微分几何入门与广义相对论 习题1

本文最后更新于 2024年8月26日 中午

微分几何入门与广义相对论 习题1

准备自己做一遍,然后看从网上找来的答案.

1.试证AB=A(XB)A-B=A\cap(X-B)A,BX\forall A,B\subset X.

/proof/

AB={xxA,xB}={xxA}{xxB}=A(XB)\begin{aligned} A-B&=\{x|x\in A,x\notin B\}=\{x|x\in A\}\cap\{x|x\notin B\}\\\\ &=A\cap(X-B)\\\\ \end{aligned}

至此得证.

2.试证X(BA)=(XB)AX-(B-A)=(X-B)\cup AA,BX\forall A,B\subset X.

/proof/

X(BA)={xx(BA)}={xx{xxB,x∉A}}={xx(XB)xA}=(XB)A\begin{aligned} X-(B-A)&=\{x|x\notin(B-A)\}\\\\ &=\{x|x\notin\{x|x\in B,x\not\in A\}\}\\\\ &=\{x|x\in(X-B)或x\in A\}\\\\ &=(X-B)\cup A\\\\ \end{aligned}

至此得证.

3.用“对”或“错”在下表填空:

f:RRf:\R\to\R是一一的是到上的
f(x)=x3f(x)=x^3
f(x)=x2f(x)=x^2
f(x)=exf(x)=e^x
f(x)=cosxf(x)=\cos x
f(x)=5,xRf(x)=5,\forall x\in\R

/solution/

f:RRf:\R\to\R是一一的是到上的
f(x)=x3f(x)=x^3
f(x)=x2f(x)=x^2
f(x)=exf(x)=e^x
f(x)=cosxf(x)=\cos x
f(x)=5,xRf(x)=5,\forall x\in\R

感想:“一一”就是自变量和因变量一一对应,不会一对二;“到上”就是因变量的所有取值都对应至少一个自变量.

4.判断下列说法的是非并简述理由:

(a) 正切函数是由R\RR\R的映射;
(b) 对数函数是由R\RR\R的映射;
© (a,b]R(a,b]\subset\RTu\mathscr{T}_u衡量是开集;
(d) [a,b]R[a,b]\subset\RTu\mathscr{T}_u衡量是闭集.

/solution/

(a) 错. 因为x=π/2+kπ(kZ)x=\pi/2+k\pi(k\in\Z)时,tan\tan函数没有取值.
(b) 错. 因为ln\ln函数的定义域是(0,+)(0,+\infty).
© 错. 因为(a,b](a,b]不能表示为有限个开区间之并.
(d) 对. 因为[a,b][a,b]的补集是(,a)(b,+)(-\infty,a)\cap(b,+\infty),为有限个开区间之并.

5.举一反例证明命题“(R,Tu)(\R,\mathscr{T}_u)的无限个开子集之交为开”不真.

/proof/

考虑开子集(开区间)(1n,1n)(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}),当nn遍历N+\N^+时,构成无限个开子集. 这些开子集之并为

n=0(1n,1n)={0}\begin{aligned} \bigcap_{n=0}^{\infty}(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})=\{0\}\\\\ \end{aligned}

{0}\{0\}的补集(,0)(,+)(-\infty,0)\cap(-,+\infty)为有限个开子集之并,所以是开子集,这说明{0}\{0\}是闭集,这就构成一个命题“(R,Tu)(\R,\mathscr{T}_u)的无限个开子集之交为开”的反例,于是证明了这个命题不真.

6.试证§1.2\text{\S}1.2例5中定义的诱导拓扑满足定义1的3个条件.

先回顾一下例5和定义1:

例5中的定义是,对于拓扑空间(X,T)(X,\mathscr{T})的子集AA,其诱导拓扑S\mathscr{S}

S={VAOT,V=AO}\begin{aligned} \mathscr{S}=\{V\subset A|\exist O\in\mathscr{T},V=A\cap O\}\\\\ \end{aligned}

而定义1指的是拓扑必须满足的三个条件:

(a) X,TX,\varnothing\in\mathscr{T}
(b) 若OiT,i=1,2,,nO_i\in\mathscr{T},i=1,2,\cdots,n,则ni=1OiT\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}}O_i\in\mathscr{T}.
© 若OαT,αO_\alpha\in\mathscr{T},\forall\alpha,则αOαT\underset{\alpha}{\bigcup}O_\alpha\in\mathscr{T}. 注意这里OαO_\alpha的个数没有限制.

