微分几何入门与广义相对论 Lesson9

Lesson 9

从这一次开始，决定不以教材为主体，而是以课程为主体来记笔记.

这一次课的主题是“答疑切矢，对偶空间、轨道与同构”，因为有一部分已经记录在我很久之前写的、已经成为残篇的《微分几何入门与广义相对论笔记 Chapter2》里面了，所以这里的笔记从课程中间开始.

Dual（“对偶”） Vector Fields

考虑有一个矢量空间$V$，存在一个线性映射$\omega:V\to\R$，这个$\omega$叫做$V$上的对偶矢量. $V$上所有对偶矢量的集合，叫做$V$的对偶空间，记作$V^*$

我们把一个东西称作space的时候，一般就是说这个set有了结构. 这个结构有：

/Claim/ $V^*$是矢量空间，且$\dim V^*=\dim V$.

/Proof/ 可以对$V^*$定义加法、数乘和零元：

$$\begin{aligned} &(\omega_1+\omega_2)(v)=\omega_1(v)+\omega_2(v)\,,\quad\forall\omega_1,\omega_2\in V^*\,,\quad v\in V;&\\\\ &(\alpha\omega)(v)=\alpha\cdot\omega(v)\,,\quad\forall\omega\in V^*\,,\quad v\in V\,,\quad\alpha\in\R;&\\\\ &\underline{0}(v)=0\in\R\,,\quad\forall v\in V.&\\\\ \end{aligned}$$

这样看来$V^*$确实是矢量空间.

问题在于dimension. 学一个以后非常有用的东西：想证维数一样，就是证基底的个数相同. 要注意的是，这里的基底不是坐标基底，我们还在纯代数的范畴，坐标基底要在manifold上指定坐标域才存在.

设$\{e_\mu\}$是$V$的一组基矢，用下面的式子定义$V^*$的$n=\dim V$个特别元素$\{e^{\mu*}\}$：

$$\begin{aligned} e^{\mu*}(e_\nu)=\delta^{\mu}_{\,\nu}\,,\quad\mu,\nu=1,\cdots,n\\\\ \end{aligned}$$

这看起来只定义了$e^{\mu*}$对$V$中基矢的作用，但是$e^{\mu*}$的作用是线性的，所以实际上已经定义了对$V$中任一元素的作用. 现在只需证明$\{e^{\mu*}\}$是基矢即可. 令

$$\begin{aligned} \forall\omega\in V^*\,,\quad\omega_\mu=\omega(e_\mu)\,,\quad\mu=1,\cdots,n\\\\ \end{aligned}$$

（注意这里$\mu$为下指标，以后所有矢量分量记作上指标，矢量作用对象记作下指标，这样的分法特别有用.）

对偶矢量等式实际上是映射的等式，所以代入任意一个$v$就易证：

$$\begin{aligned} \omega=\omega_\mu e^{\mu*}\\\\ \end{aligned}$$

所以$\{e^{\mu*}\}$是基底，叫做对偶基底. 这就证明了维数相等.

回顾“同胚”和“微分同胚”的概念，我们说两个矢量空间是同构的，若其间存在一一到上的线性映射（同构映射）.

由于$V$和$V^*$维数相同，是同构的，找同构映射不难找到. 如，$\{e_\mu\}$是$V$的基底，$\{e^{\mu*}\}$是其对偶基底，那么它们之间定义的线性映射就是一个同构映射. 这里就会有很多同构映射，它们都是不特殊的，除非另外再加上一些结构.

接下来想想，$V^*$是一个矢量空间，则一定有一个对应的对偶空间$V^{**}$，在这时$V$与$V^{**}$之间就有一个“自然的、与众不同的”同构映射.

接下来梁老卖了个关子，等下一节课再讲“与众不同”的事.