Lesson 1 简介

约 1133 字大约 4 分钟

2026-02-28

评价方式是，平时作业 $20\%$ ，期末考试 $80\%$ . 参考书是《大学数学：随机数学》(第二版) 和《随机数学引论》.

教学日历：

第一章：概率与概率空间 (9 课时)
第二章：离散型随机变量 (12 课时)
第三章：随机徘徊、Poisson 分布 (9 课时)
第四章：连续性随机变量 (9 课时)
第五章：Brown 运动、极限定理 (6 课时)
习题课 (8 课时)

习题课时间：第 6、11、14、16 周各上一次，在周五第六大节，地点待定.

作业不能迟交，不能抄袭，但是实际上已经把参考答案发给大家了.

概率论简介

提示

老师扯了两小时的淡终于开始讲课了... 从课程扯到社会问题 ww

/Example/

23 个人有两人同天生日的概率？
$1-\frac{365\times364\times\cdots\times343}{365^{23}}\approx50.73\%$
这很反直觉：有一半的概率两人同天生日.

/Example/

三扇门，第一步选一个门，主持人开另外两扇门中一扇空门，要不要改变选择？
应该改变选择 —— 本质上是信息熵的变化使得选择必须被改变.

/Example/

一副没有大小王的扑克牌，出现同花、顺子 (5 张)、葫芦 (3 带 1 对) 的概率分别是多少？
同花 (flush) 的概率：
$\frac{4C_{13}^5}{C_{52}^5} \approx0.198\%$
当然如果是德州扑克，也就是 7 选 5，其概率会 significantly 增加.
顺子 (straight) 的概率：
$\frac{10\times5^4}{C_{52}^5}\approx0.394\%$
葫芦 (fullhouse) 的概率：
$\frac{13\times12\times C_4^3\times C_4^2}{C_{52}^5}\approx 0.144\%$

概率论发源于 Pascal 和 Fermat，他们讨论了两个问题：

赌资分配问题：两个赌徒 A、B 事先约定进行若干局的公平赌博 (即每局获胜的机会都是 $1/2$ ，双方所出的赌资也一样)，谁先赢到 $s$ 局，谁就把所有的钱全部拿走. 现在因为特殊原因，赌局无法持续，此时 A 赢了 $s_1$ 局，B 赢了 $s_2$ 局 ( $s_1 < s$ ， $s_2 < s$ )，问应该如何分配赌资才算公平.
骰子游戏：玩家连续掷 4 次骰子，如果其中没有 6 点出现，玩家赢，如果出现一次6点，则赌场赢. 长期来看，赌场可以赢钱，而玩家会输钱，由于赌场以此为生，大家也接受了这种现象. 为了使游戏更刺激，规则发生了变化，玩家用 2 个骰子连续投掷 24 次，不同时出现 2 个 6 点，玩家赢，否则赌场赢. 大家想当然的认为，赌场是可以赢的，结果事实相反，赌场长期处在亏损的状态.

从这两个问题开始发展起概率论，

Huygens，《论赌博中的计算》将概率论发展为一个较为完整的公理体系；
Jacob Bernoulli，《猜度术》，提出 Bernoulli 定理；
De Moiver，《机遇论》，提出乘法法则和正态分布；
Buffon，《或然性算数实验》提出著名的 Buffon 问题，引入了几何概型；
Bayes，《论机会学说问题的求解》，提出 Bayes 定理最早的统计推断程序；
Laplace，《分析概率论》，给出概率的古典定义，引进生成函数论和特征函数论，同时对误差理论和最小二乘法做出巨大贡献；
Gauss 发现最小二乘法，解释了正态分布的 Gauss 曲线；
Poisson 继承老师 Laplace 的工作，提出 Poisson 分布，推广 Bernoulli 定理，发展出大数定理；
Chebyshev 推广 De Moiver-Laplace 极限定理，建立中心极限定理，提出大数定律；
现代概率论已经公理化，称为测度概率论. 随机过程也有相应的发展，比如 1953 年 Doob 给出了「鞅」的初期理论基础.

随机事件与概率

把实验的每一种可能结果称为一个基本事件 (或者说，样本点)，称所有基本事件的全体为该实验的样本空间，记为 $\Omega$ .

$\Omega$ 的一个子集 $A$ 看作一个随机事件， $\omega$ 称为一次单独的随机试验.

一次实验中，得到结果 $\omega\in\Omega$ ，若 $\omega\in A$ ，那么事件 $A$ 发生了；反之没发生. 因此 $\Omega$ 为必然事件， $\varnothing$ 为不可能事件.

按照「可能性 / 可能的结果总数」的算法计算概率，称为古典概型.

更新日志

2026/2/28 14:50

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7bc0d-feat(note): update lot of notes于 2026/2/28

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