/proof/

(a) AA满足条件,只需要找一个原拓扑中的开子集OAO\supset A;而空集则一定满足条件,这是显然的.

(b) 设Vi=AOiV_i=A\cap O_iOiTO_i\in \mathscr{T},则

ni=1Vi=ni=1(AOi)=A(ni=1Oi)\begin{aligned} \underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}}V_i=\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}}(A\cap O_i)=A\cap(\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}}O_i)\\\\ \end{aligned}

ni=1OiT\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}}O_i\in\mathscr{T},所以ni=1ViS\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}}V_i\in\mathscr{S}. 证毕.

© 设Vα=AOαV_\alpha=A\cap O_\alphaOαTO_\alpha\in\mathscr{T},则

αVα=α(AOα)=A(αOα)\begin{aligned} \bigcup_\alpha V_\alpha=\bigcup_\alpha(A\cap O_\alpha)=A\cap(\bigcup_\alpha O_\alpha)\\\\ \end{aligned}

与上面(b)的证明类似,证毕.

7.举例说明(R3,Tu)(\R^3,\mathscr{T}_u)中存在不开不闭的子集.

/solution/

考虑某个开球,挖去球心,如(0,1)3(0,1)^3,其补集为{0}[1,+)\{0\}\cap[1,+\infty),并不是开集,所以这个集不是闭集;而这个开球已经被挖去球心,所以也不是开球,也就不是Tu\mathscr{T}_u下的开集.
综上所述,这个集就是题中要求的不开不闭的子集.

8.常值映射f:(X,T)(Y,S)f:(X,\mathscr{T})\to(Y,\mathscr{S})是否连续?为什么?

/solution/

分析一下,假设BYB\subset YBSB\in\mathscr{S},则f1[B]f^{-1}[B]必须满足f1[B]Xf^{-1}[B]\subset Xf1[B]Tf^{-1}[B]\in\mathscr{T}.

这时可以分类讨论,若常值bBb\in B,则f1[B]=XTf^{-1}[B]=X\in\mathscr{T};若常值bBb\notin B,则f1[B]=Tf^{-1}[B]=\varnothing\in\mathscr{T},这证明映射是连续的.

9.设T\mathscr{T}为集XX上的离散拓扑,S\mathscr{S}为集YY上的凝聚拓扑,
(a) 找出从(X,T)(X,\mathscr{T})(Y,S)(Y,\mathscr{S})的全部连续映射;
(b) 找出从(Y,S)(Y,\mathscr{S})(X,T)(X,\mathscr{T})的全部连续映射.

/solution/

(a) 这时,YY中的开集只有\varnothingYY本身,要求逆像对应XX中的任何一个子集即可. 任何一个映射都能满足条件.

(b) 常值映射可以满足条件.

证明其他映射不满足条件:假设存在x,yg[Y]x,y\in g[Y]xyx\neq y,则取O={x}O=\{x\},有g1[O]=g1[{x}]Sg^{-1}[O]=g^{-1}[\{x\}]\notin\mathscr{S},于是只能为常值映射.

10.试证明定义3a与3b的等价性.

定义3a:设(X,T)(X,\mathscr{T})(Y,S)(Y,\mathscr{S})为拓扑空间. 映射f:XYf:X\to Y称为连续的(continuous),若f1[O]Tf^{-1}[O]\in\mathscr{T}OS\forall O\in\mathscr{S}.

定义3b:设(X,T)(X,\mathscr{T})(Y,S)(Y,\mathscr{S})为拓扑空间. 映射f:XYf:X\to Y称为在点xXx\in X处连续的,若\forall满足f(x)Gf(x)\in G'GSG'\in\mathscr{S}GT\exist G\in\mathscr{T}使xGx\in Gf[G]Gf[G]\subset G'. f:XYf:X\to Y称为连续的,若它在所有点xXx\in X上连续.

/proof/

若映射满足定义3a:取(Y,S)(Y,\mathscr{S})开子集OO'中的元素f(x)f(x),有f1[O]=OTf^{-1}[O']=O\in\mathscr{T},元素xx一定属于OOO\subseteq O,而且对于任一元素xx均有上述事实成立,所以定义3b被满足;

若映射满足定义3b:对于任一一点xXx\in X,存在一个xGx\in Gf[G]Gf[G]\subset G',遍历所有的xGx\in G,则f(x)Gf(x)\in G'被遍历一遍,有f[G]=Gf[G]=G'. 所以定义3a被满足.

