--- url: /self-learn-GR/chapter-3-exercise/index.md --- ## 习题 1 > 说明固有时与坐标时的关系与差别；证明在相对于观测者静止的坐标系中，有 > $$ > \text{d}\tau=\sqrt{-g\_{00}}\cdot\text{d}t > $$ 相对于观者静止的坐标系，线元表达为 $$ \text{d}s^2=g\_{\mu\nu}\text{d}x^\mu\text{d}x^\nu=-c^2\text{d}\tau^2 $$ 观者在这个坐标系中并没有相对速度，所以在一阶下没有空间位移，有 $$ \text{d}s^2=g\_{00}\text{d}x^0\text{d}x^0=c^2g\_{00}(\text{d}t)^2 $$ 这就证明了 $$ \text{d}\tau=\sqrt{-g\_{00}}\cdot\text{d}t $$ ## 习题 2 > 在相对论中并不存在真实的标准尺. 固有距离是在约定光速的基础上，通过测量时间得到的. 证明固有距离的公式： > $$ > \text{d}l^2=\gamma\_{ik}\text{d}x^i\text{d}x^k > $$ 考虑两个相邻的空间点 $A,B$，在 $^{(1)}x^0\_A$ 时刻 $A$ 点发出光信号，在 $x^0\_B$ 时刻到达 $B$ 点，在 $^{(2)}x^0\_A$ 时刻回到 $A$ 点. (均为坐标时) 在坐标系下，光速为 $c$，两段时间差应该都满足方程： $$ \text{d}s^2=g\_{00}(\underline{\text{d}x^0})^2+2g\_{0i}\underline{\text{d}x^0}\text{d}x^i+g\_{ik}\text{d}x^i\text{d}x^k $$ 我们现在发现不知道 $\text{d}s^2$ 是多少，但是学完狭义相对论，想起光传播的路径应当是满足 $\text{d}s^2\equiv0$ 的. 因此可以解这个二次方程，得到 $$ \text{d}x^0=\frac{-g\_{0i}\text{d}x^i\pm\sqrt{(g\_{0i}g\_{0k}-g\_{00}g\_{ik})\text{d}x^i\text{d}x^k}}{-g\_{00}} $$ 同时，$\text{d}x^0=x^0\_B-{}^{(1)}x^0\_A=x^0\_B-{}^{(2)}x^0\_A$，因此 $$ \Delta x^0 = \frac{2\sqrt{(g\_{0i}g\_{0k}-g\_{00}g\_{ik})\text{d}x^i\text{d}x^k}}{-g\_{00}} $$ 但是这是坐标时，不能用来测定固有距离. 在 $B$ 点的瞬时静止系中，应该有 $$ \text{d}\tau = \sqrt{-g\_{00}}\cdot\Delta x^0,,\quad\text{d}l = \frac{1}{2}c\text{d}\tau $$ 所以固有距离应该是 $$ \text{d}l^2=\left(\frac{g\_{0i}g\_{0k}}{g\_{00}}-g\_{ik}\right)\text{d}x^i\text{d}x^k=\gamma\_{ik}\text{d}x^i\text{d}x^k $$ 证毕. ## 习题 3 > 证明在时空中存在同时面的条件为下面的式子： > $$ > \oint\Delta x^0=\oint\left(-\frac{g\_{0i}}{g\_{00}}\right)\text{d}x^i=0,,\quad g\_{0i}=0 > $$ 时空中存在同时面，要求用光信号来同步各点的坐标钟. 和上一题的模型一样，但是定义几个时间段和时刻： $$ \text{d}x^0{}*{(1)}={}^{(1)}x^0\_A-x^0\_B,,\quad\text{d}x^0{}*{(2)}={}^{(2)}x^0\_A-x^0\_B,,\quad x^0\_A=\frac{^{(1)}x^0\_A+{}^{(2)}x^0\_A}{2} $$ 按理来说在坐标系中两段传播时间应当相同，所以同时性意味着 $x^0\_A=x^0\_B$，但是因为时空的弯曲，有 $$ x^0\_A-x^0\_B=\frac{\text{d}x^0{}*{(1)}+\text{d}x^0{}*{(2)}}{2} $$ 