Lesson 2 条件概率

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2026-03-03

事件之间的关系实际上和集合论的运算法则是一致的.

以交换律为例， $A\cup B \subseteq B\cup A$ 等价于「 $\omega\in A\cup B$ ，若 $\omega\in A$ 或 $\omega \in B$ ，则 $A\cup B\subseteq B\cup A$ 」. 另一边同理.

/Example/

袋子中有 $\alpha$ 个白球和 $\beta$ 个黑球，取出 $k+1$ 个球，求各种情况的概率和最后一个取出来的球是白球的概率.
不管白球和黑球在什么位置，分子和分母实际上没有区别，总概率为
$p_1 = \frac{C_\alpha^aC_\beta^b}{C_{\alpha+\beta}^{a+b}}$
最后一个球是白球的概率实际上是把球排成一排，第 $k+1$ 个是白球的概率，这就是
$p_2 = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$

第一个小问其实就是超几何分布，用古典概型其实已经是局限的. 下个例子我们会看到更加局限的场景.

/Example/

约会问题：两人在 7 点到 8 点之间相约会面，每个人在任意时间点都可能来，等 20 分钟之后离开，问两人见面的概率.
这时候随机试验的可能结果是无限的，并且每个基本结果是等概率的.
以两个人的到达时间作为横纵轴，建立坐标系画图，实际上问题是一个面积比. 最终算出概率为 $5/9$ . 这是几何概型的经典想法.

几何概型的核心思想为，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 / 面积 / 体积成比例，最经典的一个问题就是投针问题.

/Definition/

事件族 ( $\Omega$ 的子集族) $\mathscr{F}$ 称为 $\sigma$ - 域 (也称为 $\sigma$ - 代数或者事件体)，如果它满足下列条件：
$\Omega\in\mathscr{F}$
若 $A\in\mathscr{F}$ ，则 $A^C\in\mathscr{F}$
若 $A_1,A_2,\cdots\in\mathscr{F}$ ，则 $\underset{i=1}{\overset{\infty}{\bigcup}}A_i\in\mathscr{F}$ .

举一个丢色子的例子， $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ ，那么下面几个都是 $\sigma$ - 域：

最小的 $\sigma$ - 域： $\mathscr{F}_1=\{\varnothing,\Omega\}$ ；
最大的 $\sigma$ - 域：包含所有事件.
……

/Definition/ (Kolmogorov 概率公理化定义)

$P$ 是 $\mathscr{F}$ 上的非负值函数，即对每个事件 $A\in\mathscr{F}$ ，都可以定义一个数 $P(A)$ ，满足下列条件：
非负性： $P(A)\geq0$
规范性： $P(\Omega)=1$
可数可加性
注意
和 Euclid 几何第五公设一样，这里的第三点被改变之后可以得到新的数学，比如模糊数学和不确定数学.

一个不符合古典概型的情况：

/Example/

一个均匀硬币连续投掷，令 $\omega^{(i)}$ 为首次出现正面在第 $i$ 次的事件，则可能的事件空间是无穷的.

引入了这个公理化的概率定义之后，我们能做什么？最直接的一个就是我们能够推导出概率的加法公式了，

P\left(\bigcup_{i=1}^nA_i \right) = \sum_{i=1}^nP(A_i)

条件概率

/Example/

一个二胎家庭，已知有一个男孩，则有两个男孩的概率更高了.

条件概率将原有的空间 $\Omega$ 缩小为新的空间.

/Definition/

设 $(\Omega,\mathscr{F},P)$ 为概率空间， $B\in\mathscr{F}$ ，且 $P(B)>0$ ，则对任何 $A\in\mathscr{F}$ ，定义
$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$
为条件概率.

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2026/3/3 07:54

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24ea1-feat(note): update note于 2026/3/3

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