综上所述,证毕.

11.试证任意开区间(a,b)R(a,b)\subset\RR\R同胚.

/proof/

构造一个满足条件的映射即可,可以是:

tan(πbaxb+abaπ2)\begin{aligned} \tan(\frac{\pi}{b-a}x-\frac{b+a}{b-a}\frac{\pi}{2})\\\\ \end{aligned}

xx遍历(a,b)(a,b)时,tan\tan函数的宗量遍历(π2,π2)(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}),整个函数的值遍历R\R. 这个函数是一个初等函数,在ε-δ\varepsilon\text{-}\delta定义下是连续的. 这就证明了任意开区间(a,b)R(a,b)\subset\RR\R同胚.

12.设X1X_1X2X_2R\R的子集,X1=(1,2)(2,3)X_1=(1,2)\cup(2,3)X2=(1,2)[2,3)X_2=(1,2)\cup[2,3). 以T1\mathscr{T}_1T2\mathscr{T}_2分别代表由R\R的通常拓扑Tu\mathscr{T}_uX1X_1X2X_2上的诱导拓扑. 拓扑空间(X1,T1)(X_1,\mathscr{T}_1)(X2,T2)(X_2,\mathscr{T}_2)是否连通?

/solution/

拓扑空间(X1,T1)(X_1,\mathscr{T}_1)不连通. 由诱导拓扑定义,(1,2)T1(1,2)\in\mathscr{T}_1,所以区间(1,2)(1,2)是一个开集,而其补集(2,3)T1(2,3)\in\mathscr{T}_1,所以它又是一个闭集,这说明拓扑空间(X1,T1)(X_1,\mathscr{T}_1)有除X1X_1\varnothing之外的既开又闭的子集,不连通.

拓扑空间(X2,T2)(X_2,\mathscr{T}_2)连通. 这个网上的证明我没有看懂…但是我自己是因为没有找到反例才得出的结论.

13.任意集合XX配以离散拓扑T\mathscr{T}所得的拓扑空间是否连通?

/solution/

显然不连通. OT\forall O\in\mathscr{T}都有XOTX-O\in\mathscr{T}.

14.设ABA\subset B,试证:

(a) AˉBˉ\bar{A}\subset\bar{B};(提示:ABA\subset B表明Bˉ\bar{B}是含AA的闭集.)
(b) i(A)i(B)i(A)\subset i(B).

/proof/

(a) ABBˉAˉBˉA\subset B\subset\bar{B}\Longrightarrow\bar{A}\subset\bar{B}.

(b) i(A)ABi(A)i(B)i(A)\subset A\subset B\Longrightarrow i(A)\subset i(B).

都是用定义证明的.

15.试证“xAˉx\in\bar{A}\Longleftrightarrowxx的任一邻域与AA之交集非空”. (对\Rightarrow证明的提示:设OTO\in\mathscr{T}OA=O\cap A=\varnothing,先证AXOA\subset X-O,再证(利用闭包的定义)AˉXO\bar{A}\subset X-O.)

/proof/

先证\Rightarrow:假设存在OOxx的开邻域,且OA=O\cap A=\varnothing,那么一定有AXOA\subset X-O,又因为OTO\in\mathscr{T},所以XOX-O是闭集,所以AˉXO\bar{A}\subset X-O,即有xXOx\in X-OOOxx的开邻域矛盾,所以假设不成立,\Rightarrow证毕.

再证\Leftarrow:假设xAˉx\notin\bar{A},那么xXAˉx\in X-\bar{A},显然这是一个开集. 所以一定存在一个xx的开邻域OA=O\cap A=\varnothing,与题设矛盾,所以假设不成立,\Leftarrow证毕.

16.试证R\R不是紧致的.

/proof/

找到反例即可. 可以设定一个开覆盖{(1n,1n)}\{(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})\},其中nN+n\in\N^+. 这个开覆盖没有有限子覆盖,证毕.


微分几何入门与广义相对论 习题1
https://physnya.top/2024/08/24/微分几何入门与广义相对论 习题1/
作者
菲兹克斯喵
发布于
2024年8月24日
更新于
2024年8月26日
许可协议