要使得存在同时面，应当有 $\text{d}x^0{}*{(1)}+\text{d}x^0{}*{(2)}=0$，化为积分式： $$ \oint\Delta x^0=\oint\left(-\frac{g\_{0i}}{g\_{00}}\right)\text{d}x^i=0 $$ 简单的一个充分条件是 $g\_{0i}=0$，这保证了同时的传递性 (上面仅仅是两个点的同时性得到保证). ## 习题 4 > 证明场方程 > $$ > R\_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g\_{\mu\nu}R=\kappa T\_{\mu\nu} > $$ > 可以写成 > $$ > R\_{\mu\nu}=\kappa\left(T\_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g\_{\mu\nu}T\right) > $$ 两边升一个指标，并缩并： $$ R^\mu{}*\nu-\frac{1}{2}g^\mu{}*\nu R=\kappa T^\mu{}\_\nu\Longrightarrow R-2R=\kappa T\Longrightarrow R=-\kappa T $$ 代入原式，得到 $$ R\_{\mu\nu}=\kappa\left(T\_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g\_{\mu\nu}T\right) $$ ## 习题 5 > 质点的四速度为 > $$ > u^\mu=\frac{\text{d}x^\mu}{\text{d}\tau} > $$ > 试证明 $u^\mu u\_\mu=-1$. 因为要证明的量是一个标量，所以和坐标系选取没关系，选择与质点相对静止的一个参考系，得到 $$ \begin{aligned} u^\mu&=\frac{1}{\sqrt{-g\_{00}}}(c,0,0,0)\\\\ u^\mu u\_\mu&=g\_{\mu\nu}u^\mu u^{\nu} = -c^2 \end{aligned} $$ 选择自然单位制，就是 $u^\mu u\_\mu=-1$. ## 习题 6 > 试证真空中的 Einstein 场方程可以写成 $R\_{\mu\nu}=0$，Ricci 张量为零的时空一定平直吗？ 真空中没能动张量，所以按照习题 4 得到的场方程形式可以写出 $R\_{\mu\nu}=0$. 我并不知道 $R\_{\mu\nu}=0$ 的时空是否是平直的... 下面是我查找资料后的一些内容： :::: warning ::: details DeepSeek 的回答 - 问题是「Ricci 张量为零的时空一定是平直的吗？」 不，**Ricci 张量为零的时空不一定是平直的**. 这是一个在广义相对论学习中非常重要且容易产生误解的概念. 我们可以从以下几个方面来理解： 1. 核心原因：黎曼曲率张量与 Ricci 张量的关系 * **黎曼曲率张量 (Riemann curvature tensor) \*\* $R^\rho{}\_{\sigma\mu\nu}$：这是一个**四阶张量\*\*，它完整地描述了时空的**所有弯曲信息**，包括潮汐力、测地线偏离等所有弯曲效应. 它总共有 20 个独立分量. * **Ricci 张量 (Ricci tensor)** $R\_{\mu\nu}$ ：这是一个**二阶张量**，它由黎曼曲率张量**收缩**而来： $R\_{\mu\nu} = R^\rho{}*{\mu\rho\nu}$ . 它只描述了黎曼曲率张量的一部分信息，具体来说是**物质源引起的时空弯曲** (由爱因斯坦场方程 $G*{\mu\nu} = \kappa T\_{\mu\nu}$ 决定) . 它在四维时空中有 10 个独立分量. **关键点在于**：Ricci 张量为零 ( $R\_{\mu\nu} = 0$ ) 只意味着黎曼曲率张量的那 10 个 "Ricci" 部分为零. 而黎曼曲率张量还有另外 10 个独立分量 (由 **Weyl 张量** 描述) 仍然可以是非零的. 2. Weyl 张量：真空中的纯粹引力 剩下的这 10 个独立分量由 **Weyl 张量 (Weyl tensor)** $C\_{\rho\sigma\mu\nu}$ 描述. Weyl 张量代表了 **真空中的时空弯曲**，即不受局部物质能量影响的引力场部分. 