微分几何入门与广义相对论 Chapter1

第一章 拓扑空间简介

$\S1.1\quad 集论初步$

确切地指定了的若干事物的全体叫一个集合（set），简称集. 集中的每一个事物叫一个元素（element）或点（point）. 若$x$是集$X$的元素，则说“$x$属于$X$”，并记作$x\in X$. 符号$\notin$则代表“不属于”. 有两种表示集合的方法，一种是一一列出其元素，元素间用逗号隔开，全体元素用花括号括起来，如

表示由实数1，4及5.6构成的集. 另一种表示法是指出集中元素的共性，如

表示$X$是全体实数的集合（这一特定集的通用记号为$\mathbb{R}$），而

则表示全体大于9的实数的集合. 不含元素的集叫空集（empty set），记作$\varnothing$.

定义1 当且仅当集$A$的每一元素都属于集$X$，就说$A$是$X$的子集（subset），也说$A$含于（is contained in）$X$或$X$含（contains）$A$，记作$A\subset X$或$X\supset A$. 规定$\varnothing$是任意集合的子集.$A$称为$X$的真子集（proper subset），若$A\subset X$且$A\neq X$. 集$X$和$Y$称为相等的（记作$X=Y$），若$X\subset Y$且$Y\subset X$.

定义2 集合$A$，$B$的并集、交集、差集和补集定义为 并集（union）：$A\cup B=\{x|x\in A\,\,或\,\,x\in B\}$. 交集（intersection）：$A\cap B=\{x|x\in A,x\in B\}$（条件“$x\in A,x\in B$”是“$x\in A且x\in B$”的简写，下同）. 差集（difference）：$A-B=\{x|x\in A,x\notin B\}$. 若$A$是$X$的子集，则$A$的补集（complement）$-A$定义为$-A=X-A$.

定理1-1-1 以上集运算服从如下规律： 交换律$A\cup B=B\cup A,\quad A\cap B=B\cap A$. 结合律$(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C),\quad (A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$. 分配律$(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C),\quad (A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)$. De Morgan律$A-(B\cup C)=(A-B)\cap(A-C),\quad A-(B\cap C)=(A-B)\cup(A-C)$.

定义3 非空集合$X$，$Y$的卡氏积（Cartesian product）$X\cross Y$定义为

多个集合的卡氏积可类似地定义，且规定卡氏积满足结合律.

例1$\mathbb{R}^2=\mathbb{R\cross R}$，$\mathbb{R}^n=\overbrace{\mathbb{R}\cross\cdots\cross\mathbb{R}}^n$. 既然$\mathbb{R}^2$的元素是由两个实数构成的有序对，这两个实数就称为该元素的自然坐标. 类似地，$\mathbb{R}^n$的每一元素有$n$个自然坐标. 可见$\mathbb{R}^n$天生就是有坐标的，但其他集合则未必. 利用自然坐标可给$\mathbb{R}^n$的任意两个元素定义距离的概念.

定义4$\mathbb{R}^n$的任意两个元素$x=(x^1,\cdots,x^n)$，$y=(y^1,\cdots,y^n)$之间的距离$|y-x|$定义为

定义5 设$X$，$Y$为非空集合. 一个从$X$到$Y$的映射（map）（记作$f:X\to Y$）是一个法则，它给$X$的每一个元素指定$Y$的唯一对应的元素. 若$y\in Y$是$x\in X$的对应元素，就写$y=f(x)$，并称$y$为$x$在映射$f$下的像（image），称$x$为$y$的原像（或逆像，即inverse image）.$X$称为映射$f$的定义域（domain），$X$的全体元素在映射$f$下的像的集合（记作$f[X]$）称为映射$f:X\to Y$的值域（range）. 映射$f:X\to Y$和$f':X\to Y$称为相等的，若$f(x)=f'(x)$，$\forall x\in X$.

/notes/$f:X\to Y$和$f:x\mapsto y$是两种等价的写法，只是一个是“集合到集合”的变换，一个是“元素到元素”的变换.$A\subset X$，$f:X\to Y$，则$f[A]\subset Y$. 从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}^m$的映射给出$m$个$n$元函数.

