微分几何入门与广义相对论 Chapter2微分几何入门与广义相对论 Chapter2
第二章 流形和张量场
定义1 拓扑空间称为维微分流形(-dimensional differentiable manifold),简称维流形,若有开覆盖,即,满足:(a),(是用通常拓扑衡量的开子集);(b)若,则复合映射(见图)是(光滑)的.
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局部地看,一个维微分流形与一个没有差别(上面定义中的同胚可以看出这一点). 上述定义的是光滑流形. 把上述定义中的换成就是流形的定义.这个复合映射指的是先进行再进行.是从到的映射. 这给出了个元函数,它们都是的(是的).
设,则,故点有个自然坐标. 很自然地把这个数称为点在映射下获得的坐标作为拓扑空间,其元素本来一般没有坐标,但作为流形,中位于内的元素(点)就可通过映射获得坐标. 若,则内的点既可通过又可通过获得坐标,这两组坐标一般不同. 我们说()构成一个(局域)坐标系(coordinate system), 其坐标域(coordinate patch)为构成另一坐标系,其坐标域为. 于是内的点至少有两组坐标,分别记作和. 由映射提供的、体现两组坐标之间关系的n个n 元函数
就称为一个坐标变换(coordinate transformation). 定义1条件(b)保证坐标变换中的函数关系都是的. 为方便起见也常称为坐标系,虽然从中看不出坐标域的范围. 物理学家也常把记作.
定义2 坐标系在数学上又叫图(chart),满足定义1的全体集合叫图册(atlas). 条件(b)又叫相容性(compatibility)条件,因此说一个图侧重的任意两个图都是相容的.
例1 设. 选,恒等映射(即像与逆像重合的映射),则便是只含一个图的图册,故是2维流形,而且是能用一个坐标域覆盖的流形,称为平凡流形. 同理可知是维平凡流形.
例2,是里的一个圆周. 我们来证明它是一个manifold. 我们猜测(直观来看),认为它是一维的,将要映射到上去. 这里显然不能只用一个图来映射,因为与不同胚. 所以我们用四个图来覆盖,分别是左半圆周、右半圆周、上半圆周和下半圆周,均为的通常拓扑所产生的诱导拓扑中的开集,此时它可以被完全覆盖,每个图中的映射就是将圆周投影到对应方向的数轴上去. 证毕.
例3,也就是二维球面. 在这里提到,sphere是球面,而ball是实心的球体,注意作出区分.是三维中的二维球面,可以用两个坐标表示上面的点. 显然,这个球面是manifold. 类似上面例2的证明,我们用6个图来覆盖整个球面,均为的诱导拓扑中的开子集,每个映射也是投影. 至此证毕.
对于一个拓扑空间,可以定义不同的拓扑;对微分流形的定义,也有不同图册的选择:和. 若,则它们有可能是相容的(compatible),这就是说在定义里的那个映射是的.
这时有两种情况:相容和不相容. 若不相容,则这两个图册将同一个底拓扑定义为两个不同的微分流形,它们的微分结构不相同. 注意,微分结构要在之后的学习中不断地领会,循序渐进,所以暂时不做更深讨论.
若相容,两个图册定义的微分流形是一样的. 我们可以造出一个更大的图册来包含它们,所以今后我们定义图册时,默认用最大的图册.
这体现出一个好处,最大图册中间的任意图之间都可以方便地做坐标变换. 图与图之间的变换就是坐标变换.
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坐标系都有坐标域,坐标变换一定是连续的(),不能说它们是奇异的,出现问题只是因为超出了其对应的坐标域.
定义3称为类映射,如果,映射对应的个元函数是类的.
注意,和都是同胚映射. 所以的性能转化为的性.
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如果不是微分流形,就不能定义上述连续性,这是微分流形和普通拓扑空间之间的区别. 同时,由于同一图册中各图相容,上述定义与坐标系及的选择无关.
定义4 微分流形和称为互相微分同胚(diffeomorphic to each other),若,满足(a)是一一到上的;(b)及是的. 这样的称为从到的微分同胚映射,简称微分同胚(diffeomorphism).
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微分同胚是强于同胚的,是对流形之间的映射提出的最高要求. 微分同胚的两个流形维数必须相等.
定义5称为上的函数(function on)或上的标量场(scalar field on). 若为的,则称为上的光滑函数.上全体光滑函数的集合记作,在不会混淆时简记为. 今后在提到函数而不加声明时都是指光滑函数.
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注意,这里的函数与微积分学里的函数并不相同. 它不是所谓的元函数,如果想让它成为多元函数,必须引入坐标系. 而引入不同的坐标系,多元函数本身的形式变了,函数值却是一样的. 这里的函数是不需要坐标系的,不能理解为元函数.
标量场是“父亲”,与不同的坐标系结合,生出不同的“儿子”(多元函数).
为了不造成混淆,我们还是一直用“标量场”这一名词. 同时,说标量场是“绝对的”,而其与坐标系结合产生的“多元函数”是“相对的”.
例4中位于点的点电荷的电势是流形上的光滑函数.
注:从例3开始看梁老师的课,决定边听课边敲笔记.
2.2.1 切矢量
定义1 实数域上的一个矢量空间(vector space)是一个集合配以两个映射,即[ 叫加法(addition)] 及[ 叫数乘(scalar multiplication)] ,满足如下条件:
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由(g)可推出:. 今后把零元记为0.