它的性质包括： * 它的一切收缩都为零 (例如 $C^\rho{}\_{\mu\rho\nu} = 0$ )，所以 Ricci 张量为零不会对它产生影响. * 它描述了引力波的传播和宇宙中“纯粹”的引力场 (如黑洞周围的时空弯曲) . 因此，一个时空的 Ricci 张量为零，只意味着在时空中**没有物质的局部存在** (即 $T\_{\mu\nu} = 0$)，但这**并不排除**由远处物质或引力本身产生的弯曲. 这种弯曲完全由 Weyl 张量描述. 3. 一个生动的反例：史瓦西黑洞 (Schwarzschild Black Hole) 史瓦西解描述了真空中一个静态、球对称黑洞外部的时空. 在这个时空 ($r > 0$ 的区域) 中： * **Ricci 张量**: $R\_{\mu\nu} = 0$ (因为它是真空解， $T\_{\mu\nu} = 0$ ) . * **黎曼曲率张量**: $R^\rho{}\_{\sigma\mu\nu} \neq 0$ . 例如，潮汐力会使自由落体的物体在径向被拉伸、横向被压缩. * **时空弯曲**: 显然不是平直的. 它的度规与闵可夫斯基平直度规完全不同，并且具有事件视界等奇特结构. **结论**：史瓦西时空是 Ricci 平坦 ( $R\_{\mu\nu} = 0$ ) 但**不平直**的完美例子. 它的弯曲完全由 Weyl 张量表征. **总结与类比** | 性质 | 平直时空 (Minkowski) | Ricci 平坦但弯曲的时空 (如史瓦西时空) | | :----------------------------------------: | :-----------------------: | :-----------------------------------: | | **黎曼曲率张量** $R^\rho{}*{\sigma\mu\nu}$ | $=0$ (所有分量均为零) | $\neq 0$ | | **Ricci 张量** $R*{\mu\nu}$ | $=0$ | $=0$ | | **Weyl 张量** $C\_{\rho\sigma\mu\nu}$ | $=0$ | $\neq 0$ | | **物质分布** $T\_{\mu\nu}$ | $=0$ | $=0$ (真空) | | **时空性质** | 无任何弯曲 | 存在由 Weyl 张量描述的真空引力场 | **一个简单的类比**：想象一下橡皮膜的表面. * **平直时空**：就像一张完全拉平、没有任何起伏的橡皮膜. * **Ricci 平坦但弯曲的时空**：就像一张被一个重物 (如球) 压弯的橡皮膜，但**我们只看重物不接触的区域**. 在这个区域，没有直接的压力 (相当于 $T\_{\mu\nu} = 0, R\_{\mu\nu} = 0$ )，但膜的表面仍然是弯曲的 (相当于 $R^\rho{}\_{\sigma\mu\nu} \neq 0$ )，这个弯曲是由远处 (重物所在位置) 的“源”造成的. 因此，**Ricci 平坦 ( $R\_{\mu\nu} = 0$ ) 是时空平直 ( $R^\rho{}\_{\sigma\mu\nu} = 0$ ) 的必要但不充分条件**. 要判断时空是否平直，必须检查完整的黎曼曲率张量是否为零. ::: 另外，[triint](https://chaoli.club/index.php/member/13668) 在 [这个帖子](https://chaoli.club/index.php/11308) 里说这个和 Calabi - Yau 流形有些关系，于是我简单去看了看有关的内容 (感觉数学还是比较多，所以没细看). 粗浅的理解是，Calabi - Yau manifold 本身就是 Yau 证明了 Calabi 的猜想「**第一陈类为 R 的紧致的凯勒流形上，是否存在唯一个凯勒度规使得其里奇形式恰好是 R？**」，换言之，这个流形的定义中就包含所谓的 $R\_{\mu\nu} = 0$. 