定义6 映射$f:X\to Y$叫一一的（one-to-one），若$\forall y\in Y$有不多于一个逆像（可以没有）. 映射$f:X\to Y$叫到上的（onto），若$\forall y\in Y$有逆像（可多于一个）. （这里的定义与大多数数学书中不同，所以在读参考资料的时候要注意）

/notes/$f$为到上映射的充要条件是值域$f[X]=Y$. 若$f$为一一映射，则存在逆映射$f^{-1}:f[X]\to X$. 然而，不论$f:X\to Y$是否有逆，都可以定义任意子集$B\subset Y$在$f$下的“逆像”$f^{-1}[B]$为

注意，这里的“逆像”是$X$的子集而非$X$的元素. 例如，如果$X$有（且仅有）两个元素$x$和$x'$在$f$作用（即映射）下的像都是$y\in Y$，则虽然逆映射$f^{-1}:Y\to X$不存在，但把$y$看作$Y$的独点子集（即$\{y\}$）时$f^{-1}[\{y\}]$仍有意义，含义为$f^{-1}[y]=\{x,x'\}\subset X$.

定义7$f:X\to Y$称为常值映射，若$f(x)=f(x')$，$\forall x$，$x'\in X$.

定义8 设$X$，$Y$，$Z$为集，$f:X\to Y$和$g:Y\to Z$为映射，则$f$和$g$的复合映射$g\circ f$是从$X$到$Z$的映射，定义为$(g\circ f)(x)=g(f(x))\in Z$，$\forall x\in X$. （注意：不符合交换律，要留意先后顺序）

连续性的定义 微积分中对$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$有连续性的“$\varepsilon-\delta$定义”： 称$f$在$x$点连续，若$\forall\varepsilon>0$，$\exists\delta>0$使得当$|x-x'|<\delta$时有$|f(x)-f(x')|<\varepsilon$； 称$f$在$\mathbb{R}$上连续，若它在$\mathbb{R}$的任一点连续. 推广至任意集合，用开区间概念重新表述如下：设存在集$X$，$Y$，映射$f:X\to Y$叫做连续的，若$Y$中任意开区间的“逆像”都是$X$的开区间的并.

开子集$\mathbb{R}$和$\varnothing$都是开子集. 有限个开子集之交仍是开子集. 任意个开子集之并仍是开子集. 把上述三个性质推广，就可以给任意集合$X$定义开子集概念. 定义了开子集的集合叫做拓扑空间.

$\S1.2\quad拓扑空间$

定义1 非空集合$X$的一个拓扑（topology）$\mathscr{T}$是$X$的若干子集的集合，满足： （a）$X$，$\varnothing\in\mathscr{T}$； （b）若$O_i\in\mathscr{T}$，$i=1,2,\cdots,n$，则$\overset{n}{\underset{i=1}{\bigcap}}O_i\in\mathscr{T}$（其中$\overset{n}{\underset{i=1}{\bigcap}}O_i$代表这$n$个$O_i$之交）； （c）若$O_\alpha\in\mathscr{T}\,\,\forall\alpha$，则$\underset{\alpha}{\bigcup}O_\alpha\in\mathscr{T}$.

/notes/ （b）条件中，$n$一定是有限的；而（c）条件则允许无限个开子集之并.

定义2 指定了拓扑$\mathscr{T}$的集合$X$称为拓扑空间（topological space）. 拓扑空间$X$的子集$O$称为开子集（简称开集），若$O\in\mathscr{T}$.

对于给定的具体集合$X$，应选择哪一个拓扑使之成为一个拓扑空间？这取决于$X$的自身性质及我们关心哪些方面的问题.

例1 设$X$为任意非空集合，令$\mathscr{T}$为$X$的全部子集的集合，则它显然满足定义中的三个条件，故构成$X$的一个拓扑，叫离散拓扑（discrete topology）.

例2 设$X$为任意非空集合，令$\mathscr{T}=\{X,\varnothing\}$，则它显然满足定义中的三个条件，故构成$X$的一个拓扑，叫凝聚拓扑（indiscrete topology）. 凝聚拓扑元素最少，而离散拓扑元素最多.

