计算专题1 拉格朗日点相关问题的一些计算

前言

临近高考，感觉自己找不到学习的感觉，自从攀登计划通过以来一直处于浑浑噩噩的状态中，计算能力也大幅下降了——今天把拉格朗日点的微扰问题拿出来算了一遍，发现自己的能力退化很严重. 于是我决定，在这段时间做一些对以前竞赛中非常难以计算的问题做一些回顾（其实也是经典物理邻域的一些重要的计算），让自己重温之前计算的手感，同时在高考考前保持对学习的热情.

至于“这段时间”持续多久，还是一个需要商讨的问题. 目前我的想法是下周（二模前一周）回学校晚自习，但是还不能确定，不过既然已经开了“计算专题”的头，我应该会坚持下去，至少把笔记本中的难算且有意义的问题都重新算一遍.

这个专题的要求是，尽量地将计算中的所有过程事无巨细地展现出来，以便之后的查阅以及对计算错误的查验.

话不多说，要开始了.

问题描述

如图所示，取两个较大天体围绕质心的旋转参考系，建立直角坐标系，坐标原点定为两个较大天体的质心，两个较大天体位于$x$轴上，间距为$L$.

设转动角速度为$\Omega=\sqrt{\frac{G(m_1+m_2)}{L^3}}$，两星体质量之比为$m_2/m_1=\alpha<1$. 求第三个质量极小（不考虑其质量对其他星体的影响）的星体所能平衡的位置（拉格朗日点），以及其受到微扰之后的运动.

拉格朗日点位置的计算

首先肯定是计算各个拉格朗日点的位置.

为了得到这个问题的结果，先列出全空间的势能及其一阶、二阶导数.

无量纲化：

量纲恢复时只需按比例乘上一些对应物理量即可，之后的运算大多都会是无量纲的.

各阶导数：

至此，准备工作结束.

$L_1$点与$L_2$点

我们认为$\alpha\ll1$. 在计算$x$轴上的拉格朗日点时，我们均采用这一近似.

这时$y=0$，所以$\partial V/\partial y=0$，我们只需令$\partial V/\partial x=0$即可.

通过观察发现，在$x=\frac{1}{\alpha+1}$附近，$\partial V/\partial x$存在零点，所以可以取$x=\frac{1}{\alpha+1}+\delta$，$\delta\ll1$进行近似求解.

所以$L_1$点坐标为$(\frac{L}{1+\alpha}+(\frac{\alpha}{3})^{1/3}L\,,\,0)$（量纲已恢复）.

类似地，可以写出$L_2(\frac{L}{1+\alpha}-(\frac{\alpha}{3})^{1/3}L\,,\,0)$.

我们发现，$\delta$的量级是大于$\alpha$的量级的，这一点在之后会用到.

$L_3$点

同样根据对$\partial V/\partial x$这一函数的观察，在$x=-1-\frac{\alpha}{1+\alpha}$附近也存在零点，可以使用与上面一样的手段进行求解. 令$x=-1-\frac{\alpha}{1+\alpha}-\delta$，$\delta\ll1$.

此时的$\delta$又与$\alpha$同阶了，这也是需要关注的.

所以$L_3(-\frac{\alpha L}{1+\alpha}-L+\frac{7}{12}\alpha L\,,\,0)$.

至此，$x$轴上的拉格朗日点位置已经全部求解完毕，值得注意的是这里的三个解均是近似结果.

$L_4$点与$L_5$点

令$\partial V/\partial x=\partial V/\partial y=0$. 这时观察下面两式：

可以发现两个分母均为1时方程组成立，所以得到简化之后的方程组：

解得$x=\frac{1-\alpha}{2(1+\alpha)}$，$y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$. 这样我们就获得了$L_4$、$L_5$两点的坐标. 可以发现它们与两个大天体分别构成等边三角形.

小星体在拉格朗日点处微扰下的运动

$L_1$点与$L_2$点

在分析小星体的运动时，我们需要考虑势能的二阶导数，而二阶导数的形式已经在前面的过程中给出.

对于$L_1$点，有

考虑Coriolis力的影响，设在$x$，$y$方向上分别偏离无量纲小量$\xi$，$\eta$，则可以列出动力学方程（无量纲化的）：

将形如$Ae^{\lambda t}$形式的解代入上述方程，得到特征根方程（量纲在此时还原）：

要使常数$A_1$，$A_2$有无穷多组解，则方程组的系数行列式为零.

这时我们便得到了$L_1$点附近微扰运动的特征根. 这里$\lambda$的实部表征衰减或发散运动，虚部表征稳定的震动，而两个解意味着两种不同的运动模式.

类似地，可以得到$L_2$点附近微扰运动的特征根：

$L_3$点

开算：

（在上面的计算过程中，我深刻地认识到了“符号”的重要性. 同时，之前一直几乎被我们忽略的$\frac{1}{1+\alpha}$这一因子在$L_3$点附近微扰运动的求解中起到了关键性的作用，这是因为在这里微扰产生的势能二阶导数是$O(\alpha)$一阶的量.）

同样会有

所以$L_3$点处的稳定成分$\lambda_1^2=\Omega^2(-1-\frac{7}{4}\alpha)$，不稳定成分$\lambda^2_2=\Omega^2\cdot\frac{21}{8}\alpha$.

