外观
Lesson 2 度规和联络
约 2584 字大约 9 分钟
2026-02-28
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现在我们有 dxμ (vector) 和 dτ (scalar). 可以定义四维速度
Uμ=dτdxμ
同时还有 m (scalar). 之前我们已经说过四维动量了,到这里为止我们可以开始推广 Newton 第二定律. 但是什么是四维力 fμ 呢?这里就需要搞明白力的来源.
我们从来没有见过把压力浮力这些东西写成相对论协变形式的,这涉及到一个「有效理论」的问题. 考查压力浮力的能标,大约是 100 eV 的程度,而相对论显著的能标应该和电子的静能可以比拟,比如 0.5 MeV 的级别. 因此考虑用电磁场来产生这个四维力. 为此,引入一个反对称张量
Fμν=∂μAν−∂νAμ,F=0−Ex−Ey−EzEx0−BzByEyBz0−BxEz−ByBx0
来描述电磁场. 力是一个矢量,我们上节课已经学过如何用一个张量构造一个矢量,也就是要找一个矢量和这个张量缩并,有
dτdPμ=fμ=QFμνUν
现在来检查这个式子能否回到 Newton 理论. 对于 μ=0,LHS (dm/dτ) 的 leading order 是 0 (dτ≈dt),和 RHS 相符合;第二阶是 F0iUi=E⋅v,就是功率. 其他分量也是类似的.
下一步我们尝试定义电流,考虑一堆粒子,第 n 个粒子带电 Qn. 那么电荷密度就是
ρ(x,t)=n∑Qnδ3(x−xn(t))
对全空间积分就是总电荷 (验证了我们的定义没问题),且 ∑nQn 是一个标量. 为了构造一个 4-电流密度 Jμ,首先其 0 分量应该就是电荷密度;i 分量按照三维电流密度的定义,
Ji(x,t)=n∑Qn⋅dτdxn(t)δ3(x−xn(t))
由电荷守恒,流应该满足 ∂μJμ=0. 因为 ∂μ 是一个协变矢量、右边是个标量,因此 Jμ 是一个四维矢量.
这里说一下「∂μ 是协变矢量」的证明.
考虑把它作用在一个 scalar 函数 f 上,f′(x′)=f(x),有
∂μ′f=∂x′μ∂f′(x′)=∂xν∂f′(x′)∂x′μ∂xν=∂xν∂f(x)∂x′μ∂xν=Λμν∂νf
它的变换规则是乘一个 Λμν,所以这个算符是一个协变矢量.
定义了电流之后,我们可以接下去同理定义 4-动量和 4-动量流,
Tαβ⎩⎨⎧Tα0(x,t)=n∑Pnα(t)δ3(x−xn(t))Tαi(x,t)=n∑Pnα(t)dtdxiδ3(x−xn(t))
这和起来是能动张量.
Einstein 到此为止遇到了新的两个大问题:我们怎么找惯性参考系?引力的 Newton 公式怎么变成协变的形式?
但是他突然意识到等效原理 —— 引力的荷竟然和惯性质量是一样的. 在物理学的历史上,很少有物理量可以做两件事情,既是 Newton 定律的惯性表征、又是引力定律的参数,这是非常特殊的.
为了弄清这里的细节,先不考虑任何力,在某个参考系中,
dτ2d2ξμ=0
现在试图计算一个新的系 xμ(ξ) 中,加速度是什么.
dτ2d2xμ(ξ)=dτd(dτdxμ)=dτd(∂ξα∂xμdτdξα)=dτd(∂ξα∂xμ)dτdξα+0∂ξα∂xμdτ2d2ξα=∂ξβ∂ξα∂2xμdτdξβdτdξα=Γμρσ∂ξβ∂ξα∂2xμ∂xρ∂ξα∂xσ∂ξβdτdxρdτdxσ
Newton 第二定律就可以写成
mdτ2d2xμ=mΓμρσdτdxρdτdxσ
我们写成这样的目的是,当我们的公式中仅仅只有这个参考系的量时,那么公式本身和参考系的选取就已经无关了. 这是某种所谓的规范对称性.
RHS 现在是某种 inertial force (也就是惯性力). 现在,右边的 m 是力的 charge 而不是惯性质量了,因为它是换参考系之后产生力的原因,而左边 m 仍然是惯性质量. 如果把引力写成右侧这种形式,引力荷的问题似乎就可以迎刃而解.