参考文献： \[+1] \[+1]:[长篇科普：卡拉比 — 丘成桐定理，及其物理意义（上）| 知乎](https://zhuanlan.zhihu.com/p/380529964) 我先收藏了不少有关的综述到 Zotero 里，之后再细品一番. :::: ## 习题 7 > 从运动方程 > $$ > \frac{\text{d}}{\text{d}\tau}(mu^\mu)+m\Gamma^\mu{}\_{\alpha\beta}u^\alpha u^\beta=0 > $$ > 出发，用 Newton 近似说明在广义相对论中引力质量就是惯性质量. ​ Newton 近似要求 $g\_{\mu\nu}\to\eta\_{\mu\nu}$，这时 $$ \Gamma^\lambda{}*{\alpha\beta}=\frac{1}{2}\eta^{\lambda\rho}(h*{\alpha\rho,\beta}+h\_{\rho\beta,\alpha}-h\_{\alpha\beta,\rho}) $$ 这里的 $h\_{\alpha\beta}=g\_{\alpha\beta}-\eta\_{\alpha\beta}$，$|h\_{\alpha\beta}|\ll1$. 上述方程的空间分量化为 $$ \frac{\text{d}}{\text{d}\tau}\left(m\frac{\text{d}x^i}{\text{d}\tau}\right)+m\Gamma^i{}\_{00}\left(\frac{\text{d}x^i}{\text{d}\tau}\right)^2=0 $$ 这里的两项，分别代表了动量对时间的导数，以及引力产生的时空弯曲效应，里面的「$m$」分别是惯性质量和引力质量，这就说明了两者是同样的物理量. ## 习题 8 > 证明在弯曲时空中，电磁场方程为 > $$ > \Box A\_\mu-R\_{\mu\alpha}A^\alpha=-\frac{4\pi}{c}J\_\mu > $$ > 其中描述曲率的 Ricci 张量也出现了. 我们已经知道如下的式子： $$ \begin{aligned} F^{\mu\nu}{}*{;\nu} &= \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial}{\partial x^\nu}(F^{\mu\nu}\sqrt{-g})=\frac{4\pi}{c}J^\mu\\\\ F*{\mu\nu} &= A\_{\nu;\mu}-A\_{\mu;\nu} \end{aligned} $$ 后者代入前者，得到 $$ A\_{\nu;\mu}{}^{;\nu}-A\_{\mu;\nu}{}^{;\nu}=\frac{4\pi}{c}J\_\mu $$ 而已知 $$ A\_{\lambda;\mu;\nu}-A\_{\lambda;\nu;\mu}=R^\rho{}*{\lambda\mu\nu}A*\rho-2\Gamma^\rho{}*{\[\mu\nu]}A*{\lambda;\rho} $$ 对后面这个等式两边升 $\nu$ 指标，利用挠率为零并移项，得到 $$ A\_{\lambda;\mu}{}^{;\nu}=A\_{\lambda}{}^{;\nu}{}*{;\mu}+R^\rho{}*{\lambda\mu}{}^\nu A\_\rho $$ 代回，于是 $$ A\_\nu{}^{;\nu}{}*{;\mu}+R^\rho{}*{\nu\mu}{}^\nu A\_\rho-A\_{\mu;\nu}{}^{;\nu}=\frac{4\pi}{c}J\_\mu $$ 因为使用了 Lorentz 规范，所以 $A\_\nu{}^{;\nu}=0$，第一项可以扔掉；剩下的工作就是处理指标： $$ \begin{aligned} A\_{\mu;\nu}{}^{;\nu}-R^\rho{}*{\nu\mu}{}^\nu A*\rho &= -\frac{4\pi}{c}J\_\mu\\\\ \Box A\_\mu-g^{\rho\sigma}g^{\nu\gamma}R\_{\sigma\nu\mu\gamma}\cdot g\_{\rho\alpha}A^\alpha &= -\frac{4\pi}{c}J\_\mu\\\\ \Box A\_\mu-g^{\nu\gamma}R\_{\sigma\nu\mu\gamma}\cdot A^\alpha\cdot(g^{\rho\sigma}g\_{\rho\alpha}) &= -\frac{4\pi}{c}J\_\mu\\\\ \Box A\_\mu-g^{\nu\gamma}R\_{\sigma\nu\mu\gamma}\cdot