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  /ss-yunnan/lecture-4-evolution-explosion-and-nucleosynthesis-of-massive-stars/index.md
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Prof. Marco Limongi, from University of Tokyo

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我们建立了 Stellar Model，这个历史上的模型仅仅是一维的，它包含了 $L$, $P$, $T$, $\rho$, 化学组分等等内容，用几个微分方程来尝试描述. 这个模型中所谓的 input physics 是物态方程以及 EoS、opacity 和 nuclear reaction rates，这些条件和边界条件结合在一起才能够解出整个模型，然后进行 stellar evolution 的模拟.

> 很多都是 [恒星与行星](/star-planet/) 的内容，比如 $\nabla\_{\text{ad}}$ 和 $\nabla\_{\text{rad}}$ 等等.

比较普通的情况是流体平衡，

$$
\frac{\partial P}{\partial m}=-\frac{GM}{4\pi r^4}
$$

另外用理想气体物态方程，$T^3\sim M^2\rho$.

在能量方面，位力定理和能量守恒共同作用给出能量关系.

$$
\left.\begin{aligned}
&\zeta E\_i+E\_g=0,\quad \zeta=3(\gamma-1)>1\\\\
\&L+\frac{\partial W}{\partial t}=0
\end{aligned}\right}
$$

现实的模拟和上述 $T\propto M^{2/3}\rho^{1/3}$ 相差不远. 但是我们从现实的模拟中可以发现一个事实，小质量恒星在生命的末期，其核会进入简并的状态，而大质量的恒星则可能永远无法进入简并状态，而是不断进入下一个阶段，进行新的核反应. 从这个意义上，我们定义「大质量恒星」：它们是那些能够经历所有主要核反应阶段 (也就是 H, He, C, Ne, O, Si 的燃烧阶段) 的那些恒星.

**He burning**：主要反应是

$$
^4\text{He}(2\alpha,\gamma){}^{12}\text{C}(\alpha,\gamma){}^{16}\text{O}
$$

其产物是 $^{12}$C 和 $^{16}$O，这两者能够在产物中平衡. 存在二级反应：

$$
\underbrace{^{14}\text{N}(\alpha,\gamma){}^{18}\text{F}(\beta^+,\nu){}^{18}\text{O}(\alpha,\gamma){}^{22}\text{Ne}}\_{T\lesssim250\text{ MK}}\underset{T\gtrsim 300\text{ MK}}{\underline{(\alpha,n){}^{25}\text{Mg}}}
$$

这里提供了中子. 因此作为一个中子源反应，它能够推动两种中子捕获过程.

```mermaid
flowchart TB
    Seed["Seed nuclei<br/>usually Fe-peak nuclei"] --> Split{"Neutron-capture environment"}

    %% s-process
    Split -->|Low neutron density<br/>long irradiation time| S0

    subgraph S["s-process: slow neutron capture"]
        direction LR

        S0["Stable nucleus<br/>(Z, A)"]
        S1["Neutron capture<br/>(Z, A) + n → (Z, A+1)"]
        S2{"Is the new nucleus unstable?"}
        S3["β⁻ decay occurs before<br/>the next neutron capture<br/>(Z, A+1) → (Z+1, A+1) + e⁻ + ν̄ₑ"]
        S4["Another neutron capture"]
        SB["Branch point:<br/>capture and β⁻ decay<br/>have comparable rates"]
        SE["Nuclei along the<br/>valley of stability<br/>up to Pb and Bi"]

        S0 --> S1 --> S2
        S2 -->|No| S4 --> S1
        S2 -->|Usually yes| S3 --> S0
        S2 -->|At some isotopes| SB
        SB -->|β⁻ decay| S0
        SB -->|neutron capture| S1
        S3 --> SE
    end

    %% r-process
    Split -->|Extremely high neutron density<br/>short, violent event| R0

    subgraph R["r-process: rapid neutron capture"]
        direction LR

        R0["Seed nucleus<br/>(Z, A)"]
        R1["Very rapid sequence<br/>of neutron captures"]
        R2["Extremely neutron-rich nuclei<br/>far from stability"]
        R3["Neutron supply ends<br/>r-process freeze-out"]
        R4["Successive β⁻ decays<br/>Z increases while A stays constant"]
        R5["Stable heavy nuclei<br/>including rare-earth elements,<br/>Au, Pt, Th and U"]

        R0 --> R1
        R1 -->|capture faster than β⁻ decay| R2
        R2 -->|more neutron captures| R2
        R2 --> R3 --> R4 --> R5
    end
```

***

**C burning**：主要反应是

$$
\begin{aligned}
&^{12}\text{C}(^{12}\text{C},\alpha){}^{20}\text{Ne}(\alpha,\gamma){}^{24}\text{Mg}\\\\
&^{12}\text{C}(^{12}\text{C},p){}^{23}\text{Na}\left{\begin{aligned}
&(p,\alpha){}^{20}\text{Ne}\\\\
&(p,\gamma){}^{24}\text{Mg}\\\\
&(\alpha,p){}^{26}\text{Mg}
\end{aligned}\right.
\end{aligned}
$$

$^{22}$Ne 可以经过一个 s-process 合成 $^{25}$Mg，下一步形成 $^{27}$Al. 因此 C 燃烧的主产物是 $^{20}$Ne, $^{23}$Na, $^{24}$Mg, $^{27}$Al，而同时还产生副产物 $^{25}$Mg, $^{26}$Mg 以及 s-process.

