Lesson 9
从这一次开始,决定不以教材为主体,而是以课程为主体来记笔记.
这一次课的主题是“答疑切矢,对偶空间、轨道与同构”,因为有一部分已经记录在我很久之前写的、已经成为残篇的《微分几何入门与广义相对论笔记 Chapter2》里面了,所以这里的笔记从课程中间开始.
Dual(“对偶”) Vector Fields
考虑有一个矢量空间V,存在一个线性映射ω:V→R,这个ω叫做V上的对偶矢量. V上所有对偶矢量的集合,叫做V的对偶空间,记作V∗
我们把一个东西称作space的时候,一般就是说这个set有了结构. 这个结构有:
/Claim/ V∗是矢量空间,且dimV∗=dimV.
/Proof/ 可以对V∗定义加法、数乘和零元:
(ω1+ω2)(v)=ω1(v)+ω2(v),∀ω1,ω2∈V∗,v∈V;(αω)(v)=α⋅ω(v),∀ω∈V∗,v∈V,α∈R;0(v)=0∈R,∀v∈V.
这样看来V∗确实是矢量空间.
问题在于dimension. 学一个以后非常有用的东西:想证维数一样,就是证基底的个数相同. 要注意的是,这里的基底不是坐标基底,我们还在纯代数的范畴,坐标基底要在manifold上指定坐标域才存在.
设{eμ}是V的一组基矢,用下面的式子定义V∗的n=dimV个特别元素{eμ∗}:
eμ∗(eν)=δνμ,μ,ν=1,⋯,n
这看起来只定义了eμ∗对V中基矢的作用,但是eμ∗的作用是线性的,所以实际上已经定义了对V中任一元素的作用. 现在只需证明{eμ∗}是基矢即可. 令
∀ω∈V∗,ωμ=ω(eμ),μ=1,⋯,n
(注意这里μ为下指标,以后所有矢量分量记作上指标,矢量作用对象记作下指标,这样的分法特别有用.)
对偶矢量等式实际上是映射的等式,所以代入任意一个v就易证:
ω=ωμeμ∗
所以{eμ∗}是基底,叫做对偶基底. 这就证明了维数相等.
回顾“同胚”和“微分同胚”的概念,我们说两个矢量空间是同构的,若其间存在一一到上的线性映射(同构映射).
由于V和V∗维数相同,是同构的,找同构映射不难找到. 如,{eμ}是V的基底,{eμ∗}是其对偶基底,那么它们之间定义的线性映射就是一个同构映射. 这里就会有很多同构映射,它们都是不特殊的,除非另外再加上一些结构.
接下来想想,V∗是一个矢量空间,则一定有一个对应的对偶空间V∗∗,在这时V与V∗∗之间就有一个“自然的、与众不同的”同构映射.
接下来梁老卖了个关子,等下一节课再讲“与众不同”的事.