例3 设$X=\mathbb{R}^n$，则$\mathscr{T}_u=\{空集或\mathbb{R}^n中能表为开球之并的子集\}$称为$\mathbb{R}^n$的通常拓扑（usual topology），其中，开球（open ball）的定义为$B(x_0,r)=\{x\in\mathbb{R}^n|\,\,|x-x_0|<r\}$，$x_0$称为球心，$r>0$称为半径. 今后将$\mathbb{R}^n$看作拓扑空间时，如无声明即指$(\mathbb{R}^n,\mathscr{T}_u)$.

例4 设$(X_1,\mathscr{T}_1)$和$(X_2,\mathscr{T}_2)$为拓扑空间，$X=X_1\cross X_2$（即$X$是$X_1$和$X_2$的卡氏积），定义$X$的拓扑为$\mathscr{T}=\{O\subset X|O可表为形如O_1\cross O_2的子集之并，O_1\in\mathscr{T}，O_2\in\mathscr{T}\}$，则称$\mathscr{T}$为$X$的乘积拓扑（product topology）.

例5 设$(X,\mathscr{T})$是拓扑空间，$A$为$X$的任一非空子集. 把$A$看作集合，当然也可指定拓扑（记作$\mathscr{S}$，是$S$的花体）使$A$成为拓扑空间，记作$(A,\mathscr{S})$. 定义$\mathscr{S}=\{V\subset A|\exists O\in\mathscr{T}使V=A\cap O\}$，称作$A(\subset X)$的、由$\mathscr{T}$导出的诱导拓扑（induced topology）. 以后在把$(X,\mathscr{T})$的子集$A$看作拓扑空间时，如无声明都指$(A,\mathscr{S})$，其中$\mathscr{S}$是由$\mathscr{T}$诱导的拓扑.$(A,\mathscr{S})$称为$(X,\mathscr{T})$的拓扑子空间（topological subspace）.

接下来对定义了拓扑的集之间的映射就可以给出两种等价的连续性定义. 定义3a 设$(X,\mathscr{T})$和$(Y,\mathscr{S})$为拓扑空间. 映射$f:X\to Y$称为连续的（continuous），若$f^{-1}[O]\in\mathscr{T}\,\,\forall O\in\mathscr{S}$. 定义3b 设$(X,\mathscr{T})$和$(Y,\mathscr{S})$为拓扑空间. 映射$f:X\to Y$称为在点$x\in X$处连续，若$\forall$满足$f(x)\in G'$的$G'\in\mathscr{S}$，$\exists G\in\mathscr{T}$使$x\in G$且$f[G]\subset G'$.$f:X\to Y$称为连续，若它在所有点$x\in X$上连续.

定义4 拓扑空间$(X,\mathscr{T})$和$(Y,\mathscr{S})$称为互相同胚（homeomorphic to each other），若$\exists$映射$f:X\to Y$，满足（a）$f$是一一到上的；（b）$f$及$f^{-1}$都连续. 这样的$f$称为从$(X,\mathscr{T})$到$(Y,\mathscr{S})$的同胚映射，简称同胚（homeomorphism）.

/notes/ 一一到上而不同胚的映射之反例可由离散拓扑和凝聚拓扑来构造.

/notes/ 普通函数$y=f(x)$的连续性用$C^r$表示，其中$r$为非负整数，指其$r$阶导数存在并连续，$C^\infty$又称光滑（smooth）. 用开子集的概念能将$C^0$性推广至拓扑空间之间的映射，但是$r>0$的$C^r$性则不能. 事实上，对拓扑空间中映射的最高要求即是同胚，因为同胚映射不仅在两个拓扑空间的点之间建立了一一对应的关系，而且还在两者的开子集之间建立了一一对应的关系，因而一切纯拓扑的性质都由同胚映射所联系起来，两个互相同胚的拓扑空间从纯拓扑学的角度来看就是相等的.

例6 任一开区间$(a,b)\subset\mathbb{R}$与$\mathbb{R}$同胚.

例7 圆周$S^1\subset\mathbb{R}^2$配以由$(\mathbb{R}^2,\mathscr{T}_u)$产生的诱导拓扑可看作拓扑空间. 显然$f:(S^1-{a})\to\mathbb{R}$是同胚映射，但是$f:S^1\to\mathbb{R}$不同胚，证明要用到紧致性的概念.

