎有 10 个独立方程,但是因为流守恒,实际上只有 6 个. 而且这些条件还不足以求解出度规本身,因为和 Maxwell 方程一样,还需要一些 gauge condition. 这里我们用所谓的 harmonic coordinate condition,要求
Γλ≡gμνΓλμν=0
提示
为什么用这个?之前我们接触过 d'Alembert operator,它是对时空求二阶导数,如果我们定义一个协变的版本
gμνϕ;ν;μ=□ϕ
然后做坐标变换:
□ϕ=(gλκϕ;λ);κ=gλκ∂xλ∂xκ∂2ϕ−Γλ∂xλ∂ϕ
如果 ϕ 本身是坐标,ϕ=xμ,那么 harmonic coordinate condition 给出 □xμ=0.
下一步需要求解 Einstein 方程的初值问题,先来研究它的每个分量方程是否 dynamical,也就是找方程中有没有 gμν 关于时间的二阶导数,是动力学还是运动学的. count 下面的等式中的时间导数:
∂t∂Gμ0=−∂xi∂Gμi−ΓμνλGλν−ΓννλGμλ=0
这里没有提供真正的动力学内容,仅提供运动学约束.
更新日志
2026/3/10 07:13
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