在我们平常讨论的问题中,矢量指的是中的一个“箭头”. 但是以上的定义包含了平常我们讨论的矢量,是一个更广泛的概念. 在这里,我们将“箭头”所代表的概念从推广到任意微分流形.
在一个任意的微分流形中,“箭头”的意义不易推广,因为它有“方向”和“长度”,太具体则不易推广. 所以我们寻找矢量抽象的共性.
考虑上所有的映射,这个集合记为. 对于,有,存在,我们可以对求方向导数,并在所研究的点取值. 由于方向导数的操作有线性性并满足莱布尼兹律,所以本质的、便于推广的特性是:它是一个从到的、满足莱布尼兹律的线性映射. 推广到任意流形的任意点,定义:
定义2 映射称为点的一个矢量(vector),若,有
这里映射的方式还很多,所以点有无限多矢量. 作为例子,定义一些矢量:设坐标系,其坐标为,则上的光滑函数对应元函数,可给中任一点定义个矢量,记作,作用于任一的结果定义为如下实数
注:定理2-2-1在选读中,不写.
定理2-2-2 以代表中点所有矢量的集合,则是维矢量空间(是的维数),即.
证明
(A) 按以下定义加法、数乘和零元,不难验证满足定义,是矢量空间.
(B) 只需证明最大线性无关基矢的数量为,大于等于,且小于等于.
任选坐标系使得坐标域含,则上面定义了点的个矢量,. 欲证线性独立,设有个实数使(爱因斯坦惯例),则要证,.
可见,. 因而线性独立,有.
(C) 证明有,其中. 这是最难的一步,这里不证明,只能看Wald.
定义3 坐标域内任一点的称为的一个坐标基底(coordinate basis),每个称为一个坐标基矢(coordinate basis vector),用线性表出的系数称为的坐标分量(coordinate components).
定理2-2-3 设和为两个坐标系,其坐标域交集非空,为交集中的一点,,有
其中.
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注意上下标的书写,分母上的上标相当于下标,等号两边必须同为上标或同为下标.
证明
先看分量作用于同一标量场生成的不同多元函数
上述公式为矢量(的分量)变换式,也可以作为矢量定义.
下面讲曲线和切矢.
定义4 设为的一个区间,则类映射称为上的一条类的曲线(curve). 今后如无声明,“曲线”均指光滑(类)曲线. 对任一,有唯一的点与之对应.称为曲线的参数(parameter).
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这里的曲线指的是映射,不是集合. 若两个曲线的像是重合的,则称其互为重参数化(reparametrization),具体定义是:若到上映射,满足(a);(b)由诱导的函数有处处非零的导数. 曲线的像也常记作(而不是),以表明曲线的参数为. 设是坐标系,,则是从到的映射,相当于个一元函数,就是参数方程.
定义5 设为坐标系,为坐标,则的子集
可看成以为参数的一条曲线(的像)(改变的常数值则得另一曲线),叫做坐标线(coordinate line).坐标线可仿此定义.
例1 略.
定义6 设是流形上的曲线,则线上点的切于的切矢(tangent vector)是点的矢量,它对的作用定义为
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例2坐标线以为参数的曲线,有
可见原来的坐标基矢即是.
定理2-2-4 设曲线在某坐标系中的参数表达式为,则线上任一点的切矢在该坐标基底的展开式为
(这里显然也用了Einstein求和规则) 这就是说,曲线的切矢的坐标分量是在该系的参数式对的导数.
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上面公式的记忆:曲线切矢的坐标分量就是该曲线的参数式的导数.
定义7 非零矢量称为互相平行的(parallel),若使.
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由定义6知道,曲线的切矢依赖于参数化,一条曲线在一点只有一个切矢. 但是人们往往认为曲线一点有无数多个切矢,这是因为他们对曲线的理解是曲线的像. 在这时,对曲线做重参数化,可以发现,像相同的曲线,在同一点处的切矢是互相平行的. 如下.
定理2-2-5 设曲线是的重参数化,则两者在任一像点的切矢和有如下关系:
其中是由映射诱导而得的一元函数,即.
证明 课堂上没有讲,略.
由上面知,若先给定点,总可以指定一条过点的曲线使得中一个元素是这条曲线在点的切矢.
综上所述,中任一元素可视为过点的某曲线的切矢,因此点的矢量亦称切矢量(tangent vector),则称为点的切空间(tangent space).
2.2.2 流形上的矢量场
定义8 设为的子集. 若给中每点指定一个矢量,就得到一个定义在上的矢量场(vector field).
例3 显然一条曲线的像上每一点都有一个切矢,这构成一个矢量场.但是我们遇到了一个特殊的例子,如下图.
所以例子应该修改为“非自相交曲线”.
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来自选读2-2-2:自相交曲线可定义沿曲线(指映射C)的矢量场的概念. 它是指每一对应于一个的映射,其定义域是而不是的子集,因此这矢量场可记作.
定义9上的矢量场称为类(光滑)的,若作用于类函数的结果为类函数,即,.称为类的,若作用于类函数得类函数.
例4 (1) 坐标基矢构成坐标域上的个光滑矢量场,叫坐标基矢场. (2)中位于