外观
Lesson 7 统计力学绪论
约 836 字大约 3 分钟
2026-03-18
统计的基本概念
宏观量分为两种,一种是像内能一样,有微观对应的量,它们是微观对应量的统计平均值;而有一些是像温度、压强或者熵一样,没有微观对应的,只能通过热力学与另一类热力学宏观量来产生联系.
我们在统计力学中用的是古典概率论中的几率概念,也就是所谓的古典概型. 互斥事件有所谓的加法定理,独立事件有乘法定理:
PA+B=N→∞limNNA+NB=PA+PB,PA⋅B=N→∞limNNA⋅NNB=PA⋅PB
这里必须要和 天体物理统计方法 里的 Bayes 统计相区分,这里讲的是以频率为核心的概率论. (虽然我也不知道为什么一定要在统计力学里用这样的观点)
同时还有涨落的概念,一般定义为二阶矩 x2−x2.
二项分布:
PN(n)=n!(N−n)!N!pnqN−n
二项分布来自于一维的固定步长随机行走. 当 N≫1,p≪1 时,二项分布趋向于 Poisson 分布,有
PN(n)=n!(N−n)!N!pnqN−n≈n!NnpnqN−n
对 qN−n 取对数,
lnqN−n=(N−n)ln(1−p)≈−Np⟹qN−n≈e−Np=e−n
因此 Poisson 分布为
PN(n)=n!nne−n
当 p≈q,N≫1 时趋向于 Gauss 分布,仍然是两边取对数,这一次用到 Stirling 公式,
lnpN(n)≈N(lnN−1)−n(lnn−1)−(N−n)[ln(N−n)−1]+nlnp+(N−n)lnq
对 lnpN(n) 求关于 n 的极值,并在这附近展开到二阶项,得到分布
pN(n)≈2πσ21e−(n−n)2/2σ2,σ2=Npq
提示
既然说到 Gauss 分布,这里也简介一下 Gauss 积分,令
I=∫−∞∞e−ax2/2dx
扩展到二维才能简洁地求出,由直角坐标换为极坐标,有
I2=∫−∞∞∫−∞∞e−a(x2+y2)/2dxdy=∫02π∫0∞e−ar2/2⋅rdrdθ=2π⋅∫0∞e−ar2/2d(2r2)=a2π
有时候也把结果写成指数的形式方便下一步再做其他运算,2πe−(loga)/2.
近独立粒子体系
提示
解读:
这个「近」字实际上没有必要提,因为我们就是做了完全独立的近似,这里要求粒子间作用能 ≪ 单个粒子本身的能量.
这里的「粒子」:
- 可以是分子、原子、原子核和电子等等,只要更底层的自由度未被激发,就能作为一个整体视为粒子
- 为了研究相互作用体系,提出了很多「准粒子」的概念,比如声子、旋子等等,在引入这些概念之后我们可以用近独立粒子体系的结论来进行研究.
「独立」指的是单粒子态有明确的含义,如系统能量 E=i∑aiεi.
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2026/3/18 03:27
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