另一个重要的问题是如何去寻找惯性系. Newton 并没有非常仔细地思考这一问题;Mache 认为惯性系应该由远处的大质量天体共同定义. Einstein 认为 Mache 启发了他,他提出自由下落的电梯中的体验和所谓的惯性系几乎一致,也就是用局域的引力场定义了什么是「惯性」.
提示
这里可以看出,实际上 Einstein 的思路和 Mache 的几乎完全相反,前者用局域的引力场和自由落体定义惯性,而后者是用无穷远处的天体定义惯性系. 但是 Einstein 自己认为他受到了启发 ...
Einstein 电梯需要 clarify 的一点是,我们仅仅只能在 局域上 用惯性力 cancel 这个引力.
在细说等效原理之前,我们还是花时间来说一下任意参考系的度规. 之前在惯性系我们的理论一直建立在 ημν 这个度规上,对于任意参考系,我们有
dτ2=−ηαβdξαdξβ=−gμν[ηαβ∂xμ∂ξα∂xν∂ξβ]dxμdxν
这就定义出了任意参考系的度规 gμν.
观察一下发现,似乎给 gμν 求个导能得到和 Γμρσ 有关系的某种式子. 现在来试着计算:考虑一个全局的参考系,
∂xλ∂gμν=ηαβ(∂xλ∂xμ∂2ξα∂xν∂ξβ+∂xμ∂ξα∂xλ∂xν∂2ξβ)(1)
为接下去计算,下式对 xλ 求导:
∂xμ∂ξα⋅∂ξβ∂xμ=δαβ
得到
∂xλ∂xμ∂2ξα∂ξβ∂xμ+∂xμ∂ξα∂xλ∂(∂ξβ∂xμ)=0
这里要注意,第二项括号里的 ∂ξβ∂xμ 是 ξ 的函数,所以对 xλ 求导时需要用链式法则展开:∂xλ∂=∂xλ∂ξγ∂ξγ∂. 于是得到:
∂xλ∂xμ∂2ξα∂ξβ∂xμ+∂xμ∂ξα(∂ξγ∂ξβ∂2xμ∂xλ∂ξγ)=0
为了解出 ∂xλ∂xμ∂2ξα,我们在等式两边同时乘以 ∂xσ∂ξβ,利用 ∂ξβ∂xμ∂xσ∂ξβ=δμσ 进行缩并:
∂xλ∂xμ∂2ξαδμσ=−∂xμ∂ξα∂ξγ∂ξβ∂2xμ∂xλ∂ξγ∂xσ∂ξβ
整理一下指标 (把左边的 σ 换回 μ,右边的求和指标 μ 换成 ρ 以免混淆),得到二阶导数的关系式:
∂xλ∂xμ∂2ξα=−∂xρ∂ξα(∂ξγ∂ξβ∂2xρ∂xλ∂ξγ∂xμ∂ξβ)
观察括号里的部分,这正是联络 Γρλμ 的定义. 所以有:
∂xλ∂xμ∂2ξα=−Γρλμ∂xρ∂ξα
现在把这个结果代回最初对度规 gμν 求导的式子 (1) 得到
∂xλ∂gμν=ηαβ(−Γρλμ∂xρ∂ξα∂xν∂ξβ−Γρλν∂xρ∂ξβ∂xμ∂ξα)
注意到 ηαβ∂xρ∂ξα∂xν∂ξβ=gρν 以及 ηαβ∂xμ∂ξα∂xρ∂ξβ=gμρ,代入后得到:
∂λgμν=−Γρλμgρν−Γρλνgμρ=−(Γνλμ+Γμλν)
这就是度规求导与联络的基本关系. 为了彻底解出 Γ,利用指标循环置换:
∂λgμν=−Γνλμ−Γμλν
∂μgνλ=−Γλμν−Γνμλ
∂νgλμ=−Γμνλ−Γλνμ
计算 (1)−(2)−(3),并利用对称性 Γλμν=Γλνμ,可以发现等式右边大部分项抵消了,只剩下:
∂λgμν−∂μgνλ−∂νgλμ=2Γλμν
最后,两边乘以 21gσλ 来抬升指标,就得到了最终的联络表达式:
Γσμν=21gσλ(∂μgνλ+∂νgλμ−∂λgμν)
注意
实际上老师在课堂上推导的时候犯了一个正负号错误.
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2026/2/28 14:50
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