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全英文专业课.

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COURSE DESCRIPTION

请用英语在微信群里面提问. 所有的课程文件都在学校云盘里面，只有在交作业的时候会用网络学堂. 每节课后会发 `html` 格式的 note.

7 modules：

* Light

* Matter under astrophysical conditions

  (Extreme conditions)

* Evolution

* Atmospheres

* Birth

  How do stars and planets form

* Exo-planets

* Planet Dynamics

参考书目：

* **Main**: B. O. B. (Big Orange Book —— *Modern Astrophysics*)
* *Stellar Structure and Evolution*
* *Astrophysics of Planet Formation*
* *Dynamics of Planetary Systems*
* *Solar System Dynamics*

`html` note 是 `reveal.js` 写的，在老师的主页上. 另外是 Princeton 的天文学讲义，很多课堂问题会来自里面.

分数组成有五个方面：考试、Quiz、Problem Set、Presentation 和 report 里面取一个最高值、前三项里面取一个最高值，都是 $20%$ 分数. 其中 report 是 optional，如果写了就可以代替后两项的分数.

Problem Set：

> 一共六次，一般是一个单元一次.
>
> 不能抄，可以用 AI，但是不能完全没有自己的想法，"use your own words"，当老师提问时你应该能够自己回答出来.
>
> 可以交 `.pdf` 也可以手写，如果是一个格式很棒的 `.pdf` 会有一定加分.
>
> 迟交扣分.
>
> ::: tip
>
> 如果要画图，请优化你的图片，不要上交一些没有标题、scale 奇怪的东西；另外，公式使用标准的格式，不需要写出很具体的数值计算过程.
>
> 课程上会使用 Gaussian Unit System，作业中可以用 SI，但是请 be consistent.
>
> 量纲分析：用来检查方程，或者做简单估计.
>
> > 如果一个质量为 $M$、半径 $R$ 的均匀球状气体在真空中坍缩，求时间.
> >
> > 量纲分析表明：
> > $$
> > t = O\left(\sqrt{\frac{R^3}{GM}}\right)
> > $$
> >
> > ***
> >
> > 估计一头牛的重量. 线度大约是 $1\text{ m}$，密度和水差不多，所以是 $1\text{ t}$ 重左右.
>
> :::

助教会在课外时间办一次 `matplotlib` 的讲座，大家自愿去听.

Research Project：

> 今年的主题关于 MESA. 可以自行选择列表中的 project 主题. 最后两周每一个人都要做自己的 presentation.

## Module 1 LIGHT

首先，我们知道光是一种电磁现象. 整个电磁波谱非常广，从微波到可见光再到 gamma 射线. 天文上比较重要的谱线是 $21\text{ cm}$ 线，由 He 的某一个自旋翻转造成.

Quantum Blocks：所谓的相空间量子化. 我们可以在相空间中的小格子里面放 $F$ 个粒子，如果粒子是 fermion，那么每一个格子只能放 0 或者 1 个粒子，考虑自旋能够多放一个；如果是 boson，那么一个格子可以放任意多个粒子. 一个格子的体积是
$$
\text{d}^3x\text{d}^3p = h^3
$$
现在我们算总的粒子数，应该是
$$
n\text{ photons} = \int\frac{F}{h^3}\cdot\text{d}^3x\text{d}^3p
$$
不对空间积分，我们会得到粒子的空间数密度，
$$
n\_{\text{ph}} = \int\frac{F}{h^3}\cdot\text{d}^3p = \frac{4\pi}{h^3}\int Fp^2\text{d}p
$$
现在需要能动关系. 我们知道对于光子，
$$
E =h\nu,\quad p = \frac{h\nu}{c}\Longrightarrow n\_{\text{ph}} = \frac{4\pi}{c^3}\int F\nu^2\text{d}\nu
$$
现在要知道 $F = F(\nu)$ 是一个什么样的东西. 根据 Boltzmann 统计，光子随着 $\nu$ 的分布应该正比于一个因子，这写成：
$$
P(1)\propto e^{-h\nu/k\_BT} = e^{-x},\quad P(2) \propto P^2(1) = e^{-2x},\quad x = \frac{h\nu}{k\_BT}
$$
对这个数列求和 (相当于做归一化)，获得光子分布函数 (也就是 Bose - Einstein 分布)：
$$
\bar{n} = \frac{\displaystyle{\sum\_{i=0}^\infty ne^{-nx}}}{\displaystyle{\sum\_{i=0}^\infty e^{-nx}}} = \frac{1}{e^x-1}
$$
$F = \pi\cdot\bar{n}$，因为是球面积分过一次的结果. 于是光子空间数密度的谱是
$$
\frac{\text{d}n\_{\text{ph}}}{\text{d}\nu} = \frac{4\pi}{c^3}\cdot\nu^2\cdot\frac{\pi}{e^x-1}
$$
能量密度谱为
$$
u\_\nu = h\nu\cdot\frac{\text{d}n\_{\text{ph}}}{\text{d}\nu} = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\cdot\frac{1}{\displaystyle{e^{h\nu/k\_BT}-1}}
$$
总的能量密度是这个密度谱对 $\nu$ 的积分，
$$
U\_{\text{tot}} = \int u\_\nu \text{d}\nu = \frac{4\sigma\_{\text{sb}}}{c}T^4,\quad \sigma\_{\text{sb}} = \frac{2\pi^5k\_B^4}{15h^3c^2}\quad(\text{Stefan - Boltzmann constant})
$$

> 当然我们知道这个积分并不容易... 大家有兴趣可以下课尝试.