定义5$N\subset X$称为$x\subset X$的一个邻域（neighbourhood），若$\exists O\in\mathscr{T}$使$x\in O\subset N$. 自身是开集的邻域称为开邻域.

/notes/ 注意“擦边”的情况. 同时注意一个微妙的例子：在拓扑空间$[0,\infty)\subset\mathbb{R}$（定义的应该是$\mathbb{R}$中通常拓扑的诱导拓扑）中，$[0,1)$是$0$的开邻域，而$[0,1]$是$0$的邻域.

定义5'（子集的邻域）$N\subset X$称为$A\subset X$的一个邻域，若$\exists O\in\mathscr{T}$使$A\subset O\subset N$.

定理1-2-1$A\subset X$是开集，当且仅当$A$是$x$的邻域$\forall x\in A$.

证明 （A）充分性：假设$A$为开集. 则$\forall x\in A$，$\exists A\in\mathscr{T}$使$x\in A\subset A$，则由定义5知$A$是$x$的邻域. （B）必要性：假设$A$是$x$的邻域$\forall x\in A$. 令$O=\underset{x\in A}{\bigcup}O_x$（$O_x$是定义5中满足$x\in O_x\subset A$的$O_x\in\mathscr{T}$），而$\forall O_x\subset A$，故$O\subset A$；$A=\{x\}$，且$\forall x\in O_x\subset O$，故$A\subset O$，即证明了$A=O$. 又由定义1知$O=\underset{x\in A}{\bigcup}O_x\subset\mathscr{T}$，故$A\subset\mathscr{T}$，即$A$为开集.

定义6$C\subset X$叫闭集（closed set），若$-C\in\mathscr{T}$.

定理1-2-2 闭集有以下性质： （a）任意个闭集的交集是闭集； （b）有限个闭集的并集是闭集； （c）$X$及$\varnothing$是闭集.

定义7 拓扑空间$(X,\mathscr{T})$称为连通的（connected），若它除$X$和$\varnothing$以外没有既开又闭的子集.

例9 设拓扑空间$(\mathbb{R},\mathscr{T}_u)$，$A\in\mathscr{T}_u$，$B\in\mathscr{T}_u$，$A\cap B=\varnothing$. 以$\mathscr{T}$代表由$\mathbb{R}$的通常拓扑$\mathscr{T}_u$在子集$X=A\cup B$上的诱导拓扑，则拓扑空间$(X,\mathscr{T})$的既开又闭的子集除了$X$和$\varnothing$之外还有$A$和$B$（$A$和$B$在诱导拓扑下自然是开的，而它们互为补集，所以又都是闭集），所以$(X,\mathscr{T})$是不连通的. 这同直观理解相吻合.

设$(X,\mathscr{T})$为拓扑空间，$A\subset X$，分别定义$A$的闭包、内部和边界如下：

定义8$A$的闭包（closure）$\bar{A}$是所有含$A$的闭集的交集，即

定义9$A$的内部（interior）$i(A)$是所有含于$A$的开集的并集，即

定义10$A$的边界（boundary）$\dot{A}=\bar{A}-i(A)$，$x\in\dot{A}$称为边界点.$\dot{A}$也记作$\part A$.

定理1-2-3$A$，$i(A)$及$\dot{A}$有以下性质： （a）$-\bar{A}\in\mathscr{T}$，$A\subset\bar{A}$，$A=\bar{A}$当且仅当$-A\in\mathscr{T}$； （b）$i(A)\in\mathscr{T}$，$i(A)\subset A$，$i(A)=A$当且仅当$A\in\mathscr{T}$； （c）$-\dot{A}\in\mathscr{T}$.

证明 （a）、（b）由定义易证. 对于（c），有$X-\dot{A}=X-(\bar{A}-i(A))$. 而

且因$\bar{A}$为闭集，$(X-\bar{A})\in\mathscr{T}$，又$i(A)\in\mathscr{T}$，故$X-\dot{A}$为开集，$-\dot{A}\in\mathscr{T}$.