$L_4$点与$L_5$点

注意到这时近似已经取消了. 我们的计算得出

所以有

即得到运动状态. 要稳定，必须有上述方程的$\Delta>0$，方程两个解均表征衰减运动，此时$\alpha\in(0,\frac{25-\sqrt{621}}{2})\cup(\frac{25+\sqrt{621}}{2},+\infty)$.

$L_5$点显然与之相同.

一些想法

引潮力法计算$L_1$点，$L_2$点与$L_3$点有关的问题

先简介引潮力：对于二体引力系统（相互绕转的旋转参考系中），质点$m$的平衡位置为$r_0$，则若在$x$，$y$，$z$方向上分别微扰$\xi$，$\eta$，$\zeta$，则在三个方向上有力

从三者的系数来看，可以发现是符合拉普拉斯方程的.

用这个方法来重新计算$L_1$点，$L_2$点和$L_3$点有关的问题（因为$L_4$点和$L_5$点的计算是比较严格的，也没必要用这种方法来尝试）.

$L_1$点和$L_2$点是对称的，有

计入Coriolis力，得到

这样的出来的结果是$\lambda^2_{1,2}=(1\pm2\sqrt{7})\Omega^2$，比原来的方法多近似了一阶.

对于$L_3$点，则有

最后解得$\lambda_1^2=(-1-\frac{7}{4}\alpha)\Omega^2$，$\lambda^2_2=\frac{21}{8}\alpha\Omega^2$. 这个结果和之前一样.

拉格朗日点个数问题

我们算出来的拉格朗日点是全部的拉格朗日点吗？有更多点吗？这是我之前就在思考的问题. 借助GeoGebra，我画出了$x$轴上的$V$分布情况，并借此来做出自己的一些分析.

如图所示，采用的数据是$\alpha=0.01$. 显然这个函数是只有3个极值点的，且均不稳定，我们算出来的所谓稳定运动成分是考虑了Coriolis力的结果.

事实上，$L_4$点和$L_5$点的定性性质也可以通过作图看出，但是限于技术条件就先作罢.

总结与反思

首先我是深刻体悟到了自己水平的下降. 之前算这种规模的模型顶多一个下午，而且犯过一次的错误（开平方根的正负号问题）不会再犯一次；现在则是用了两个晚上，出错率也很高. 这些技能还是常练常新，自我精进的道路还很遥远. 但是收获也还是有的，因为“必将活用于下一次”！

然后在计算的过程中也回想起之前在竞赛组里的很多时光. 当时算拉格朗日点至少算过三遍，组内每个人都在这个问题上花过不少时间，也是当时组内的周刊比较出色的几篇合作文章之一的选题，现在回想起那些面红耳赤讨论的景象真是感慨万千……

这个专题还会继续下去，可能下一次是算平行主光轴光线的像散（这才是真正的噩梦啊）之类的问题. 希望自己能继续通过这种方式得到收获，实现进步.

以上.

附录1

谢给我发来PKU 2022年力学免修考试的一个题目，是与我在上面分析的问题有关的，现在来就此题扩充一些上面的内容.

1.显然这个问题是具有轮换对称性的，所以只需要取$s_1$来进行示例性的计算.

轮换对称性决定了：

$Q.E.D\quad\square$

2.在题目所述的情况中，有$\abs{\vec{s_1}}=\abs{\vec{s_2}}=\abs{\vec{s_3}}=s$，$\vec{G}=0$. 所以上面公式简化为

这时就可以写出关于$\vec{x_i}$的方程了. 需要注意的是，三个动力学方程中，一定有一个是不独立的，所以这里只写出两个.

但是未知数一共有$\ddot{\vec{x_1}}$，$\ddot{\vec{x_2}}$，$\ddot{\vec{x_3}}$三个，方程的数量不够. 这时只能想到质心本身所包含的方程：

利用第三个方程消去$\vec{x_1}$（$\ddot{\vec{x_1}}$），有

消去$\ddot{\vec{x_3}}$得到：

于是又根据轮换性，得到了

其中，$M_i=m\abs{\vec{x_i}}^3/s^3$，这是一个定值，可以通过建系的方法计算出其值.

3.这种情况下，有

（其实只需要第一个式子就已经够了）

对第一个式子移项并整理成可以对比系数的形式，这时一定要注意正负号.

对比系数可以发现：

最后整理得到：

这是最后计算出来的结果，但是并不确定是否是正确的，所以接下来我们用$L_1$点、$L_2$点与$L_3$点的数据进行计算，验证所得的多项式.

对于$L_1$点，沿用之前计算坐标时使用的坐标系，有以下数据：

考虑近似$m_3\ll m_2\ll m_1$，在多项式中忽略$m_3$，将$m_2$写为$\alpha$，$m_1$写为$1$. 得到：

这说明对于$L_1$点而言，这个多项式在$O(\alpha^{1/3})$阶下是正确的.

对于$L_2$点，是与$L_1$点对称的，所以$L_1$点处多项式成立即意味着$L_2$点亦成立.

接下来计算$L_3$点. 这时有：

带入到多项式中，注意这一次只能近似到$O(\alpha)$阶项.

因此多项式对于$L_3$点在最低阶近似下仍然正确. 所以我们的答案经过了验证，是正确的答案.

至此，题目就已经做完了，可以从中看出拉格朗日点，或者说是限制性三体问题的一些更一般的性质.