微分几何入门与广义相对论 附录A

附录A 几何与非几何单位制的转换

广义相对论中常常使用的是几何单位制，所以把附录中内容提到前面来看，先了解一些单位制有关的基础知识. 以下是对附录的笔记.

几何单位制：取$c=G=1$的单位制.

为避免混淆，我们用粗体字和非粗体字母分别代表量和数（仅限于本附录中）. 非几何单位制通常取时间$\bold{T}$、长度$\bold{L}$和质量$\bold{M}$为力学领域的基本量. 在几何单位制中，由于$c=G=1$，时间、长度和质量三者的单位只有一个可任意选择，因此可认为基本量只有一个，例如可选时间$\bold{T}$为基本量，并选$s$（秒）为其单位（基本单位）. 然而，$c=1$的实质是以光速作为速度单位，所以可认为速度$\bold{V}$也是几何制的基本量，光速是基本单位. 同理，$G=1$暗示引力常量$\bold{G}$也是几何制的基本量. 所以也可以认为几何制有三个基本量，即$\bold{T}$，$\bold{V}$和$\bold{G}$. 事实上，同一单位制的基本量的个数存在灵活性，可根据具体场合的需要选择. 设$\bold{A}$为任意量，其数值在国际制与几何制中分别为$A$和$A'$，则两者之比

称为量$A$在两制之间的转换因子（conversion factor）.$\chi$之所以不等于$1$，是因为$\bold{T}$，$\bold{L}$和$\bold{M}$的单位在两单位制中有所不同. 在几何制中，唯一可以确定的是$c=G=1$，为便于两制之间的比较，约定几何制中$\bold{T}$的单位是$s$，此时可以确定$\bold{L}$和$\bold{M}$的几何制单位，不再有灵活性. 根据量纲分析，导出单位随基本单位改变而改变的依从关系由量纲式给出：

在只关心几何制与国际制（或高斯制）之间的转换时，时间单位相同，上式中的$[T]^\tau$可被写为$1$：

而在高斯制中，$[V]=[L]$，$[G]=[L]^3[M]^{-1}$，与上式结合得：

设从国际制变到几何制时$\bold{L}$，$\bold{M}$单位的改变倍数分别为$[L]$，$[M]$，则$\bold{V}$，$\bold{G}$单位的改变倍数为$[V]$，$[G]$，而$\bold{A}$单位的改变倍数则为$[A]$，对比$\chi$表达式可知，$\chi=[A]$. 光速和引力常量的数值在国际制中分别为$c$和$G$，在几何制中皆为$1$，故$[V]=1/c$，$[G]=1/G$，代入上式得到$[A]=c^{-\lambda-3\mu}G^\mu$. 因此

这表明，欲由$\bold{A}$在几何制中的数值$A'$求得它在国际制中的数值$A$，只需知道量$\bold{A}$关于基本量$\bold{L}$和$\bold{M}$的量纲指数$\lambda$和$\mu$.

后面的例题内容有很多没学过的，只记一个：

例1 试由Schwarzschild半径在几何制中的表达式$r_S'=2M'$求它在国际制的表达式.

解 设在国际制中$A=r_S/M$，则在几何制中$A'=r_S'/M'=2$. 由$[A]=[L][M]^{-1}$可得$\lambda=1$，$\mu=-1$，所以$\chi=c^2G^{-1}$，$A'=c^2G^{-1}A$，故$r_S/M=A=c^{-2}GA'=2c^{-2}G$，有