定义11$X$的开子集的集合$\{O_\alpha\}$叫$A\subset X$的一个开覆盖（open cover），若$A\subset\underset{\alpha}{\bigcup}O_\alpha$. 也可以说$\{O_\alpha\}$覆盖$A$.

$\S1.3\quad 紧致性$

定义1 设$\{O_\alpha\}$是$A\subset X$的开覆盖. 若$\{O_\alpha\}$的有限个元素构成的子集$\{O_{\alpha_1},\cdots,O_{\alpha_n}\}$也覆盖$A$，就说$\{O_\alpha\}$是有限子覆盖（finite subcover）.

定义2$A\subset X$叫紧致的（compact），若它的任意开覆盖都有有限子覆盖.

例1 设$x\in X$，则独点子集$A=\{x\}$必紧致.

例2$A=(0,1]\subset\mathbb{R}$不是紧致的.

证明 以$\mathbb{N}$代表自然数集，则$\{(1/n,2)|n\in\mathbb{N}\}$是$A$的开覆盖，它没有有限子覆盖.

/notes/ 根据上面的例题，显然有：$\mathbb{R}$中的任意开区间$(p,q)$有开覆盖$\{(p+1/n,q+1)|n\in\mathbb{N}\}$，而它没有有限子覆盖，故$\mathbb{R}$中的任意开区间$(p,q)$非紧致. 进一步说，$\mathbb{R}$中的任意开区间或半开区间都非紧致.

例3$\mathbb{R}$不是紧致的.

定理1-3-1$\mathbb{R}$的任一闭区间都紧致.

/notes/ 闭集不一定紧致，如$\mathbb{R}$就是闭集，但是不紧致.

定义3 拓扑空间$(X,\mathscr{T})$叫$T_2$空间或豪斯多夫空间（Hausdorff space），若$\forall x,y\in X$，$x\neq y$，$\exist O_1,O_2\in\mathscr{T}$使$x\in O_1$，$y\in O_2$且$O_1\cap O_2=\varnothing$.

/notes/ 常见的拓扑空间（如$(\mathbb{R}^n,\mathscr{T}_u)$）都是$T_2$空间. 凝聚拓扑空间是非$T_2$空间的一例.

定理1-3-2 若$(X,\mathscr{T})$为$T_2$空间，$A\subset X$为紧集，则$A$为闭集.

证明 当$A=\varnothing$时定理显然成立，故以下设$A\neq\varnothing$. 只需证明$X-A\in\mathscr{T}$，为此只需证明$\forall x\in X-A$，$\exist O\in\mathscr{T}$使$x\in O\subset X-A$（见定理1-2-1）. 因为$X$为$T_2$空间，故给定$x$后，$\forall y\in A$，$\exist O_y,G_y\in\mathscr{T}$使$x\in O_y$，$y\in G_y$且$O_y\cap G_y=\varnothing$（如下图）.

$y$走遍$A$便给出两个子集的集合$\{G_y|y\in A\}$和$\{O_y|y\in A\}$. 显然，$\{G_y|y\in A\}$是$A$的开覆盖，$A$的紧致性保证它必含有限子覆盖$\{G_{y_1},\cdots,G_{y_n}\}$. 令$O=\underset{i=1}{\overset{n}\bigcap}O_{y_i}$，则有：$O\in\mathscr{T}$，$x\in O$，$O\cap A=\varnothing$（即$O\subset X-A$）. 于是由定理1-2-1知$X-A\in\mathscr{T}$，故$A$为闭.

定理1-3-3 若$(X,\mathscr{T})$为紧致且$A\subset X$为闭集，则$A$为紧集.

证明 因$A$为闭集，故$X-A$为开集. 设$\{O_\alpha\}$为$A$的任一开覆盖，则$\{O_\alpha,X-A\}$是$X$的一个开覆盖（此处用到$A$为闭集，$X-A$为开集）.$X$为紧集使$\{O_\alpha,X-A\}$存在有限子覆盖$\{O_1,\cdots,O_n;X-A\}$，而$X-A$覆盖了$A$的补集，故剩下的$\{O_1,\cdots,O_n\}$覆盖$A$，从而$A$为紧集.

