微分几何入门与广义相对论 Lesson9

本文最后更新于 2024年8月17日 晚上

Lesson 9

从这一次开始,决定不以教材为主体,而是以课程为主体来记笔记.

这一次课的主题是“答疑切矢,对偶空间、轨道与同构”,因为有一部分已经记录在我很久之前写的、已经成为残篇的《微分几何入门与广义相对论笔记 Chapter2》里面了,所以这里的笔记从课程中间开始.

Dual(“对偶”) Vector Fields

考虑有一个矢量空间VV,存在一个线性映射ω:VR\omega:V\to\R,这个ω\omega叫做VV上的对偶矢量. VV上所有对偶矢量的集合,叫做VV的对偶空间,记作VV^*

我们把一个东西称作space的时候,一般就是说这个set有了结构. 这个结构有:

/Claim/ VV^*是矢量空间,且dimV=dimV\dim V^*=\dim V.

/Proof/ 可以对VV^*定义加法、数乘和零元:

(ω1+ω2)(v)=ω1(v)+ω2(v),ω1,ω2V,vV;(αω)(v)=αω(v),ωV,vV,αR;0(v)=0R,vV.\begin{aligned} &(\omega_1+\omega_2)(v)=\omega_1(v)+\omega_2(v)\,,\quad\forall\omega_1,\omega_2\in V^*\,,\quad v\in V;&\\\\ &(\alpha\omega)(v)=\alpha\cdot\omega(v)\,,\quad\forall\omega\in V^*\,,\quad v\in V\,,\quad\alpha\in\R;&\\\\ &\underline{0}(v)=0\in\R\,,\quad\forall v\in V.&\\\\ \end{aligned}

这样看来VV^*确实是矢量空间.

问题在于dimension. 学一个以后非常有用的东西:想证维数一样,就是证基底的个数相同. 要注意的是,这里的基底不是坐标基底,我们还在纯代数的范畴,坐标基底要在manifold上指定坐标域才存在.

{eμ}\{e_\mu\}VV的一组基矢,用下面的式子定义VV^*n=dimVn=\dim V个特别元素{eμ}\{e^{\mu*}\}

eμ(eν)=δνμ,μ,ν=1,,n\begin{aligned} e^{\mu*}(e_\nu)=\delta^{\mu}_{\,\nu}\,,\quad\mu,\nu=1,\cdots,n\\\\ \end{aligned}

这看起来只定义了eμe^{\mu*}VV中基矢的作用,但是eμe^{\mu*}的作用是线性的,所以实际上已经定义了对VV中任一元素的作用. 现在只需证明{eμ}\{e^{\mu*}\}是基矢即可. 令

ωV,ωμ=ω(eμ),μ=1,,n\begin{aligned} \forall\omega\in V^*\,,\quad\omega_\mu=\omega(e_\mu)\,,\quad\mu=1,\cdots,n\\\\ \end{aligned}

(注意这里μ\mu为下指标,以后所有矢量分量记作上指标,矢量作用对象记作下指标,这样的分法特别有用.)

对偶矢量等式实际上是映射的等式,所以代入任意一个vv就易证:

ω=ωμeμ\begin{aligned} \omega=\omega_\mu e^{\mu*}\\\\ \end{aligned}

所以{eμ}\{e^{\mu*}\}是基底,叫做对偶基底. 这就证明了维数相等.

回顾“同胚”和“微分同胚”的概念,我们说两个矢量空间是同构的,若其间存在一一到上的线性映射(同构映射).

由于VVVV^*维数相同,是同构的,找同构映射不难找到. 如,{eμ}\{e_\mu\}VV的基底,{eμ}\{e^{\mu*}\}是其对偶基底,那么它们之间定义的线性映射就是一个同构映射. 这里就会有很多同构映射,它们都是不特殊的,除非另外再加上一些结构.

接下来想想,VV^*是一个矢量空间,则一定有一个对应的对偶空间VV^{**},在这时VVVV^{**}之间就有一个“自然的、与众不同的”同构映射.

接下来梁老卖了个关子,等下一节课再讲“与众不同”的事.


微分几何入门与广义相对论 Lesson9
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作者
菲兹克斯喵
发布于
2024年8月17日
更新于
2024年8月17日
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