上面算得的 $u\_\nu$ 是一个单位体积内，$\nu\sim\nu+\text{d}\nu$ 之间的光所携带的能量. 现在考虑从这个方块体积的某一个面 (面积 $\text{d}A$) 有光子逃逸出来，在一个短时间 $\text{d}t$ 内、朝着 $\text{d}\Omega$ 空间角方向. 这样的一个分布可以写成
$$
\frac{\text{d}E}{\text{d}A\text{d}t\text{d}\Omega} = \frac{\displaystyle{\frac{1}{2}u\_\nu c}}{2\pi} = \frac{u\_\nu c}{4\pi}\cos\theta
$$

> 其中，分子上的 $1/2$ 来源于只有一半光子向外，另一半是向内的；分母上的 $2\pi$ 来源于 $4\pi$ 立体角内部只有一半是往体积的外部的.

(如果只看法向的话) 这就是黑体辐射的光功率谱，我们称之为 Planck 公式，
$$
I\_\nu = B\_\nu(T) = \frac{2h\nu^3}{c^2}\cdot\frac{1}{e^{h\nu/k\_BT}-1}
$$
下一步对半个立体角和全频率积分，
$$
\begin{aligned}
\frac{\text{d}E}{\text{d}A\text{d}t} &= \int\text{d}\nu\int\_0^{\pi/2}\int\_0^{2\pi}\frac{2h\nu^3}{c^2}\cdot\frac{1}{e^{h\nu/k\_BT}-1}\cdot\cos\theta\sin\theta\text{d}\theta\text{d}\phi\\\\
&= \frac{c}{4\pi}\underset{B\_\nu(T)}{\underline{\int u\_\nu\text{d}\nu}}\cdot2\pi\left(\frac{\sin^2\theta}{2}\right)^{\pi/2}*0\\\\
&= \frac{c}{4\pi}\cdot U*{\text{tot}}\cdot2\pi\cdot\frac{1}{2} = \boxed{\sigma\_{\text{sb}}T^4}
\end{aligned}
$$
这是 Stefan - Boltzmann 定律，对一个球面而言总辐射功率为 $L = 4\pi R^2\cdot\sigma\_{\text{sb}}T^4$.

如果我们观察太阳的辐射功率谱曲线，会发现曲线和标准的黑体辐射曲线并不完全重合，这是因为太阳并不是一个标准的黑体.

$B\_\nu(T)$ 对 $\nu$ 求导，得到 Wien 公式，
$$
\lambda\_{\max} = \frac{0.2898\text{ cm}\cdot\text{K}}{T}
$$
长波下，应该变成 Rayleigh - Jeans 公式，
$$
B\_\nu(T) = \frac{2\nu^2k\_BT}{c^2}
$$
但是 $B\_\lambda(T)$ 并不简单地是将 $\nu = c/\lambda$ 代入，而是应该先变成 $B\_\lambda(T)$ 再近似，最后的结果应该是 $B\_\lambda(T)\sim\lambda^{-4}$.

***

下面我们说一些测量方面的问题.

/Definition/ ($\text{par sec}$ 的定义)

> 我们在一年之中相隔半年的两个时刻观察同一颗恒星，看到它的天球坐标变化了一个角度 $p$，那么就有一个简单的几何关系：
> $$
> \frac{1\text{ A.U.}}{d} = \tan p \approx p
> $$
> 这里的 $d$ 是恒星离我们的距离. $1\text{ par sec}$ 定义为 $p = 1''$ 对应的 $d$，大约是 $3$ 光年左右.

/Definition/ (星等的定义)

> 相对星等 $m$ (magnitude) 定义为
> $$
> m = -2.5\log\_{10}\frac{F}{F\_{\text{ref}}}
> $$
> (这里的 $F$ 是到达地球的光通量 flux) 星等差为
> $$
> m\_1-m\_2 = -2.5\log\_{10}\frac{F\_1}{F\_2}
> $$
>
> ***
>
> 绝对星等 $M$ 定义为：
> $$
> m-M = -2.5\log\_{10}\frac{L/d^2}{L/(10\text{ pc})^2} = 5\log\_{10}\frac{d}{10\text{ pc}}
> $$
> 同时星等在不同的颜色上是不同的，可以通过不同颜色比较来判断恒星的颜色.

终于我们可以开始介绍 Hertzsprung-Russell diagram 图 (HR 图)，这种图以恒星绝对星等或光度为纵轴，光谱类型或色指数为横轴，用来描述恒星的光谱特性.

如图所示：

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![](https://vip.123pan.cn/1845440081/yk6baz03t0l000dc4zvorx9f4wsrcl35DIYxAIFxDda1DGxPDwUzAa==.jpg)

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