微分几何入门与广义相对论 Lesson10

本文最后更新于 2024年9月1日 晚上

Lesson 10

现在我们要证明有一个特殊的映射:f:VVf:V\to V^{**}.

VV^{**}中找一个矢量vv^{**},因为VV^{**}VV^*的对偶空间,所以为了定义这个矢量,我们先要找VV^*中的一个点ω\omega. 那么v(ω)v^{**}(\omega)是一个实数,为了让这个映射变得“特别”,最自然的想法就是令

v(ω)=ω(v)\begin{aligned} v^{**}(\omega)=\omega(v)\\\\ \end{aligned}

(这是因为VV^*也是VV的对偶空间,所以ω(v)\omega(v)也是实数).

现在来看这样一个问题:

(中间插播语言知识,e~\tilde{e}读作e-tilde,其中tilde在字典里面查到的读音是[tild][\text{tild}],但是梁老说美国人读的一般是[tild['\text{tild}ə]]. 可惜我不会打音标. 当然,这玩意中文叫做e-弯.)

VV中存在基矢eμe_\muVV^*中对应一个对偶基矢eμe^{\mu*}. 但是如果一开始选另一个基矢eμe_\mu',则对应eμe'^{\mu*},这说明一个基底变换对应一个对偶的基底变换.

这就引出了今天的claim2,探究对偶基底变换的问题.

Claim 2

eμ=Aμνeνeμ=(A1)~νμeν\begin{aligned} e'_\mu&=A^\nu_{\,\,\mu} e_\nu\\\\ \Longrightarrow\quad e'^{\mu*}&=\widetilde{(A^{-1})}_\nu^{\,\,\mu} e^{\nu*}\\\\ \end{aligned}

其中AμνA^\nu_\mu是个矩阵,A~\tilde{A}为转置,A1A^{-1}为逆.

/proof/

让矢量作用于作用对象,才能证明矢量等式. 注意区分矩阵上下标的“前后”关系.

RHS=(A1)~νμeν(Aαβeβ)=(A1)~νμAαβeν(eβ)=(A1)~νμAαβδβν=Aαβ(A1)~βμ=(A)~αβ(A1)~βμ=(A~A1~)αμ=δαμLHS=eμ(eα)=δαμLHS=RHS\begin{aligned} \text{RHS}&=\widetilde{(A^{-1})}_{\nu}^{\,\,\mu} e^{\nu*}(A^\beta_{\,\,\alpha} e_\beta)=\widetilde{(A^{-1})}_{\nu}^{\,\,\mu} A^\beta_{\,\,\alpha} e^{\nu*}(e_\beta)\\\\ &=\widetilde{(A^{-1})}_{\nu}^{\,\,\mu} A^\beta_{\,\,\alpha} \delta_\beta^{\nu}=A^\beta_{\,\,\alpha}\widetilde{(A^{-1})}_{\beta}^{\,\,\mu}\\\\ &=\widetilde{(A)}_\alpha^{\,\,\beta}\widetilde{(A^{-1})}_{\beta}^{\,\,\mu}\\\\ &=(\widetilde{A}\,\,\widetilde{A^{-1}})^{\,\,\mu}_\alpha=\delta_\alpha^{\,\,\mu}\\\\ \text{LHS}&=e'^{\mu*}(e'_\alpha)=\delta^{\,\,\mu}_{\alpha}\\\\ \text{LHS}&=\text{RHS}\\\\ \end{aligned}

证毕.

So much for algebra.

回到manifold来,考虑MM上的一个点pp,存在切空间VpV_p,对应对偶空间VpV^*_p,这样pp遍历MM就可以产生MM上的一个矢量场,以及一个对偶矢量场.

接下来说一个例子,有关MM上的对偶矢量场. 考虑一个映射f:MRf:M\to\R,那么MM上存在一个对偶矢量场df\text{d}f.

为了说明df\text{d}f为什么是一个对偶矢量场,取一个mm中的点pp,给出dfp\text{d}f|_p的定义. 这个df\text{d}f作用的对象,是VpV_p中的一个元素vv. 我们给出定义,跟上面非常类似:

dfp(v)=v(f),vVp\begin{aligned} \text{d}f|_p(v)=v(f)\,,\quad\forall v\in V_p\\\\ \end{aligned}

考虑MM的坐标域OO中存在坐标{xμ}\{x^\mu\},把每一个xμx^\mu取作ff,那么有一组对偶矢量场dxμ\text{d}x^\mu,让它作用在pp点的矢量上,则有

dxμ(xν)=xμxν=δνμ\begin{aligned} \text{d}x^\mu(\frac{\partial}{\partial x^\nu})=\frac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu}=\delta^\mu_{\,\,\nu}\\\\ \end{aligned}

这就产生了一个“对偶坐标基”,它是与坐标基矢对偶的.

Claim 3

df=fxμdxμ\begin{aligned} \text{d}f=\frac{\partial f}{\partial x^\mu}\text{d}x^\mu\\\\ \end{aligned}

左边的ff是“绝对的”标量场,而右边的ff是取定坐标之后的某一个多元函数.

在学完对偶矢量场之后,我们可以重新用对偶矢量来看上面的这个等式. (选读)

(后面在扯养生之道,可叹十九年过去,物是人非…讲到我们要把知识从头到尾地串联起来,和以前的内容联系,找到知识的“根”.)

MM上的矢量有:

v=vμxμ=vνxν\begin{aligned} v=v^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu}=v'^{\nu}\frac{\partial}{\partial x'^\nu}\\\\ \end{aligned}

其对偶矢量满足:

ω=ωμdxμ=ωνdxνων=xμxνpωμ\begin{aligned} \omega&=\omega_\mu\text{d}x^\mu=\omega_\nu'\text{d}x'^{\nu}\\\\ \Longrightarrow\quad\omega'_\nu&=\frac{\partial x^\mu}{\partial x'^{\nu}}|_p\,\,\omega_\mu\\\\ \end{aligned}

So much for today.


微分几何入门与广义相对论 Lesson10
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作者
菲兹克斯喵
发布于
2024年9月1日
更新于
2024年9月1日
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