微分几何入门与广义相对论 习题1

准备自己做一遍，然后看从网上找来的答案.

1.试证$A-B=A\cap(X-B)$，$\forall A,B\subset X$.

/proof/

$$\begin{aligned} A-B&=\{x|x\in A,x\notin B\}=\{x|x\in A\}\cap\{x|x\notin B\}\\\\ &=A\cap(X-B)\\\\ \end{aligned}$$

至此得证.

2.试证$X-(B-A)=(X-B)\cup A$，$\forall A,B\subset X$.

/proof/

$$\begin{aligned} X-(B-A)&=\{x|x\notin(B-A)\}\\\\ &=\{x|x\notin\{x|x\in B,x\not\in A\}\}\\\\ &=\{x|x\in(X-B)或x\in A\}\\\\ &=(X-B)\cup A\\\\ \end{aligned}$$

至此得证.

3.用“对”或“错”在下表填空：

$f:\R\to\R$	是一一的	是到上的
$f(x)=x^3$
$f(x)=x^2$
$f(x)=e^x$
$f(x)=\cos x$
$f(x)=5,\forall x\in\R$

/solution/

$f:\R\to\R$	是一一的	是到上的
$f(x)=x^3$	对	对
$f(x)=x^2$	错	错
$f(x)=e^x$	对	错
$f(x)=\cos x$	错	错
$f(x)=5,\forall x\in\R$	错	错

感想：“一一”就是自变量和因变量一一对应，不会一对二；“到上”就是因变量的所有取值都对应至少一个自变量.

4.判断下列说法的是非并简述理由：

(a) 正切函数是由$\R$到$\R$的映射；
(b) 对数函数是由$\R$到$\R$的映射；
© $(a,b]\subset\R$用$\mathscr{T}_u$衡量是开集；
(d) $[a,b]\subset\R$用$\mathscr{T}_u$衡量是闭集.

/solution/

(a) 错. 因为$x=\pi/2+k\pi(k\in\Z)$时，$\tan$函数没有取值.
(b) 错. 因为$\ln$函数的定义域是$(0,+\infty)$.
© 错. 因为$(a,b]$不能表示为有限个开区间之并.
(d) 对. 因为$[a,b]$的补集是$(-\infty,a)\cap(b,+\infty)$，为有限个开区间之并.

5.举一反例证明命题“$(\R,\mathscr{T}_u)$的无限个开子集之交为开”不真.

/proof/

考虑开子集（开区间）$(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})$，当$n$遍历$\N^+$时，构成无限个开子集. 这些开子集之并为

$$\begin{aligned} \bigcap_{n=0}^{\infty}(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})=\{0\}\\\\ \end{aligned}$$

$\{0\}$的补集$(-\infty,0)\cap(-,+\infty)$为有限个开子集之并，所以是开子集，这说明$\{0\}$是闭集，这就构成一个命题“$(\R,\mathscr{T}_u)$的无限个开子集之交为开”的反例，于是证明了这个命题不真.

6.试证$\text{\S}1.2$例5中定义的诱导拓扑满足定义1的3个条件.

先回顾一下例5和定义1：

例5中的定义是，对于拓扑空间$(X,\mathscr{T})$的子集$A$，其诱导拓扑$\mathscr{S}$为

$$\begin{aligned} \mathscr{S}=\{V\subset A|\exist O\in\mathscr{T},V=A\cap O\}\\\\ \end{aligned}$$

而定义1指的是拓扑必须满足的三个条件：

(a) $X,\varnothing\in\mathscr{T}$；
(b) 若$O_i\in\mathscr{T},i=1,2,\cdots,n$，则$\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}}O_i\in\mathscr{T}$.
© 若$O_\alpha\in\mathscr{T},\forall\alpha$，则$\underset{\alpha}{\bigcup}O_\alpha\in\mathscr{T}$. 注意这里$O_\alpha$的个数没有限制.

/proof/

(a) $A$满足条件，只需要找一个原拓扑中的开子集$O\supset A$；而空集则一定满足条件，这是显然的.

(b) 设$V_i=A\cap O_i$，$O_i\in \mathscr{T}$，则

$$\begin{aligned} \underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}}V_i=\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}}(A\cap O_i)=A\cap(\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}}O_i)\\\\ \end{aligned}$$

而$\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}}O_i\in\mathscr{T}$，所以$\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}}V_i\in\mathscr{S}$. 证毕.

© 设$V_\alpha=A\cap O_\alpha$，$O_\alpha\in\mathscr{T}$，则

$$\begin{aligned} \bigcup_\alpha V_\alpha=\bigcup_\alpha(A\cap O_\alpha)=A\cap(\bigcup_\alpha O_\alpha)\\\\ \end{aligned}$$

与上面(b)的证明类似，证毕.

7.举例说明$(\R^3,\mathscr{T}_u)$中存在不开不闭的子集.

/solution/

考虑某个开球，挖去球心，如$(0,1)^3$，其补集为$\{0\}\cap[1,+\infty)$，并不是开集，所以这个集不是闭集；而这个开球已经被挖去球心，所以也不是开球，也就不是$\mathscr{T}_u$下的开集.
综上所述，这个集就是题中要求的不开不闭的子集.

8.常值映射$f:(X,\mathscr{T})\to(Y,\mathscr{S})$是否连续？为什么？

/solution/

分析一下，假设$B\subset Y$且$B\in\mathscr{S}$，则$f^{-1}[B]$必须满足$f^{-1}[B]\subset X$且$f^{-1}[B]\in\mathscr{T}$.

这时可以分类讨论，若常值$b\in B$，则$f^{-1}[B]=X\in\mathscr{T}$；若常值$b\notin B$，则$f^{-1}[B]=\varnothing\in\mathscr{T}$，这证明映射是连续的.

