外观
Lesson 2 Equation of State
约 1069 字大约 4 分钟
2026-03-05
HR 图的纵坐标是光度,横坐标是恒星的温度. 一般来说,从左上到右下的一条线上的恒星都被称为主序星 (main sequence),右上角一般是所谓的红巨星,左下角是白矮星.
对于天文学家来说,有一个完全不同的元素周期表,在这个图中,H 和 He 占了很大比例,剩下的元素全部被称为「metal」. 在时间上,一般把恒星分为 population III、II、I 三代,III 是大爆炸之后的第一代,它们完全不含 metal,而我们的太阳属于 I 代,其中已经含有大量 metal.
Equation of State
压力、数密度和温度的方程. 通过量纲分析的思路,P 的量纲是能量密度,n 的量纲正是 L−3,kBT 合在一起的量纲也是能量,于是 E.o.S 应该是下面的某种形式:
P∼nkBT
和理想气体对比,我们可以说 p=nkBT 就是理想的 E.o.S. 现在为了计算与之抗衡的另外一个量 (简并压),我们引入量子力学的因素,[h]=ET,[me]=ET2/L2,用这些量来构造一个方程,有
Pe∼meh2ne5/3
这个简并压是非相对论的. 这里引入 [hc]=EL 来替换掉 h,相对论性的方程为
Pe∼hcne4/3
更严格的计算:为了积分整个压强,在一个面上面考查粒子的碰撞,动量变化为
Δp=21⋅2px⋅nvxΔt⋅A
压强
Pe=A1ΔtΔp=pxvxn=31pvn
提示
这里,我们认为三方向的 pivi 是均分的,因此最后出现了一个 1/3.
更加笼统的一个式子是
Pe=∫31f(p)pvpdp
这被称为 Pressure Integral. 对于普通的粒子,其 Boltzmann 分布是
f(p)=n⋅(2πmkBT)3/24πp2exp(−2mkBTp2)
但是电子的分布应该用量子力学计算,考虑一个相空间格子里面放 2 个电子 (自旋简并),则其数密度:
ne=∫h32d3p=∫h38πp2dp=∫f(p)dp
于是 f(p)=8πp2/h3. 定义 Fermi 动量 pF,也就是最高的电子动量,0→pF 积分得到
ne=3h38πpF3⟹pF=(8π3neh3)1/3
对于非相对论情况,
PeNR=31∫meh38πp4dp=5me1(8π3h3)2/3ne5/3∝ne5/3
和量纲分析的结论是相符的;相对论情况 (vp→c),
PeR=31∫3h38πcp3dp=4c(8π3h3)1/3ne4/3∝ne4/3
也和量纲分析的结果相同.
提示
我们做量纲分析的时候假设了温度为零,但是在现实中这个问题是 temperature - dependent,我们并不能说这个结果很好或者很符合现实.
Mean Mol Weight
如果是一个 H 原子,那么 1 个粒子对应着 1 单位原子质量;但是现在离子化了,那么 2 个粒子 (1 个质子和 1 个电子) 对应 1 单位原子质量.
现在考虑 He 原子,没有离子化的时候是 1 对 4;离子化之后是 3 对 4.
如果是一个任意的 metal Z,质量差不多是 2Z,离子化之后有 Z+1 个粒子,当 Z≫1 时平均质量是 2.
一个平均密度的等式是,
n=i∑ni⟹μmuρ=i∑μimuρi
如果把比例记作 wi,那么最终得到平均 mol 质量为 (针对 full ionized gas)
μ1=i∑μiwi=2wH+43wHe+21wmetal
在太阳中心的完全离子化气体中,三个占比大约是 75%,23%,2%,计算平均 mol 质量.
很容易算出是 0.60 g/mol 左右.
注意
这里插一句,我们只需要几个位数就行了,不要拿出 CASIO 上的十位有效数字.
更新日志
2026/3/5 13:52
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