外观
Lesson 1 简介
约 1133 字大约 4 分钟
2026-02-28
评价方式是,平时作业 20%,期末考试 80%. 参考书是《大学数学:随机数学》(第二版) 和《随机数学引论》.
教学日历:
- 第一章:概率与概率空间 (9 课时)
- 第二章:离散型随机变量 (12 课时)
- 第三章:随机徘徊、Poisson 分布 (9 课时)
- 第四章:连续性随机变量 (9 课时)
- 第五章:Brown 运动、极限定理 (6 课时)
- 习题课 (8 课时)
习题课时间:第 6、11、14、16 周各上一次,在周五第六大节,地点待定.
作业不能迟交,不能抄袭,但是实际上已经把参考答案发给大家了.
概率论简介
提示
老师扯了两小时的淡终于开始讲课了... 从课程扯到社会问题 ww
/Example/
23 个人有两人同天生日的概率?
1−36523365×364×⋯×343≈50.73%
这很反直觉:有一半的概率两人同天生日.
/Example/
三扇门,第一步选一个门,主持人开另外两扇门中一扇空门,要不要改变选择?
应该改变选择 —— 本质上是信息熵的变化使得选择必须被改变.
/Example/
一副没有大小王的扑克牌,出现同花、顺子 (5 张)、葫芦 (3 带 1 对) 的概率分别是多少?
同花 (flush) 的概率:
C5254C135≈0.198%
当然如果是德州扑克,也就是 7 选 5,其概率会 significantly 增加.
顺子 (straight) 的概率:
C52510×54≈0.394%
葫芦 (fullhouse) 的概率:
C52513×12×C43×C42≈0.144%
概率论发源于 Pascal 和 Fermat,他们讨论了两个问题:
赌资分配问题:两个赌徒 A、B 事先约定进行若干局的公平赌博 (即每局获胜的机会都是 1/2,双方所出的赌资也一样),谁先赢到 s 局,谁就把所有的钱全部拿走. 现在因为特殊原因,赌局无法持续,此时 A 赢了 s1 局,B 赢了 s2 局 (s1<s,s2<s),问应该如何分配赌资才算公平.
骰子游戏:玩家连续掷 4 次骰子,如果其中没有 6 点出现,玩家赢,如果出现一次6点,则赌场赢. 长期来看,赌场可以赢钱,而玩家会输钱,由于赌场以此为生,大家也接受了这种现象. 为了使游戏更刺激,规则发生了变化,玩家用 2 个骰子连续投掷 24 次,不同时出现 2 个 6 点,玩家赢,否则赌场赢. 大家想当然的认为,赌场是可以赢的,结果事实相反,赌场长期处在亏损的状态.
从这两个问题开始发展起概率论,
- Huygens,《论赌博中的计算》将概率论发展为一个较为完整的公理体系;
- Jacob Bernoulli,《猜度术》,提出 Bernoulli 定理;
- De Moiver,《机遇论》,提出乘法法则和正态分布;
- Buffon,《或然性算数实验》提出著名的 Buffon 问题,引入了几何概型;
- Bayes,《论机会学说问题的求解》,提出 Bayes 定理最早的统计推断程序;
- Laplace,《分析概率论》,给出概率的古典定义,引进生成函数论和特征函数论,同时对误差理论和最小二乘法做出巨大贡献;
- Gauss 发现最小二乘法,解释了正态分布的 Gauss 曲线;
- Poisson 继承老师 Laplace 的工作,提出 Poisson 分布,推广 Bernoulli 定理,发展出大数定理;
- Chebyshev 推广 De Moiver-Laplace 极限定理,建立中心极限定理,提出大数定律;
- 现代概率论已经公理化,称为测度概率论. 随机过程也有相应的发展,比如 1953 年 Doob 给出了「鞅」的初期理论基础.
随机事件与概率
把实验的每一种可能结果称为一个基本事件 (或者说,样本点),称所有基本事件的全体为该实验的样本空间,记为 Ω.
Ω 的一个子集 A 看作一个随机事件,ω 称为一次单独的随机试验.
一次实验中,得到结果 ω∈Ω,若 ω∈A,那么事件 A 发生了;反之没发生. 因此 Ω 为必然事件,∅ 为不可能事件.
按照「可能性 / 可能的结果总数」的算法计算概率,称为古典概型.
更新日志
2026/2/28 14:50
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