9.设$\mathscr{T}$为集$X$上的离散拓扑，$\mathscr{S}$为集$Y$上的凝聚拓扑，
(a) 找出从$(X,\mathscr{T})$到$(Y,\mathscr{S})$的全部连续映射；
(b) 找出从$(Y,\mathscr{S})$到$(X,\mathscr{T})$的全部连续映射.

/solution/

(a) 这时，$Y$中的开集只有$\varnothing$和$Y$本身，要求逆像对应$X$中的任何一个子集即可. 任何一个映射都能满足条件.

(b) 常值映射可以满足条件.

证明其他映射不满足条件：假设存在$x,y\in g[Y]$，$x\neq y$，则取$O=\{x\}$，有$g^{-1}[O]=g^{-1}[\{x\}]\notin\mathscr{S}$，于是只能为常值映射.

10.试证明定义3a与3b的等价性.

定义3a：设$(X,\mathscr{T})$和$(Y,\mathscr{S})$为拓扑空间. 映射$f:X\to Y$称为连续的(continuous)，若$f^{-1}[O]\in\mathscr{T}$，$\forall O\in\mathscr{S}$.

定义3b：设$(X,\mathscr{T})$和$(Y,\mathscr{S})$为拓扑空间. 映射$f:X\to Y$称为在点$x\in X$处连续的，若$\forall$满足$f(x)\in G'$的$G'\in\mathscr{S}$，$\exist G\in\mathscr{T}$使$x\in G$且$f[G]\subset G'$. $f:X\to Y$称为连续的，若它在所有点$x\in X$上连续.

/proof/

若映射满足定义3a：取$(Y,\mathscr{S})$开子集$O'$中的元素$f(x)$，有$f^{-1}[O']=O\in\mathscr{T}$，元素$x$一定属于$O\subseteq O$，而且对于任一元素$x$均有上述事实成立，所以定义3b被满足；

若映射满足定义3b：对于任一一点$x\in X$，存在一个$x\in G$，$f[G]\subset G'$，遍历所有的$x\in G$，则$f(x)\in G'$被遍历一遍，有$f[G]=G'$. 所以定义3a被满足.

综上所述，证毕.

11.试证任意开区间$(a,b)\subset\R$与$\R$同胚.

/proof/

构造一个满足条件的映射即可，可以是：

$$\begin{aligned} \tan(\frac{\pi}{b-a}x-\frac{b+a}{b-a}\frac{\pi}{2})\\\\ \end{aligned}$$

当$x$遍历$(a,b)$时，$\tan$函数的宗量遍历$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，整个函数的值遍历$\R$. 这个函数是一个初等函数，在$\varepsilon\text{-}\delta$定义下是连续的. 这就证明了任意开区间$(a,b)\subset\R$与$\R$同胚.

12.设$X_1$和$X_2$是$\R$的子集，$X_1=(1,2)\cup(2,3)$，$X_2=(1,2)\cup[2,3)$. 以$\mathscr{T}_1$和$\mathscr{T}_2$分别代表由$\R$的通常拓扑$\mathscr{T}_u$在$X_1$和$X_2$上的诱导拓扑. 拓扑空间$(X_1,\mathscr{T}_1)$和$(X_2,\mathscr{T}_2)$是否连通？

/solution/

拓扑空间$(X_1,\mathscr{T}_1)$不连通. 由诱导拓扑定义，$(1,2)\in\mathscr{T}_1$，所以区间$(1,2)$是一个开集，而其补集$(2,3)\in\mathscr{T}_1$，所以它又是一个闭集，这说明拓扑空间$(X_1,\mathscr{T}_1)$有除$X_1$和$\varnothing$之外的既开又闭的子集，不连通.

拓扑空间$(X_2,\mathscr{T}_2)$连通. 这个网上的证明我没有看懂…但是我自己是因为没有找到反例才得出的结论.

13.任意集合$X$配以离散拓扑$\mathscr{T}$所得的拓扑空间是否连通？

/solution/

显然不连通. $\forall O\in\mathscr{T}$都有$X-O\in\mathscr{T}$.

14.设$A\subset B$，试证：

(a) $\bar{A}\subset\bar{B}$；（提示：$A\subset B$表明$\bar{B}$是含$A$的闭集.）
(b) $i(A)\subset i(B)$.

/proof/

(a) $A\subset B\subset\bar{B}\Longrightarrow\bar{A}\subset\bar{B}$.

(b) $i(A)\subset A\subset B\Longrightarrow i(A)\subset i(B)$.

都是用定义证明的.

15.试证“$x\in\bar{A}$”$\Longleftrightarrow$“$x$的任一邻域与$A$之交集非空”. （对$\Rightarrow$证明的提示：设$O\in\mathscr{T}$且$O\cap A=\varnothing$，先证$A\subset X-O$，再证（利用闭包的定义）$\bar{A}\subset X-O$.）

/proof/

先证$\Rightarrow$：假设存在$O$是$x$的开邻域，且$O\cap A=\varnothing$，那么一定有$A\subset X-O$，又因为$O\in\mathscr{T}$，所以$X-O$是闭集，所以$\bar{A}\subset X-O$，即有$x\in X-O$与$O$是$x$的开邻域矛盾，所以假设不成立，$\Rightarrow$证毕.

再证$\Leftarrow$：假设$x\notin\bar{A}$，那么$x\in X-\bar{A}$，显然这是一个开集. 所以一定存在一个$x$的开邻域$O\cap A=\varnothing$，与题设矛盾，所以假设不成立，$\Leftarrow$证毕.

16.试证$\R$不是紧致的.

/proof/

找到反例即可. 可以设定一个开覆盖$\{(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})\}$，其中$n\in\N^+$. 这个开覆盖没有有限子覆盖，证毕.