A^\alpha\cdot\delta^\sigma{}*{\alpha} &= -\frac{4\pi}{c}J*\mu\\\\ \Box A\_\mu-g^{\nu\gamma}R\_{\sigma\nu\mu\gamma}\cdot A^\sigma &= -\frac{4\pi}{c}J\_\mu\\\\ \Box A\_\mu-g^{\nu\gamma}R\_{\mu\gamma\sigma\nu}\cdot A^\sigma &= -\frac{4\pi}{c}J\_\mu\\\\ \Box A\_\mu-g^{\nu\gamma}R\_{\gamma\mu\nu\sigma}\cdot A^\sigma &= -\frac{4\pi}{c}J\_\mu\\\\ \Box A\_\mu-R^\nu{}*{\mu\nu\sigma}\cdot A^\sigma &= -\frac{4\pi}{c}J*\mu\\\\ \Box A\_\mu-R\_{\mu\sigma}\cdot A^\sigma &= -\frac{4\pi}{c}J\_\mu\\\\ \end{aligned} $$ 证毕. ## 习题 9 > 在弱引力场的线性近似情况下，我们把度规表示成 > $$ > g\_{\mu\nu}=\eta\_{\mu\nu}+h\_{\mu\nu} > $$ > 其中 $|h\_{\mu\nu}|\ll1$，线性近似理论中只保留 $h\_{\mu\nu}$ 中的线性项. 为了表达引力场方程的方便，我们定义 > $$ > \bar{h}*{\mu\nu}\equiv h*{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta\_{\mu\nu}h > $$ > 试证明，它的逆变换是 > $$ > \bar{\bar{h}}*{\mu\nu}\equiv\bar{h}*{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta\_{\mu\nu}\bar{h}=h\_{\mu\nu} > $$ 感觉好像算一下就可以了？直接计算： $$ \begin{aligned} \bar{\bar{h}}*{\mu\nu}&=h*{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta\_{\mu\nu}h-\frac{1}{2}\eta\_{\mu\nu}\left(h^\mu{}*\mu-\frac{1}{2}\eta^\mu{}*\mu h\right)\\\\ &=h\_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta\_{\mu\nu}h-\frac{1}{2}\eta\_{\mu\nu}h+\frac{1}{4}\cdot4\eta\_{\mu\nu}h\\\\ &=h\_{\mu\nu} \end{aligned} $$ 证毕. ## 习题 10 > 线性近似理论只保留 $h\_{\mu\nu}$ 中的线性项，于是有 > $$ > \begin{aligned} > \Gamma^\mu{}*{\alpha\beta}&=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}(h*{\alpha\nu,\beta}+h\_{\beta\nu,\alpha}-h\_{\alpha\beta,\nu})\\\\ > &=\frac{1}{2}(h\_\alpha{}^\mu{}*{,\beta}+h*\beta{}^\mu{}*{,\alpha}-h*{\alpha\beta}{}^{,\mu}) > \end{aligned} > $$ > 线性近似理论中张量指标的升降是借助 Minkowski 度规实现的. 