微分几何入门与广义相对论 Lesson10

Lesson 10

现在我们要证明有一个特殊的映射：$f:V\to V^{**}$.

在$V^{**}$中找一个矢量$v^{**}$，因为$V^{**}$是$V^*$的对偶空间，所以为了定义这个矢量，我们先要找$V^*$中的一个点$\omega$. 那么$v^{**}(\omega)$是一个实数，为了让这个映射变得“特别”，最自然的想法就是令

$$\begin{aligned} v^{**}(\omega)=\omega(v)\\\\ \end{aligned}$$

（这是因为$V^*$也是$V$的对偶空间，所以$\omega(v)$也是实数）.

现在来看这样一个问题：

（中间插播语言知识，$\tilde{e}$读作e-tilde，其中tilde在字典里面查到的读音是$[\text{tild}]$，但是梁老说美国人读的一般是$['\text{tild}$ə$]$. 可惜我不会打音标. 当然，这玩意中文叫做e-弯.）

$V$中存在基矢$e_\mu$，$V^*$中对应一个对偶基矢$e^{\mu*}$. 但是如果一开始选另一个基矢$e_\mu'$，则对应$e'^{\mu*}$，这说明一个基底变换对应一个对偶的基底变换.

这就引出了今天的claim2，探究对偶基底变换的问题.

Claim 2

$$\begin{aligned} e'_\mu&=A^\nu_{\,\,\mu} e_\nu\\\\ \Longrightarrow\quad e'^{\mu*}&=\widetilde{(A^{-1})}_\nu^{\,\,\mu} e^{\nu*}\\\\ \end{aligned}$$

其中$A^\nu_\mu$是个矩阵，$\tilde{A}$为转置，$A^{-1}$为逆.

/proof/

让矢量作用于作用对象，才能证明矢量等式. 注意区分矩阵上下标的“前后”关系.

$$\begin{aligned} \text{RHS}&=\widetilde{(A^{-1})}_{\nu}^{\,\,\mu} e^{\nu*}(A^\beta_{\,\,\alpha} e_\beta)=\widetilde{(A^{-1})}_{\nu}^{\,\,\mu} A^\beta_{\,\,\alpha} e^{\nu*}(e_\beta)\\\\ &=\widetilde{(A^{-1})}_{\nu}^{\,\,\mu} A^\beta_{\,\,\alpha} \delta_\beta^{\nu}=A^\beta_{\,\,\alpha}\widetilde{(A^{-1})}_{\beta}^{\,\,\mu}\\\\ &=\widetilde{(A)}_\alpha^{\,\,\beta}\widetilde{(A^{-1})}_{\beta}^{\,\,\mu}\\\\ &=(\widetilde{A}\,\,\widetilde{A^{-1}})^{\,\,\mu}_\alpha=\delta_\alpha^{\,\,\mu}\\\\ \text{LHS}&=e'^{\mu*}(e'_\alpha)=\delta^{\,\,\mu}_{\alpha}\\\\ \text{LHS}&=\text{RHS}\\\\ \end{aligned}$$

证毕.

So much for algebra.

回到manifold来，考虑$M$上的一个点$p$，存在切空间$V_p$，对应对偶空间$V^*_p$，这样$p$遍历$M$就可以产生$M$上的一个矢量场，以及一个对偶矢量场.

接下来说一个例子，有关$M$上的对偶矢量场. 考虑一个映射$f:M\to\R$，那么$M$上存在一个对偶矢量场$\text{d}f$.

为了说明$\text{d}f$为什么是一个对偶矢量场，取一个$m$中的点$p$，给出$\text{d}f|_p$的定义. 这个$\text{d}f$作用的对象，是$V_p$中的一个元素$v$. 我们给出定义，跟上面非常类似：

$$\begin{aligned} \text{d}f|_p(v)=v(f)\,,\quad\forall v\in V_p\\\\ \end{aligned}$$

考虑$M$的坐标域$O$中存在坐标$\{x^\mu\}$，把每一个$x^\mu$取作$f$，那么有一组对偶矢量场$\text{d}x^\mu$，让它作用在$p$点的矢量上，则有

$$\begin{aligned} \text{d}x^\mu(\frac{\partial}{\partial x^\nu})=\frac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu}=\delta^\mu_{\,\,\nu}\\\\ \end{aligned}$$

这就产生了一个“对偶坐标基”，它是与坐标基矢对偶的.

Claim 3

$$\begin{aligned} \text{d}f=\frac{\partial f}{\partial x^\mu}\text{d}x^\mu\\\\ \end{aligned}$$

左边的$f$是“绝对的”标量场，而右边的$f$是取定坐标之后的某一个多元函数.

在学完对偶矢量场之后，我们可以重新用对偶矢量来看上面的这个等式. （选读）

（后面在扯养生之道，可叹十九年过去，物是人非…讲到我们要把知识从头到尾地串联起来，和以前的内容联系，找到知识的“根”.）

$M$上的矢量有：

$$\begin{aligned} v=v^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu}=v'^{\nu}\frac{\partial}{\partial x'^\nu}\\\\ \end{aligned}$$

其对偶矢量满足：

$$\begin{aligned} \omega&=\omega_\mu\text{d}x^\mu=\omega_\nu'\text{d}x'^{\nu}\\\\ \Longrightarrow\quad\omega'_\nu&=\frac{\partial x^\mu}{\partial x'^{\nu}}|_p\,\,\omega_\mu\\\\ \end{aligned}$$

So much for today.