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本学期第一个专业课，所以单纯想多打一点字.

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作业的安排：一般是每周布置一次，内容为本周老师上课讲到的内容，在一周之内线上或者线下作业箱提交. 迟交酌情扣分.

## 引言

### 统计物理处理的对象

热力学与统计物理是研究大量微观粒子组成的宏观性质的一门学科. 这里的宏观性质分为平衡性质和非平衡性质，我们的课程主要涉及的是平衡性质，最后两周的时间可能涉及一些非平衡性质.

我们看到，热力学和统计力学研究的都是上面这些东西，但是为什么要分为两种学科呢？区别在于热力学直接研究宏观量，建立它们之间的直接联系，不考虑内部结构. 其实一开始热力学的先驱们考虑过内部的结构，但是他们后来发现直接研究宏观量的热力学根本不涉及微观的结构，所以热力学是一个唯像的理论，是非常精确的.

具体来讲，我们通过热力学三定律 + 演绎来研究热力学，这一点和数学很像.

相对应地，统计物理是将宏观性质看作是对应微观量的统计平均，是一种微观理论. 具体而言，我们通过统计理论假设 + 粒子本身的性质来推导宏观性质.

在这门课上，热力学并不是学习的重点，主要以统计力学为主.

### 统计物理的意义

已经学习了理论力学、电动力学和量子力学，为什么还要学统计力学？和其他的内容相比，统计力学是少粒子和多粒子的区别. 对于一个粒子，有自由运动、谐振子 (经典 / 量子)、氢原子、盒子当中的粒子 (有限深势阱) 等等，这些是容易求解的内容；对于两个粒子，我们有两体运动问题，只有极少数的情况有精确解；到三粒子就是极为棘手的问题，出现混沌现象.

如果我们现在要研究一升水 ($10^{27}$ 个粒子)，问题反而变得容易 —— 因为我们有统计力学. 我们问，「更容易」会不会是因为统计力学「放低了自己的要求」，只要求平均值而不用精确的能谱？但是事实上我们不是放低要求，而是要求完全不同. 即使我们有能力模拟 $10^{27}$ 个粒子的演化，也不会去计算这种模拟，因为没有必要.

多粒子体系提供了很多优秀的性质，这种性质来源于「平均值」. 以最简单的元素 He 为例，有气态、液态、超流态、固态、超固态等等不同的物态，这些性质来源于多粒子的平均. 统计物理提供了描述大量粒子运动的框架 (系综)，同时细节没有那么重要.

当前统计物理仍然有蓬勃的生命力：量子 Hall 效应、Bose-Einstein 凝聚等等前沿内容；也有广泛的应用，包括凝聚态物理、材料科学、软物质、生物物理、化学反应、经济金融、复杂体系、非线性体系、交通复杂性、决策博弈、社会科学、信息网络、计算机模拟、……

以 Phys.Rev. A; B; E 这些杂志为例，近半数文章都和统计物理有关系.

### 统计物理的方法

原理简单 —— 模型精巧 —— 解法多样：解析、微扰计算、数值计算等.

### 要求

多练习，通过应用加深理解. 统计力学的知识面很宽，所以学有余力可以多做一些习题.

参考教材是汪志诚先生的《热力学. 统计物理》，参考书是王城泰先生的《统计物理学》(这本书可能买不到，但是图书馆里面有) 和 Kerson Huang 的 *Statistical Mechanics*、倪军老师自己的 *Principle of Physics: From Quantum Field Theory to Classical Mechanics*.

请大家写作业的时候不要抄习题解答.

分数分布：$20%$ 作业、$30%$ 期中考试、$50%$ 期末考试；如果写小论文，就代替掉期末考试中 $5%$ 的部分. 作业只要完成了就有 $90%$ 的分数，无论对错.

::: danger

我们不说会不会考勤，但是如果人数少到了必须考勤的程度，那么就要考勤了.

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## 热力学

前面说过，这是一个唯象理论，研究宏观量 (温度、熵……)，这里并不需要知道微观结构. 一般而言，我们会先通过统计的方法得到一些必要的宏观量，然后可以通过热力学来推出其他的宏观量.

热力学系统要求是大量微观粒子组成 (当然，如果研究星系级别的内容，未尝不可把星体视作微观粒子)，同时是有限的宏观体系.

::: tip

有人要问边界在哪里：我们一般选择 $100\sim10000$ 作为最低的一个数量边界.

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一些系统的概念：

* 孤立系统：无能量、物质交换
* 封闭系统 (闭系)：无物质交换
* 开放系统 (开系)

平衡态仅针对孤立系统来讨论，指的是宏观性质不再随时间变化的状态. 对于其他的系统，我们也可以谈论平衡态，这个意义上我们是把系统和热源、粒子源合在一起视作孤立系统，谈论这个整体的平衡态. 平衡态的宏观性质用宏观量来描写，也并不是要求完全不变，而是处于动态的平衡之中，标准是平衡时间 $\sim$ 弛豫时间.

平衡态有自由度的概念，表示独立宏观量的数目. 独立的宏观量称为状态参量、其他为 (状) 态函数；另一种分类方式是分为强度量和广延量.

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热平衡原理 (热力学第零定律)：若 A 和 C 处于热平衡，B 和 C 处于热平衡，那么 A 和 B 也处于热平衡.

下面来证明互为平衡的体系有一个共同的物理性质：「温度 $T$」

/Proof/

> A 和 C 平衡：
> $$
> f\_{AC}(p\_A,V\_A;p\_c,V\_c) = 0\Longrightarrow p\_C = F\_{AC}(p\_A,V\_A;V\_C)
> $$
> B 和 C 平衡：
> $$
> f\_{BC}(p\_B,V\_B;p\_c,V\_c) = 0\Longrightarrow p\_C = F\_{BC}(p\_B,V\_B;V\_C)
> $$
> 所以
> $$
> F\_{AC}(p\_A,V\_A;V\_C) = F\_{BC}(p\_B,V\_B;V\_C)
> $$
> 利用热力学第零定律，A 和 B 也平衡，有 $f\_{AB}(p\_A,V\_A;p\_B,V\_B)=0$. 把上面一个方程的 $V\_C$ 看作一个常量，发现存在一个只和系统本身的参量有关的量：
> $$
> g\_A(p\_A,V\_A) = g\_B(p\_B,V\_B)
> $$
> 因此这个量是一个态函数，并且热平衡的两个系统具有相同的这个态函数值，这就是温度.

* 15 世纪时，L. da. Vinci 发明了温度计，来研究永动机.

* 1592 年，Galileo Galilei 发明空气温度计 (用红酒来做示数).

* 1714 年，D. G. Fahrenheit 发明水银温度计和华氏温标.

  华氏温标是以体温作为 $100$ 度，室温作为 $0$ 度.

* 1742 年，A. Celcius 发明摄氏温标.

* 1848 年，Thomson, Lord Kelvin 发明绝对温标.

::: tip

碳纳米管可能没有「温度」概念：因为仅仅是一个一维链，它们的微观运动难以描述为温度，所以讨论的时候都说的是环境温度.

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物态方程：如理想气体，
$$
pV = nRT
$$
或者 Van de Waals 方程
$$
\left(p+\frac{an^2}{V^2}\right)(V-nb) = nRT
$$