线性化之后的 Ricci 张量也很简单： > $$ > \begin{aligned} > R\_{\mu\nu}&=\Gamma^\lambda{}*{\mu\nu,\lambda}-\Gamma^\lambda{}*{\mu\lambda,\nu}\\\\ > &=-\frac{1}{2}(h\_{\mu\nu}{}^{,\alpha}{}*{,\alpha}+h^\alpha{}*{\alpha,\mu,\nu}-h^\alpha{}*{\mu,\nu,\alpha}-h^\alpha{}*{\nu,\mu,\alpha}) > \end{aligned} > $$ > 试证明 > $$ > \bar{R}*{\mu\nu}\equiv R*{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta\_{\mu\nu}R=8\pi GT\_{\mu\nu} > $$ > 具体化为 > $$ > \bar{h}*{\mu\nu}{}^{,\alpha}{}*{,\alpha}+\eta\_{\mu\nu}\bar{h}*{\alpha\beta}{}^{,\alpha,\beta}-\bar{h}*{\mu\alpha}{}^{,\alpha}{}*{,\nu}-\bar{h}*{\nu\alpha}{}^{,\alpha}{}*{,\mu}=-16\pi GT*{\mu\nu} > $$ ::: danger 实际上有 $$ R\_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\Box\bar{h}\_{\mu\nu} $$ ::: 有： $$ \begin{aligned} R&=-\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}(h\_{\mu\nu}{}^{,\alpha}{}*{,\alpha}+h^\alpha{}*{\alpha,\mu,\nu}-h^\alpha{}*{\mu,\nu,\alpha}-h^\alpha{}*{\nu,\mu,\alpha})\\\\ &=-\frac{1}{2}(\partial^\alpha\partial\_\alpha h+\eta^{\mu\nu}\partial\_\mu\partial\_\nu h-\eta^{\mu\nu}\partial\_\nu\partial\_\alpha h^\alpha{}*\mu-\eta^{\mu\nu}\partial*\mu\partial\_\alpha h^\alpha{}*\nu)\\\\ &=-\frac{1}{2}(2\Box h-2h*{\mu\nu}{}^{,\mu,\nu})\\\\ &=h\_{\mu\nu}{}^{,\mu,\nu}-\Box h \end{aligned} $$ 直接算： $$ \begin{aligned} &-2R\_{\mu\nu}+\eta\_{\mu\nu}R = -16\pi GT\_{\mu\nu}\\\\ &(h\_{\mu\nu}{}^{,\alpha}{}*{,\alpha}+h^\alpha{}*{\alpha,\mu,\nu}-h^\alpha{}*{\mu,\nu,\alpha}-h^\alpha{}*{\nu,\mu,\alpha})+\eta\_{\mu\nu}\Box h-\eta\_{\mu\nu}h\_{\mu\nu}{}^{,\mu,\nu}=-16\pi GT\_{\mu\nu} \end{aligned} $$ 最终化简结果是要证明的式子. ## 习题 11 > 证明对于静态时空， > $$ > \begin{aligned} > R\_{\mu\nu}&=\Gamma^\lambda{}*{\mu\nu,\lambda}-\Gamma^\lambda{}*{\mu\lambda,\nu}\\\\ > &=-\frac{1}{2}(h\_{\mu\nu}{}^{,\alpha}{}*{,\alpha}+h^\alpha{}*{\alpha,\mu,\nu}-h^\alpha{}*{\mu,\nu,\alpha}-h^\alpha{}*{\nu,\mu,\alpha}) > \end{aligned} > $$ > 可以化为 > $$ > R\_{00}=-\frac{1}{2}h\_{00,i,i},,\quad R\_{0i}=\frac{1}{2}(h\_{k0,i,k}-h\_{0i,k,k})\\ > R\_{ij}=-\frac{1}{2}(-h\_{00,i,j}+h\_{kk,i,j}-h\_{ki,j,k}-h\_{kj,i,k}+h\_{ij,k,k}) > $$ 因为是静态，所以那些「$,0$」的项全部为零，就得到上面只有空间分量的表达式.