/notes/ 之后的定理能证则证，毕竟不常用，暂时略过.

定义4$A\subset\mathbb{R}^n$叫有界的（bounded），若$\exist$开球$B\subset\mathbb{R}^n$使$A\subset B$.

定理1-3-4$A\subset\mathbb{R}$为紧集，当且仅当$A$为有界闭集.

定理1-3-5 设$A\subset X$紧致，$f:X\to Y$连续，则$f[A]\subset Y$紧致. 推论：同胚映射保持子集的连续性. 这是显然的，因为紧致性是纯拓扑性质.

定义5 在同胚映射下保持不变的性质称为拓扑性质（topological property）或拓扑不变性（topological invariance）.

例4 紧致性、连通性和$T_2$性都是拓扑性质. 有界性不是拓扑性质，例如开区间$(a,b)$同胚于$\mathbb{R}$，但前者有界而后者无界. 由此还可看出长度也不是拓扑性质.

数学分析中有一个广为人知的定理：闭区间上的连续函数必在该区间上取得其最大值和最小值. 下述定理是这一定理的推广. 定理1-3-6 设$X$紧致，$f:X\to\mathbb{R}$连续，则$f[X]\subset\mathbb{R}$有界并取得其最大值和最小值.

定理1-3-7 设$(X_1,\mathscr{T}_1)$，$(X_2,\mathscr{T}_2)$紧致，则$(X_1\cross X_2,\mathscr{T})$紧致（$\mathscr{T}$为$\mathscr{T}_1$和$\mathscr{T}_2$的乘积拓扑）.

定理1-3-8$A\subset\mathbb{R}^n$紧致，当且仅当它是有界闭集. 简单应用 之前的$\S1.2$中例7提到过一个例子. 考虑$(\mathbb{R}^2,\mathscr{T}_u)$. 设$S^1$是$\mathbb{R}^2$中的任一圆周，易知它是有界闭集，于是由定理1-3-8知它为紧致. 由定理1-3-5知连续映射保紧致性，而$\mathbb{R}$及其任一开区间都不紧致，可见$S^1$不可能与$\mathbb{R}$或其任一开区间同胚. 类似地，由定理1-3-1、1-3-5知$\mathbb{R}$中任一闭区间都不可能与$\mathbb{R}$或其任一开区间同胚.

定义6 映射$S:\N\to X$叫$X$中的序列（sequence）. 通常把序列记作$\{x_n\}$，其中$x_n=S(n)\in X$，$n\in\N$.$\{x_n\}$其实就是$X$中编了次序的一串点.

定义7$x\in X$叫做序列$\{x_n\}$的极限（limit），若对$x$的任一开邻域$O$存在$N\in\N$使$x_n\in O\,\,\,\,\forall n>N$. 若$x$是$\{x_n\}$的极限，就说$\{x_n\}$收敛于$x$.

定义8$x\in X$叫序列$\{x_n\}$的聚点（accumulation point），若$x$的任一开邻域都含$\{x_n\}$的无限多点.

/notes/$x$为$\{x_n\}$的极限$\Rightarrow$$x$为$\{x_n\}$的聚点，但反之不一定.

元素个数有限的集称为有限集，否则为无限集. 对有限集总可将其元素编号，故有限集一定是可数集（countable set）. 但无限集也不一定不可数，例如$\N$就是可数的无限集. 有限集比无限集简单，可数无限集比不可数无限集简单. 拓扑空间$(X,\mathscr{T})$称为第二可数的（second countable），若$\mathscr{T}$存在可数子集$\{O_1,\cdots,O_K\}\subset\mathscr{T}$或$\{O_1,\cdots\}\subset\mathscr{T}$使得任一$O\in\mathscr{T}$可被表为$\{O_1,\cdots,O_K\}$[或$\{O_1,\cdots\}$]的元素之并. 例如，$(\R^n,\mathscr{T}_u)$是第二可数的.

定理1-3-9 若$A\subset X$紧致，则$A$中任一序列都有在$A$内的聚点. 反之，若$X$为第二可数的且$A\subset X$中任一序列都有在$A$内的聚点，则$A$紧致.