***

**Ne Burning**：主产物为 $^{16}$O, $^{24}$Mg, $^{28}$Si；副产物为磷等.

**O Burning**：主产物是硅、硫和氩；副产物有氯、氩和钾.

另一个现象是细致平衡，也就是对于 $i(k,l)j$ 和 $j(l,k)i$，存在 $r\_{ij}=r\_{ji}$.

定义一个描述平衡状态的量：

$$
\varphi(i,j) = \frac{|r\_{ik}-r\_{jl}|}{\max(r\_{ik}-r\_{jl})}
$$

这个量越接近 $1$，就越不平衡；反之，接近 $0$ 表示完全平衡. 可以用这个量标识所有的可能反应，在 Si burning 的开始阶段，两个同位素表上的 quasi-equilibrium clusters 合并为同一个大的 cluster，包含 $A\geqslant 24$ 以上的同位素. 用 Saha 方程和 Maxwell 分布能够写出下面的同位素分布式：

$$
\begin{aligned}
Y(N,Z)
\={}&
(\rho N\_A)^{\delta\_\alpha+\delta\_p+\delta\_n}
\frac{\omega\_{N,Z}}{\omega\_{{}^{28}\mathrm{Si}}}
,2^{-\delta\_p+\delta\_n}
\left\[
\frac{A\_{N,Z}}
{A\_{{}^{28}\mathrm{Si}}A\_\alpha^{\delta\_\alpha}}
\right]^{3/2}
\\\[4pt]
&\times
\left(
\frac{m\_H kT}{2\pi\hbar^2}
\right)^{-\frac{3}{2}
(\delta\_\alpha+\delta\_p+\delta\_n)}
\exp\left(\frac{Q(N,Z)}{kT}\right)
Y({}^{28}\mathrm{Si})
Y\_\alpha^{\delta\_\alpha}
Y\_p^{\delta\_p}
Y\_n^{\delta\_n}.
\end{aligned}
$$

很明显这东西极度复杂.

在 Si burning 之后的最后一个阶段是所谓的 NSE 阶段，也就是 Nuclear Statistical Equilibrium 阶段.

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![](https://1845440081.cdn.123clouddisk.com/1845440081/ymjew503t0n000deidoakbf1qfm70avxDIYxAIFxDda1DGxPDwUzAa==.png)

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* Central burning $\longrightarrow$ formation of a convective zone
* Central exhaustion $\longrightarrow$ shell burning $\longrightarrow$ convective shell
* Local exhaustion $\longrightarrow$ shell burning shifts outward in mass $\longrightarrow$ convective shell

最终爆炸阶段，Fe 核开始不稳定，向中心坍缩到一个非常高的密度，然后反弹，这造成一个冲击波，推动整颗星体爆炸.

爆炸时核反应仍然在发生，但是反应速度很快，对于 explosive burning，

* Si burning：$T\gtrsim4\times 10^9$ K
* O burning：$T\gtrsim 3.3\times10^9$ K
* Ne burning：$T\gtrsim2.1\times10^9$ K
* C burning：$T\gtrsim 1.9\times10^9$ K

在不同的温度区间内，爆炸能在秒量级的时间内形成 equilibrium clusters.

***

定义产率为 $Y\_i/Y\_i^{\text{ini}}$，也就是损失总质量和初态质量之比，在上面作用一个 IMF (我们在之前的 lecture 中讲过，这是 initial mass function, 它是一个经验性的概率分布函数，描述恒星的质量分布. 一般而言它来源于恒星的光度分布，然后再用恒星演化模型来导出)，这样就能得到一个总产率分布.

***

星体旋转会造成额外的 instabilities，在这些情况中需要用更复杂的模型进行处理.

## Practical Exercise

老师直接发了一个虚拟机，封装了编译好的二进制文件 FRANEC.

两个配置文件：

* `network`：里面写好了不同 burning 阶段的可能反应.
* `mosta.par`：最后一个数字表示 mass，可以更改；第一行最后一个 $0$ 改为 $1$ 可以激活对于 rotation 的模拟；第二行最后一个数字是某种步长.

当然，这里仅提供 solar metallicity 的模拟，修改 metallicity 要修改多个文件，不建议执行.

::: tip

Marco 似乎在 `cons` 文件里塞了一个彩蛋，是一首意大利语诗歌.

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